冉 峯， 朱才朝， 譚建軍， 宋朝省， 朱永超， 陳 帥

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044； 2.中國船舶重工集團海裝風電股份有限公司，重慶 401122)

風電齒輪箱是風電機組傳動鏈中傳遞功率與運動的關鍵傳動裝置，常年承受頻繁的載荷波動，故障失效率達15%以上[1]，嚴重制約風電機組可靠性與安全性。隨著風電齒輪箱朝10 MW及以上超大功率發(fā)展，其行星級齒輪模數(shù)較現(xiàn)有5 MW風電齒輪箱增加15%齒寬增加25%，然而現(xiàn)有常規(guī)風電齒輪箱試驗臺架測試功率僅5～8 MW且硬件升級耗資巨大，難以滿足超大功率風電齒輪箱全尺寸試驗需求。探索風電齒輪箱傳動系統(tǒng)等效縮減方法，使具有更小功率和尺寸的縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)動力學特性與原型滿足一定的相似性，將有助于充分利用現(xiàn)有風電齒輪箱試驗臺架，等效開展更大功率風電齒輪箱傳動系統(tǒng)性能測試，具有重要的工程應用意義。

近年來，國內(nèi)外學者針對風電機組等效縮減方法開展了大量研究。Oh等[2]將風電機組葉片等效為轉動慣量并進行縮減，將3 MW風電機組等效縮減為20 kW并開發(fā)了試驗裝置進行驗證；Viselli等[3]考慮風浪特性，采用Froude縮減方法對漂浮式風電機組進行縮減設計，開發(fā)了6 MW漂浮式風電機組1/8縮減模型并進行了驗證；Lim等[4]基于縮減前后時間常數(shù)和葉尖速比相似原則，將2 MW風電機組縮減為3.5 kW并開發(fā)了試驗裝置進行驗證；張進等[5]采用輸入角速度和輸入轉矩相似原則，開發(fā)了風力發(fā)電機模擬試驗裝置。上述研究立足于風電機組整機的角度，重點關注葉片、塔筒、基礎等部件的等效縮減，在縮減過程中將風電齒輪箱簡化為傳動比，造成此類縮減方法難以適用風電齒輪箱傳動系統(tǒng)。因此，為了使縮減前后傳動系統(tǒng)動力學特性相似，Young等[6]基于量綱理論推導了船用轉子系統(tǒng)動力學相似關系，考慮了柔性轉子和流體耦合作用，建立了轉子系統(tǒng)耦合動力學模型，對比了縮減前后系統(tǒng)振動響應的相似性；Zhang等[7]基于量綱理論推導了平行級齒輪傳動系統(tǒng)的動力學相似關系，建立了考慮時變嚙合剛度、時變傳動誤差以及軸承支撐剛度的齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型，驗證了該方法的有效性；繆輝等[8]基于量綱理論推導了航空發(fā)動機低壓轉子系統(tǒng)動力學相似關系，并通過有限元仿真驗證了該方法的有效性；羅忠等[9]采用積分模擬法推導了轉子系統(tǒng)動力學相似關系，通過建立縮減前后轉子系統(tǒng)動力學模型并結合試驗對縮減方法進行了驗證；李雷等[10]提出了考慮變冪數(shù)的畸變動力學相似關系推導方法，有效地解決了結構設計參數(shù)非等比例縮減問題，通過數(shù)值仿真和試驗驗證了該方法的有效性。

雖然上述學者圍繞傳動系統(tǒng)動力學相似開展了大量深入研究，對縮減前后傳動系統(tǒng)動力學特性相似關系有了初步認識，但大多數(shù)研究對象僅是轉子系統(tǒng)，并且假定縮減前后傳動系統(tǒng)轉速均保持穩(wěn)定。然而，風電齒輪箱傳動系統(tǒng)具有多級齒輪傳動結構，并且由于風速的隨機性，其工作轉速會發(fā)生大幅波動，造成現(xiàn)有縮減方法無法直接適用風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速過程瞬態(tài)動力學響應相似關系推導。

本文以某型5 MW風電齒輪箱為研究對象，建立了風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速動力學模型，并基于量綱理論推導了適用變速工況的風電齒輪箱傳動系統(tǒng)等效縮減動力學相似關系， 首先對比了縮減前后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)的固有頻率與模態(tài)振型，然后分析了縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應，最后對比了縮減后系統(tǒng)瞬態(tài)響應與原型的差異性。

1 風電齒輪箱傳動結構及運行原理

如圖1所示，某型5 MW風電齒輪箱傳動系統(tǒng)包括兩級行星級和一級平行級。其中，第一級行星級有5個行星輪，第二級行星級有3個行星輪。風輪氣動轉矩通過第一級行星架傳遞到齒輪箱中，再通過第一級太陽輪傳遞到第二級行星架，并經(jīng)由第二級太陽輪傳遞到第三級平行級，實現(xiàn)小轉矩、高轉速輸出，最后驅動發(fā)電機進行發(fā)電。5 MW風電齒輪箱傳動系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。

圖1 風電齒輪箱傳動系統(tǒng)結構簡圖Fig.1 Sketch of wind turbine gearbox transmission system

表1 齒輪箱傳動系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of the gearbox transmission system

2 風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速動力學模型相似關系推導

本文在建模時作以下假設：①各齒輪和行星架簡化為具有6個自由度的集中質量部件；②每個部件由6×6的剛度和阻尼矩陣提供支撐；③忽略齒輪側隙、摩擦等非線性因素的影響。

2.1 風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速動力學建模

圖2 行星級與平行級齒輪傳動系統(tǒng)集中參數(shù)模型Fig.2 Lumped parameter model of gear transmission system with planetary stage and parallel stage

(1)

第三級平行級齒輪嚙合線相對變形δg1g2如式(2)所示。

(2)

(3)

基于絕對坐標系OXYZ，建立各級齒輪傳動系統(tǒng)之間的扭轉變形協(xié)調方程，如式(4)所示。

(4)

式中：δu12為第一級行星級和第二級行星級之間的轉角差，rad；δu23為第二級行星級和第三級平行級之間的轉角差，rad。

定義系統(tǒng)廣義位移向量為

(5)

基于拉格朗日方程，結合式(1)～式(5)，推導風電齒輪箱傳動系統(tǒng)動力學方程，共計96個自由度，如式(6)所示。

(6)

式中：F為激振力矩陣；CG和Cb分別為連接阻尼矩陣、軸承支撐阻尼矩陣，采用Rayleigh阻尼計算[18]；Cm為嚙合阻尼矩陣，采用經(jīng)驗公式計算[19]；M為質量矩陣；KG為連接剛度矩陣；Km為嚙合剛度矩陣；Kb為軸承支撐剛度矩陣。其表達式分別為

(7)

(8)

式中，K為剛度矩陣的分塊矩陣。

2.2 動力學相似關系推導

在圖2所示的動力學模型中，ulz代表周向轉動線位移，而非振動線位移，因此為了推導風電齒輪箱傳動系統(tǒng)等效縮減動力學方程，將式(6)中各分塊矩陣進行拆分并重新組合成振動位移分塊矩陣、周向轉動線位移分塊矩陣，可得系統(tǒng)縮減前后的動力學方程為

(9)

式中：上標p為原型(縮減前模型)；上標m為縮減后模型；下標f為振動位移分塊矩陣；下標u為周向轉動線位移分塊矩陣。

(10)

當各構件存在周向轉動線位移時，式(10)中縮減比則不完全適用，需要重新推導其動力學相似關系。構件l的周向轉動線位移ulz表達式為

ulz=nlrltl

(11)

式中：n為轉速；r為構件l的基圓半徑；t為時間。

根據(jù)式(10)和式(11)，可以得到構件l的周向轉動線位移縮減比為

(12)

根據(jù)式(12)，可將式(9)改寫為

(13)

將式(13)等號兩端分別除以λFf和λFu(λFf=λFu=λF，聯(lián)立式(10)和式(12)，可得

(14)

對于式(14)中每一個分塊矩陣，有式(15)成立

(15)

進而可得

(16)

為了使式(10)中相似關系依然成立，需建立式(17)

(17)

因此，可得適用于變速模型的激振力縮減比為

(18)

進而可得風電齒輪箱傳動系統(tǒng)動態(tài)嚙合力縮減比為

(19)

動態(tài)傳遞誤差計算公式為

δm=Vmqm

(20)

式中：Vm為嚙合變形的系數(shù)向量；qm為位移向量。

由于縮減前后嚙合變形的系數(shù)向量不變，因此可以得到動態(tài)傳遞誤差的縮減比為

λδm=λl

(21)

由Zhang等的研究可以得到嚙合剛度和嚙合阻尼的縮減比為

(22)

動態(tài)嚙合力的計算公式為

(23)

(24)

因此，由式(23)可以得到靜態(tài)傳遞誤差的縮減比為

(25)

轉矩的計算公式為

T=Fr

(26)

則轉矩的縮減比為

(27)

功率的計算公式為

P=πTn/30

(28)

因此，可得功率縮減比為

(29)

由式(10)～式(29)，可得風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速模型動力學參數(shù)縮減比，如表2所示。從表2中可以看出，當各構件尺寸縮小為原型1/n倍時，系統(tǒng)固有頻率和各構件轉速增大為原型n倍，各構件振動位移和動態(tài)傳遞誤差減小為原型1/n倍。

表2 主要參數(shù)縮減比Tab.2 Scaling factor of main parameters

2.3 動力學等效縮減模型相似性評價

根據(jù)式(6)可以得到風電齒輪箱傳動系統(tǒng)無阻尼自由振動方程為

(30)

進而可得系統(tǒng)模態(tài)方程為

(31)

(32)

(33)

針對縮減前后動力學模型振動響應相似性，采用縮減后動力學模型振動響應預測值誤差的最大值Edmax作為評判標準，如式(33)所示。

(34)

式中：ξT為原型對應的振動位移、動態(tài)傳遞誤差和構件轉速等；ξP為縮減后模型的振動位移、動態(tài)傳遞誤差和構件轉速等；λi為對應的尺寸縮減比。

3 結果討論與分析

為了驗證本文提出的縮減方法，如圖3所示，采用1/2和1/3兩種尺寸縮減比，即模型的軸向尺寸(軸的長度、齒輪齒寬等)和徑向尺寸(軸徑、齒輪模數(shù)等)分別縮小1/2和1/3，對比分析了兩種尺寸縮減比下系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)振型與原型的相關性；同時，考慮穩(wěn)態(tài)工況和瞬態(tài)工況，對比分析了兩種尺寸縮減比下系統(tǒng)振動響應、動態(tài)傳遞誤差以及構件轉速與原型的相關性。

圖3 兩種尺寸縮減比模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of the model with two size scaling ratios

風電齒輪箱中各構件的軸承支撐剛度參數(shù)，如表3所示。

表3 風電齒輪箱各構件軸承支撐剛度Tab.3 Bearing support stiffness of each component of wind turbine gearbox

3.1 縮減前后系統(tǒng)模態(tài)相似性分析

基于式(31)，分別計算原型和兩種尺寸縮減比下系統(tǒng)前10階固有頻率，如表4所示。從表4中可以看出，當尺寸縮減比為1/2時，縮減后系統(tǒng)固有頻率與原型的相似比為2；當尺寸縮減比為1/3時，縮減后系統(tǒng)固有頻率與原型的相似比為3，滿足相似關系(見表2)。

表4 縮減前后系統(tǒng)固有頻率對比Tab.4 Comparison of system natural frequency before and after scaling

圖4所示為兩種尺寸縮減比下系統(tǒng)模態(tài)振型分別與原型的MAC值。從圖4中可以看出，MAC對角線元素值全為1，表明縮減前后相同階次固有頻率對應的模態(tài)振型保持一致。

圖4 兩種尺寸縮減比下系統(tǒng)模態(tài)振型MAC值Fig.4 MAC value of system modal shape with two size scaling ratios

3.2 穩(wěn)態(tài)工況下縮減前后動態(tài)響應相似性分析

在風電齒輪箱原型中，額定輸入轉矩為4×106Nm，則根據(jù)表2可得尺寸縮減比為1/2時額定輸入轉矩為5×105Nm，尺寸縮減比為1/3時額定輸入轉矩為1.48×105Nm。圖5(a)、圖6(a)和圖7(a)分別表示第一級太陽輪、第二級太陽輪和第三級大齒輪的y方向振動位移。從圖中可以看出，隨著尺寸縮減比減小，各構件振動位移幅值逐漸降低，但振動頻率加快。根據(jù)表2中振動位移縮減比，將縮減后的各構件振動位移向原型轉換，可得各構件振動位移預測值，分別如圖5(b)、圖6(b)和圖7(b)所示。從圖中可以看出，縮減后模型振動位移預測值與原型保持一致。

圖5 第一級太陽輪y向振動位移Fig.5 Vibration displacement of sun in the 1st gear stage along y-direction

圖6 第二級太陽輪y向振動位移Fig.6 Vibration displacement of sun in the 2nd gear stage along y-direction

圖7 第三級大齒輪y向振動位移Fig.7 Vibration displacement of wheel in the 3rd gear stage along y-direction

圖8所示為縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)各構件y向振動位移預測值與原型的誤差最大值。從圖8中可以看出，各構件y向振動位移預測值與原型的誤差維持在2%以內(nèi)，并且尺寸縮減比越小，其誤差越大。

圖9(a)、圖10(a)和圖11(a)分別表示原型與縮減后第一級太陽輪-行星輪、第二級太陽輪-行星輪和第三級大齒輪-小齒輪的動態(tài)傳遞誤差計算值，而圖9(b)、圖10(b)和圖11(b)則分別表示對應的預測值。從圖中可以看出，隨著尺寸縮減比減小，動態(tài)傳遞誤差幅值降低，振動頻率加快，縮減后模型動態(tài)傳遞誤差預測值和原型保持一致。

圖9 第一級太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差Fig.9 Dynamic transmission error of sun-planet in the 1st gear stage

圖10 第二級太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差Fig.10 Dynamic transmission error of sun-planet in the 2nd gear stage

圖11 第三級大齒輪-小齒輪動態(tài)傳遞誤差Fig.11 Dynamic transmission error of wheel-pinion in the 3rd gear stage

圖12所示為縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)各嚙合副的動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差最大值。從圖12中可以看出，各嚙合副動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差保持在1%以內(nèi)，尺寸縮減比越小，誤差越大，與圖8相似。

圖8 各構件振動位移預測值與原型的誤差Fig.8 The error between the predicted value of the vibration displacement of each component and the vibration displacement of the prototype

圖12 各嚙合副動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差Fig.12 The error between the predicted value of the dynamic transmission error of each meshing pair and the transmission error of the prototype

圖13(a)所示為原型與縮減后第三級小齒輪轉速，圖13(b)則為對應的預測值。從圖13中可以看出，隨著尺寸縮減比減小，系統(tǒng)轉速增大，振動頻率加快，縮減后模型輸出轉速預測值與原型保持一致。

圖13 第三級小齒輪轉速Fig.13 Rotation speed of the pinion gear in the 3rd gear stage

圖14所示為縮減后不同構件轉速預測值與原型的誤差最大值。從圖14中可以看出，各構件轉速預測值與原型的誤差都在0.1%以內(nèi)，尺寸縮減比越小，誤差越大。

圖14 不同構件轉速預測值與原型的誤差Fig. 14 The error between predicted rotation speed of different components and prototype

3.3 瞬態(tài)工況下縮減前后動態(tài)響應相似性分析

如圖15所示，采用輸入轉矩階躍突變模擬風電機組在實際運行過程中的變載、變速工況。在風電齒輪箱原型中，設定在行星架轉角3.14 rad時輸入轉矩從4×106N·m突降至4×105N·m，持續(xù)到行星架轉角位3.48 rad時恢復原狀。相應地，當尺寸縮減比為1/2時，輸入轉矩從5×105N·m突降至5×104N·m；尺寸縮減比為1/3時，輸入轉矩從1.48×105N·m突降至1.48×104N·m，其中突變開始和結束時所對應的行星架轉角均與原型相同。

圖15 輸入轉矩曲線Fig.15 Input torque curve

圖16(a)、圖17(a)和圖18(a)分別表示原型與縮減后第一級太陽輪、第二級太陽輪和第三級大齒輪的y方向振動位移，圖16(b)、圖17(b)和圖18(b)則表示對應的振動位移預測值。從圖中可以看出，在轉矩突變區(qū)域內(nèi)各構件的振動位移幅值降低，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；隨著尺寸縮減比減小，各構件振動位移幅值降低；縮減后模型振動位移預測值和原型保持一致。

圖16 第一級太陽輪y向振動位移Fig.16 Vibration displacement of sun in the 1st gear stage along y-direction

圖17 第二級太陽輪y向振動位移Fig.17 Vibration displacement of sun in the 2nd gear stage along y-direction

圖18 第三級大齒輪y向振動位移Fig.18 Vibration displacement of wheel in the 3rd gear stage along y-direction

圖19所示為縮減后各構件y向振動位移預測值與原型的誤差最大值。從圖19中可以看出，在轉矩突變工況下縮減后各構件振動位移預測值誤差在3%以內(nèi)，比圖8結果誤差略微增加。

圖19 各構件振動位移預測值與原型的誤差Fig.19 The error between the predicted value of the vibration displacement of each component and the vibration displacement of the prototype

圖20(a)、圖21(a)和圖22(a)分別表示原型和縮減后第一級太陽輪-行星輪、第二級太陽輪-行星輪和第三級大齒輪-小齒輪的動態(tài)傳遞誤差，圖20(b)、圖21(b)和圖22(b)則表示對應的預測值。從圖中可以看出，在轉矩突變工況下各齒輪副動態(tài)傳遞誤差波動幅值增大；隨著尺寸縮減比減小，動態(tài)傳遞誤差幅值計算值也將降低；縮減后模型動態(tài)傳遞誤差預測值和原型保持一致。

圖20 第一級太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差Fig.20 Dynamic transmission error of sun-planet in the 1st gear stage

圖21 第二級太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差Fig.21 Dynamic transmission error of sun-planet in the 2nd gear stage

圖22 第三級大齒輪-小齒輪動態(tài)傳遞誤差Fig.22 Dynamic transmission error of wheel-pinion in the 3rd gear stage

圖23所示為縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)各嚙合副的動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差最大值。從圖23中可以看出，在轉矩突變工況下，縮減后各嚙合副動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差保持在2%以內(nèi)，尺寸縮減比越小，誤差越大。

圖23 各嚙合副動態(tài)傳遞誤差預測值與原型的誤差Fig.23 The error between the predicted value of the dynamic transmission error of each meshing pair and the transmission error of the prototype

圖24(a)所示為原型與縮減后第三級小齒輪轉速，圖24(b)則為對應的預測值。從圖24中可以看出，當轉矩突變后，構件轉速逐漸降低；隨著尺寸縮減比減小，系統(tǒng)轉速增大，振動頻率加快；縮減后模型輸出轉速預測值與原型保持一致。

圖24 第三級小齒輪轉速Fig.24 Rotation speed of the pinion gear in the 3rd gear stage

圖25所示為縮減后各構件轉速預測值與原型的誤差最大值。從圖25中可以看出，在轉矩突變工況下各構件轉速預測值與原型的誤差都在0.1%以內(nèi)，尺寸縮減比越小，誤差越大。

圖25 不同構件轉速預測值與原型的誤差Fig.25 The error between predicted rotation speed of different components and prototype

4 結 論

本文以某型5 MW風電齒輪箱傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了風電齒輪箱傳動系統(tǒng)變速動力學模型，并基于量綱理論推導了適用變速工況的風電齒輪箱傳動系統(tǒng)等效縮減動力學相似關系，對比分析了縮減前后的系統(tǒng)固有特性與動態(tài)響應，得出以下結論：

(1)縮減后風電齒輪箱傳動系統(tǒng)固有頻率與原型的比值等于尺寸縮減比倒數(shù)，并且縮減后相同階次的系統(tǒng)模態(tài)振型與原型保持一致。

(2)在穩(wěn)態(tài)工況下，風電齒輪箱傳動系統(tǒng)動態(tài)響應與原型滿足尺寸縮減比關系，隨著尺寸縮減比減小，各構件振動位移幅值降低，輸出轉速增大，且預測值與原型誤差在2%以內(nèi)。

(3)在轉矩突變工況下，風電齒輪箱傳動系統(tǒng)動態(tài)響應將出現(xiàn)大幅波動，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，縮減后系統(tǒng)動態(tài)響應預測值與原型滿足尺寸縮減比關系，且預測值與原型誤差在3%以內(nèi)。