李光芳，范俊杰

（1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；3.內(nèi)蒙古鴻德文理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000）

隨著科技的發(fā)展，新材料由于具有優(yōu)異性能而成為重要的研究領(lǐng)域，其中準(zhǔn)晶是目前研究比較廣泛的新材料。準(zhǔn)晶體是一種介于晶體和非晶體之間的固體，具有特殊的準(zhǔn)周期有序結(jié)構(gòu)，因此準(zhǔn)晶表現(xiàn)出很多優(yōu)異的性能，如耐熱、耐磨、高硬度、高強(qiáng)度等，使其具有很大的應(yīng)用潛力。近年來(lái)，研究者們?cè)跍?zhǔn)晶彈性理論方面的研究取得了很大的進(jìn)展。結(jié)合勢(shì)函數(shù)理論和Fourier變換法，李顯方等［1］研究了一維六方準(zhǔn)晶中的直線型位錯(cuò)和移動(dòng)螺型位錯(cuò)問(wèn)題。Radi和Mariano［2］運(yùn)用Stroh方法研究了二維準(zhǔn)晶中的Griffith裂紋問(wèn)題。高陽(yáng)等［3］采用復(fù)變函數(shù)方法研究了帶有裂紋或橢圓孔口立方準(zhǔn)晶的斷裂力學(xué)問(wèn)題。李翔宇［4］利用勢(shì)函數(shù)方法研究了一維六方準(zhǔn)晶中的平面裂紋問(wèn)題。劉官?gòu)d等［5］運(yùn)用解析函數(shù)理論研究了一維六方準(zhǔn)晶中無(wú)限平行位錯(cuò)與半無(wú)限裂紋相互作用的問(wèn)題。

Hamilton體系可表示一切真實(shí)的、耗散可忽略不計(jì)的物理過(guò)程，該體系廣泛存在，且具有普適性。辛方法是基于Hamilton系統(tǒng)的分離變量法，通過(guò)求解本征值可得到彈性問(wèn)題的解析解。馮康［6］于20世紀(jì)80年代初開始研究Hamilton體系的計(jì)算方法，并首次將辛方法用于計(jì)算固體力學(xué)。姚偉岸等［7］將Hamilton體系引入到了彈性力學(xué)問(wèn)題求解中，突破了傳統(tǒng)彈性力學(xué)求解時(shí)帶來(lái)的高階偏微分方程等困難。目前，Hamilton體系辛方法已被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如彈性力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)等。Leung等［8］采用辛方法研究了壓電復(fù)合材料板的力學(xué)性能。徐新生等［9］研究了彈性圓板屈曲問(wèn)題的辛方法。王華等［10］建立了點(diǎn)群為12 mm準(zhǔn)晶平面彈性問(wèn)題的辛方法。周震寰等［11］在哈密頓力學(xué)框架下，研究了有限尺寸一維六方壓電準(zhǔn)晶雙材料中的Ⅲ型界面V型缺口的斷裂行為。喬艷芬等［12］運(yùn)用辛方法分析了二維八次對(duì)稱準(zhǔn)晶的平面彈性問(wèn)題。

在工程領(lǐng)域中，梁結(jié)構(gòu)是重要的承重構(gòu)件，多年來(lái)，此類結(jié)構(gòu)的彈性力學(xué)性能吸引了廣大學(xué)者的研究。然而，由于準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前準(zhǔn)晶梁的研究較少。本文利用Hamilton體系辛方法，在建立十次對(duì)稱二維準(zhǔn)晶梁Hamilton對(duì)偶方程的基礎(chǔ)上，求解相應(yīng)Hamilton算子矩陣的零本征解及其約當(dāng)型本征解，得到了其聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力和位移的解析表達(dá)式，為工程應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

1 十次準(zhǔn)晶梁的Hamilton對(duì)偶方程

假設(shè)z軸為十次準(zhǔn)晶的周期方向，x-y平面為準(zhǔn)周期平面。在平面直角坐標(biāo)系中，考慮十次準(zhǔn)晶梁，其截面為平面矩形區(qū)域

根據(jù)十次準(zhǔn)晶變形幾何方程［13］

平衡方程（不計(jì)體力）

和本構(gòu)方程

其中：σij，ui和εij分別表示聲子場(chǎng)的應(yīng)力、位移和應(yīng)變，Hij，wi和wij分別表示相位子場(chǎng)的應(yīng)力、位移和應(yīng)變。Cij和Ki分別表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的彈性常數(shù)，R表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)耦合彈性常數(shù)。引入位移向量

在不考慮體力的情況下，Lagrange密度函數(shù)可表示為

其中一點(diǎn)表示對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，即

為勢(shì)能密度函數(shù)?？傻胵的對(duì)偶變量為

由式（3），（4）和（8），可得十次準(zhǔn)晶梁Hamilton對(duì)偶方程為

其中v=(ux，uy，wx，wy，σxx，σyx，Hxx，Hyx)T為全狀態(tài)向量，為Hamilton算子矩陣。在矩陣H中，

且AT表示A的自伴算子矩陣，ai(i=1，2，…，10)和bi(i=1，2，…，6)是彈性常數(shù)（見(jiàn)附錄A）。

由最小勢(shì)能原理，可得方程

根據(jù)變分法，由式（10）可得齊次側(cè)邊邊界條件為（當(dāng)y=±h時(shí)）

2 Hamilton體系辛方法

2.1 分離變量法及零本征值的本征解

由分離變量法，令

將其代入方程（9），可得

及本征方程

其中μ是本征值，Y(y)是本征函數(shù)向量。

對(duì)于具有側(cè)邊自由條件的矩形區(qū)域彈性問(wèn)題，必存在零本征值的本征解。通過(guò)求解零本征值的本征方程

可得基本本征解

這四個(gè)本征向量是方程（9）滿足邊界條件（11）的解，記作

進(jìn)一步，通過(guò)求解約當(dāng)型本征方程

其中上標(biāo)i，(i-1)分別代表第i，(i-1)階約當(dāng)型（或基本）本征解，可得約當(dāng)型本征解

其中ai(i=11，12，…，15)是彈性常數(shù)（見(jiàn)附錄B）。這些約當(dāng)型本征解可組成方程（9）的解

這些解的線性組合可表示出齊次邊界問(wèn)題的通解。

在此基礎(chǔ)上，對(duì)于非齊次邊界情形，求解方程

得四階約當(dāng)型本征解

其中c1，c2是待定常數(shù)，ai(i=16，17，…，20)是彈性常數(shù)（見(jiàn)附錄C）。由式（16）、（19）和（22）可得方程（9）的一個(gè)特解為

因此，方程（9）的通解可表示為

其中，mi(i=1，2，…，11)為待定系數(shù)。

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的邊界條件可以求出通解中的待定系數(shù)mi(i=1，2，…，11)和常數(shù)c1，c2，進(jìn)而可求出相應(yīng)的應(yīng)力和位移的解析表達(dá)式。

2.2 受均布載荷懸臂梁的解析解

作為應(yīng)用，下面討論受均布載荷懸臂梁彎曲問(wèn)題的解析解。設(shè)有矩形截面的十次準(zhǔn)晶懸臂梁，x-y平面為準(zhǔn)周期平面，深度為2h，長(zhǎng)度為l，不計(jì)體力，受均布載荷q，如圖1。其邊界條件可以表示為

當(dāng)y=-h時(shí)，σyy=-q。

當(dāng)y=h時(shí)，σyy=Hyy=0。

當(dāng)x=0時(shí)，

圖1 均布載荷作用下十次對(duì)稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁Fig.1 Decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

當(dāng)x=l，y=0時(shí)，

將式（24）代入邊界條件（25），可得

其中a21，a22，a23是彈性常數(shù)（見(jiàn)附錄C）。將式（26）代入式（24），可以得到所討論問(wèn)題的應(yīng)力和位移的解析表達(dá)式。

聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力表達(dá)式為

聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)位移表達(dá)式為

其中a24和a25是彈性常數(shù)（見(jiàn)附錄C）。

從式（27）可看出，聲子場(chǎng)應(yīng)力的表達(dá)式與經(jīng)典彈性力學(xué)相應(yīng)問(wèn)題的結(jié)果完全一致［14］。

3 數(shù)值算例

假設(shè)十次準(zhǔn)晶懸臂梁的幾何參數(shù)為：l=1 m，h=0.08 m；均布載荷為q=10 KN/m2；十次準(zhǔn)晶彈性常數(shù)為C11=234.33 GPa，C12=57.41 GPa，K1=122 GPa，K2=24 GPa［15］。目前實(shí)驗(yàn)尚未測(cè)得耦合彈性常數(shù)R的值。下面討論x=0.5 m時(shí)，耦合彈性常數(shù)R對(duì)應(yīng)力和位移的影響。

圖2分別表示了x=0.5 m處均布載荷作用下懸臂梁的無(wú)量綱相位子場(chǎng)應(yīng)力隨y的變化趨勢(shì)。從圖2可看出，相位子場(chǎng)應(yīng)力隨著彈性耦合常數(shù)R的增大而增大。

圖3分別表示了x=0.5 m處均布載荷作用下懸臂梁的無(wú)量綱聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)位移隨y的變化趨勢(shì)。從圖3可看出，位移隨彈性耦合常數(shù)R的增大而增大，且聲子場(chǎng)位移比相位子場(chǎng)位移大一個(gè)數(shù)量級(jí)。

4 結(jié)論

本文建立了十次對(duì)稱二維準(zhǔn)晶平面彈性問(wèn)題的Hamilton體系，在此基礎(chǔ)上得到了均布載荷作用下十次準(zhǔn)晶懸臂梁?jiǎn)栴}的解析解。該方法與預(yù)先確定試函數(shù)的經(jīng)典半逆解法有著根本的不同，且應(yīng)力和位移可以一起計(jì)算出來(lái)。Hamilton體系辛方法為準(zhǔn)晶彈性理論的研究提供了新途徑。

圖2 均布載荷作用下十次對(duì)稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁無(wú)量綱相位子場(chǎng)應(yīng)力曲線Fig.2 Normalized stress curves of phason field of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

圖3 均布載荷作用下十次對(duì)稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁無(wú)量綱位移曲線Fig.3 Normalized displacement curves of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

5 附錄

附錄A

附錄B

附錄C