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        若干非線性PDEs守恒律的構(gòu)造

        2023-02-01 08:17:38趙巧紅張明霞額爾敦布和
        關(guān)鍵詞:特征方法

        趙巧紅,張明霞,額爾敦布和,2

        (1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學 理學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051;2.呼和浩特民族學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

        對稱和守恒律在物理、數(shù)學和其他自然科學范疇內(nèi)有著至關(guān)重要的應(yīng)用。通過研究非線性偏微分方程(PDEs),為了揭示對稱和守恒律之間的內(nèi)在聯(lián)系,Bluman及Anco[1]、特木爾朝魯[2]、額爾敦布和[3-4]等構(gòu)造守恒律的直接方法、同倫方法、對稱用于已知守恒律的方法等諸多有效方法。眾所周知,對稱體現(xiàn)PDEs的結(jié)構(gòu)特點,守恒律反應(yīng)PDEs的運動特性,因而,推導出給定PDEs的對稱和守恒律是可期待的。為此,基于數(shù)學計算軟件Maple,借助對稱-共軛對稱‘對’方法和Ibragimov新守恒定理[5]分別推出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和(2+1)維熱方程等幾類經(jīng)典的PDEs的守恒律,并比較已得守恒律挖掘上述兩種方法之間的深層內(nèi)在關(guān)系。

        首先,考慮k階PDEs(k≥2,l≤k)

        其中x=(x1,x2,…,xn)為自變量,u=(u1,u2,…,um)為因變量,?ju表示它關(guān)于u對x的所有j階偏導數(shù),即?ju/?xi1?xi2…?xij=ui1i2…ij,i=1,2,…,n,j=1,2,…,k,為了便于本文研究工作,先介紹如下定義。

        定義1假設(shè)PDEs (1)的單參數(shù)Lie點變換群為

        其無窮小生成元為

        且對應(yīng)的無窮小生成元的特征形式為

        式(3)的k階延拓為

        其中

        1 對稱-共軛對稱‘對’方法

        對稱與共軛對稱是PDEs結(jié)構(gòu)屬性的兩種表現(xiàn)形式,為了挖掘?qū)ΨQ、共軛對稱與PDEs守恒律之間的內(nèi)在聯(lián)系,下面運用對稱-共軛對稱‘對’方法[3,6-7]。

        定義2PDEs (1)所對應(yīng)的線性系統(tǒng)(Fréchet導數(shù))為

        假設(shè)PDEs(1)的對稱(2)對應(yīng)的無窮小生成元為(3),那么對稱為確定方程組的解,即對PDEs(1)的任何解都存在一個線性系統(tǒng)

        定義3PDEs (1)的共軛算子(共軛Fréchet導數(shù))為

        其中υ(x)=(υ1(x),υ2(x),…,υr(x))是任意函數(shù),且σ=1,2,…,N。對于PDEs(1)的任何解U(x)=u(x),滿足共軛線性系統(tǒng)

        定理 1對于PDEs (1)的任何解U(x)=u(x),對稱特征形式與共軛對稱集的任何‘對’滿足守恒恒等式[3]

        這里

        其中j1,j2,…,jq和i1,i2,…,ip是指標的有序組合,且1≤j1≤j2≤…≤jq≤i≤i1≤i2≤…≤ip≤n。

        下面,利用對稱-共軛對稱‘對’方法分別計算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程和(2+1)維熱方程的守恒律。

        1.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

        考慮Euler-Lagrange-type[8]方程

        其中u=u(x,t)為振幅,且ε表示波的傳播速率。

        由公式(7)和(9),分別得出方程(13)的線性算子和共軛算子為

        Lie點對稱(3)的二階延拓作用于方程(13)后得到如下三個點對稱:

        由公式(4)和(16),得出方程(13)對應(yīng)線性系統(tǒng)Lηρ=0的三個特征形式解:

        經(jīng)計算共軛系統(tǒng)(18)有如下四組共軛對稱解:

        總之,PDEs的共軛對稱集是其乘子集的子集,Euler-Lagrange-type方程的四個共軛對稱和三個對稱特征形式可以配對十二個‘對’,通過公式(12)得出共有五對非平凡守恒律。

        經(jīng)過計算,在特征形式(17)和共軛對稱(19)中的其余<η^i,υ^j> 進行配對,無法產(chǎn)生PDEs(13)的守恒律。

        1.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

        再考慮Cauchy-Kovalevskaya方程組[9-10]

        Cauchy-Kovalevskaya方程式是一組刻畫傳輸線任意點電壓、電流量和傳輸線中間相互關(guān)系的非線性微分方程,接下來將推導其守恒律。

        由公式(7)和(9),分別得出方程組(22)的線性算子和共軛算子為

        用Lie點對稱(3)的一階延拓作用于方程組(22)得到如下三個點對稱:

        由公式(4)和(25)得出方程組(22)對應(yīng)線性系統(tǒng)=0的三組特征形式解:

        由公式(10),得到關(guān)于函數(shù),i=1,2的共軛系統(tǒng)

        經(jīng)計算共軛系統(tǒng)(27)有如下五組解(共軛對稱):

        Cauchy-Kovalevskaya方程的五個共軛對稱和三個對稱特征形式可以配對十五個‘對’,通過公式(12)得出共有四對非平凡守恒律。

        1.3 (2+1)維熱方程的守恒律

        最后,考慮(2+1)維熱方程[11]

        (2+1)維熱方程是描述區(qū)域溫度變化的典型拋物型PDEs,其中u=u(x,y,t)表示溫度。

        由公式(7)和(9),分別得出方程(31)的線性算子和共軛算子為

        Lie點對稱(3)的二階延拓作用于方程(31)得到如下五個點對稱:

        由公式(4)和(34)得出方程(31)對應(yīng)線性系統(tǒng)Lηρ=0的五個特征形式解:

        經(jīng)計算共軛系統(tǒng)有如下四組解(共軛對稱):

        (2+1)維熱方程的四個共軛對稱和五個對稱特征形式可以配對二十個‘對’,通過公式(12)得出共有四對非平凡守恒律。

        2 Ibragimov新守恒定理

        著名的N?ether定理[12]建立了PDEs對稱、守恒律與方程之間的緊密聯(lián)系,但該定理有很多局限,如有嚴重依賴變分對稱性等,為了更好地克服N?ether定理的局限性,Ibragimov教授提出了一個新守恒定理[5]。先看如下定義和定理。

        定義4關(guān)于自變量x=(x1,x2,…,xn)和因變量u=(u1,u2,…,um)的可微函數(shù)f(x,u,…,u(s)),存在等式

        則稱式(40)為函數(shù)f的散度。表達式為

        為PDEs(1)的Lagrangian函數(shù),其中{va}為勢函數(shù)組。

        Euler算子定義為

        稱為PDEs(1)的共軛方程組。

        定理2PDEs (1)的每個Lie對稱(2)及其生成元(3)產(chǎn)生PDEs(1)及其共軛PDEs(43)的一組守恒律,其對應(yīng)守恒量由公式

        下面,利用Ibragimov新守恒定理分別計算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和(2+1)維熱方程的守恒律。

        2.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

        由公式(41),得到方程(13)的Lagrangian函數(shù)

        其中零階勢函數(shù)?=?(x,t,u)。根據(jù)公式(43),得到方程(13)的共軛方程為

        經(jīng)求解方程(46),得到四個勢函數(shù):

        2.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

        由公式(41),得到方程組(22)的Lagrangian函數(shù)為

        其中兩個零階勢函數(shù)?=?(x,t,u,v),h=h(x,t,u,v)。根據(jù)公式(43),得到方程組(22)的共軛方程組為

        經(jīng)求解方程組(50),得到五組勢函數(shù)組:

        2.3 (2+1)維熱方程的守恒律

        由公式(41),得到(2+1)維熱方程(31)的Lagrangian函數(shù)為

        其中零階勢函數(shù)?=?(x,y,t,u)。根據(jù)公式(43),得到方程(31)的共軛方程為

        經(jīng)求解方程(54),得到四個勢函數(shù):

        3 兩種守恒律方法的比較

        如前所述,本文分別利用對稱-共軛對稱‘對’方法和Ibragimov新守恒定理構(gòu)造了Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組、(2+1)維熱方程等三類重要PDEs的若干個守恒律。對用兩種方法得到的三個方程守恒律的比較見表1-2和表3。

        表1 Euler-Lagrange-type方程守恒律的比較Tab.1 Comparison for conservation laws of Euler-Lagrange-type equation

        表2 Cauchy-Kovalevskaya方程組守恒律的比較Tab.2 Comparison for conservation laws of Cauchy-Kovalevskaya equations

        表3 (2+1)維熱方程守恒律的比較Tab.3 Comparison for conservation law of (2+1) dimensional heat equation

        從表1-2和表3可以看出,用對稱-共軛對稱‘對’方法和Ibragimov新守恒定理計算得出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和(2+1)維熱方程的守恒律是一致的。

        4 結(jié)論

        本文把對稱-共軛對稱‘對’方法和Ibragimov新守恒定理分別運用于Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程組和(2+1)維熱方程的守恒律構(gòu)造中,得出諸多有效的非平凡守恒律,有效擴展了這三種重要PDEs的屬性。通過對比已得到守恒律,發(fā)現(xiàn)兩種方法之間的等價關(guān)系。上述結(jié)論對揭示三個重要PDEs的相關(guān)特征方面具有重要的實際意義,同時對挖掘現(xiàn)有守恒律方法間的內(nèi)在相關(guān)性方面有重大的理論意義。

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