冀敏杰，套格圖桑

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

孤立子是一類非線性發(fā)展方程的解，反映的是一類非常穩(wěn)定的物理現(xiàn)象。1834年J.S.羅素在一篇報告中提到他觀察到一種奇特的自然現(xiàn)象。1895年D.J.柯脫維格和G.德維雷斯研究淺水波時建立一個非線性波動方程（稱為KdV方程）得出類似的解［1］。近年來，學(xué)者們利用貝爾多項式法［2］、廣田雙線性法［3］、有理函數(shù)變換法［4］、齊次平衡法［5］、B?cklund變換法［6］等多種方法求解非線性發(fā)展方程，并獲得了許多新的研究成果。

文獻［7］應(yīng)用試探函數(shù)法得到了（2+1）維廣義KdV方程的周期孤波解，文獻［8］基于貝爾多項式理論，通過符號計算得到類9階KdV方程的有理解，文獻［9］通過給定的符號計算法得到了一類（3+1）維KdV方程的有理解，文獻［10］通過擴展的有理函數(shù)方法得到了（3+1）維變系數(shù)KP方程的lump解。

其中u是關(guān)于x，y，z，t的函數(shù)，x，y，z，t是獨立變量，α，β，γ，δ，θ，λ均為常數(shù)。當取α=1，β=6，γ=6，θ=1，δ=1，λ=1時，方程（2）轉(zhuǎn)化為方程（1）。

本文利用Hirota雙線性法，把方程（2）化為雙線性形式，通過運用試探函數(shù)法和符號計算系統(tǒng)Mathematica給出了包含方程（1）和（2）的（3+1）維KdV方程的lump新解以及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和雙曲函數(shù)通過幾種形式組合的復(fù)合函數(shù)新解。

1 （3+1）維KdV方程的exp-cos-cosh-sinh-sin型解

方程（2）在約束條件β=6α，γ=6α，δ=α下，通過變換

可轉(zhuǎn)化為

的雙線性方程。其中f是關(guān)于x，y，z，t的待定函數(shù)。滿足D-算子。D-算子的定義為

引入試探函數(shù)

其中ηi=aix+biy+ciz+dit(i=1，2，3，4，5)，ai，bi，ci，di，ρi(i=1，2，3，4)為待定常數(shù)。

將 式（6）代 入 方 程（4）中，并 令eη1，sin(η2)，cos(η2)，cosh(ηi)，sinh(ηi)(i=3，4)，sin(η5)，cos2(η2)的系數(shù)為零，即可得到一組非線性代數(shù)方程組，利用符號計算系統(tǒng)Mathematica，求出該方程組的如下幾種解：

將式（9）代入式（6）得

將式（10）代入式（3）得方程（2）的解為

其中

選 取 適 當 參 數(shù)c=6，a1=-2，c1=-3，d1=3，c2=1，ρ1=-4，ρ2=-4，ρ3=-3，ρ4=1，d2=-3，b2=7，a2=4，a4=-3，a5=-4，d4=1，c4=2，d5=-3，b5=3，a3=8，c3=1，d3=2，x=0，y=0并代入解（11），得到方程的如下解：

解（12）的特征圖如圖1所示。

圖1 當y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.1 When y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

2 （3+1）維KdV方程的lump新解

引入試探函數(shù)

其中ai，bi，ci，di，fi(i=1，2)是待定常數(shù)。

將式（13）代入方程（4）中，并令t2，tx，ty，tz，xy，xz，yz，x2，y2，z2，的系數(shù)為零，得到一組非線性微分方程組，利用符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的如下幾組解：

將式（14）代入式（13）后，并將得到的結(jié)果代入式（3）得到方程（2）的解

選取適當參數(shù)c=1，a2=1，g2=1，f1=1，f2=1，d1=1，c1=2，d2=1，b1=1，x=0，y=0，α=1，β=6，γ=6，θ=1，δ=1，λ=1并代入式（17）化簡得到方程（2）的解

解（17）的特征圖如圖2所示。

圖2 當c=1，a2=1，g2=1，y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.2 When c=1，a2=1，g2=1，y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

3 （3+1）維KdV方程的exp-ln-分式新解

引入試探函數(shù)

其中φi=aix+biy+ciz+dit，ai，bi，ci，di(i=1，2，3)為待定常數(shù)。

將式（18）代入方程（4），令eφ1，的系數(shù)為零得到一組非線性方程組，利用符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的解

將式（19）代入式（18）得

將式（21）代入式（3）得到方程（2）的解

其中

解（23）的特征圖如圖3所示。

圖3 當y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.3 When y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

4 （3+1）維KdV方程的新分式解

引入試探函數(shù)

其中ai，bi(i=0，1，2，3，4)是待定常數(shù)。

將（27）代入式（24）后，代入式（3）得到方程（2）的解為

選 取 適 當 參 數(shù)a0=1，a1=1，a3=2，a4=1，x=0，y=0，c=1，b3=2，α=1，β=6，γ=6，θ=1，δ=1，λ=1并代入式（31）得到方程解

解（30）的特征圖如圖4所示。

圖4 當a0=1，a1=1，a3=2，y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.4 when a0=1，a1=1，a3=2，y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

5 （3+1）維KdV方程的exp-tanh新解

引入試探函數(shù)

其中φi=aix+biy+ciz+dit(i=1，2)，ai，bi，ci，di，ξi(i=1，2，3)為待定常數(shù)。

將式（31）代入方程（4）中，令eφ1sech2(φ2)，e-φ1sech2(φ2)，eφ1tanh(φ2)，e-φ1tanh(φ2)，的系數(shù)為零得到一組非線性方程組，通過符號計算系統(tǒng)Mathematica得到該方程組的以下幾組解：

將式（33）代入式（31）得

將式（35）代入式（3）得到方程（2）的如下解：

選 取 適 當 參 數(shù)c=-1，ξ2=1，ξ3=1，a1=1，b2=1，c1=1，c2=1，d1=2，α=1，β=6，γ=6，θ=1，δ=1，λ=1并代入（36）式得到方程如下解：

解（37）的特征圖如圖5所示。

圖5 當c=-1，ξ2=1，ξ3=1，y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.5 When c=-1，ξ2=1，ξ3=1，y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula

6 （3+1）維KdV方程的有理新解

引入試探函數(shù)

其中ai，bj(i=1，2，3；j=1，2，3，4)是待定常數(shù)。

將式（38）代入方程（4）中，令xi，yi，ti，zi(i=2，3，4)的系數(shù)為零得到一組非線性方程組，通過符號計算系統(tǒng)Mathematica算出方程的如下幾組解：

將式（40）代入式（38）得

將式（41）代入式（3）中，得到方程（2）的解

選取適當參數(shù)c=-10，a1=-10，a2=1，b2=2，a3=-3，b1=10，b3=1，b4=2，x=0，y=0并代入（42）式得到方程如下解：

解（43）的特征圖如圖6所示。

7 結(jié)論

本文在廣田雙線性法的基礎(chǔ)上，利用試探函數(shù)法以及符號計算系統(tǒng)Mathematica，得到了（3+1）維KdV方程新的lump解，以及三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)基本函數(shù)的復(fù)合函數(shù)新解。

文獻［6］中對于廣義（2+1）維KdV方程利用變換u=2(lnf)x+c0把方程變?yōu)殡p線性方程，并利用測試函數(shù)f(x，y，z，t)=a1cosξ1+a2sinξ2+exp(-ξ3)+a3expξ3，其中ξi=kix+hiy+wit(i=1，2，3)，得到了方程的周期孤波解。本文在其基礎(chǔ)上得到了（3+1）維KdV方程的包含正余弦函數(shù)、雙曲正余弦以及指數(shù)函數(shù)的周期解。

文獻［7］通過Hirota變換把類9階KdV方程化為雙線性形式，引入多項式試探函數(shù)，得到5族有理解。文獻［8］通過Hirota變換將（3+1）維KdV方程化為雙線性方程，并定義了一種符號函數(shù)，代入方程得到實值型怪波解。本文在上述兩篇文獻基礎(chǔ)上加以改進，得到了（3+1）維KdV方程新的有理解。

圖6 當c=-10，a1=-10，a2=1，y=x=0時，u(x，y，z，t)關(guān)于z，t的圖像Fig.6 When c=-10，a1=-10，a2=1，y=x=0，3D plot and contour plot related to z and t corresponding to formula