王博文，崔玉國(guó)，謝啟芳，陳 攀

(寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211)

0 引言

壓電微動(dòng)平臺(tái)是一種結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)行程為亞毫米級(jí)、位移分辨率達(dá)到納米級(jí)的微定位機(jī)構(gòu)，其被廣泛用于微機(jī)電系統(tǒng)、航空航天、超精密加工和光學(xué)精密工程等高精密定位領(lǐng)域[1-2]。根據(jù)逆壓電效應(yīng)，壓電微動(dòng)平臺(tái)中的壓電執(zhí)行器會(huì)在外加電壓的驅(qū)動(dòng)下發(fā)生微位移形變，通過(guò)柔性鉸鏈傳遞微位移，從而實(shí)現(xiàn)微動(dòng)平臺(tái)的納米級(jí)定位和運(yùn)動(dòng)[3]。但壓電執(zhí)行器自身存在遲滯、蠕變及振蕩等非線性特性，其中遲滯特性會(huì)對(duì)壓電微動(dòng)平臺(tái)的定位精度帶來(lái)較大影響，造成壓電微動(dòng)平臺(tái)的輸入電壓與輸出位移之間呈非線性關(guān)系[4]。

為了提高壓電微動(dòng)平臺(tái)的定位精度，需要采用相應(yīng)的控制方法來(lái)消除其遲滯誤差。目前常用的控制方法有前饋控制[5]、反饋控制[6]和復(fù)合控制[7]。前饋控制是一種基于遲滯逆模型的開(kāi)環(huán)控制，無(wú)需傳感器，成本低，易實(shí)現(xiàn)，但控制精度依賴(lài)于所建立的遲滯模型的精度。反饋控制是一種閉環(huán)控制，控制精度相對(duì)較高，但因其信號(hào)通過(guò)傳感器實(shí)時(shí)反饋，系統(tǒng)成本高，且在某些精密定位領(lǐng)域中受空間限制，有時(shí)無(wú)法安裝傳感器。復(fù)合控制是前饋控制和反饋控制的結(jié)合，控制精度高，響應(yīng)速度快，但同樣受空間限制，有時(shí)無(wú)法安裝傳感器，且系統(tǒng)成本也較高。

為降低壓電微動(dòng)平臺(tái)控制系統(tǒng)的成本，并在空間受限時(shí)保證系統(tǒng)仍具有較高的定位精度，常采用前饋控制方法來(lái)提高壓電微動(dòng)平臺(tái)的定位精度。前饋控制的關(guān)鍵在于建立能精確描述壓電微動(dòng)平臺(tái)輸出位移和輸入電壓關(guān)系的遲滯模型，對(duì)提高前饋控制的精度具有重要意義。目前常用的遲滯模型主要有 Bouc-Wen模型、Preisach模型、PI模型和KP模型等，其中PI 模型因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、求逆運(yùn)算方便等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于遲滯建模上[8]。研究發(fā)現(xiàn)，在驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率的變化下，壓電執(zhí)行器的遲滯特性將發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，即率相關(guān)性。為了提高PI遲滯模型的精度，Aljanaideh等[9]通過(guò)構(gòu)造率相關(guān)的Play算子和動(dòng)態(tài)密度函數(shù)，建立了廣義速率相關(guān)的PI模型，有效地抑制了遲滯誤差。Zhou等[10]將驅(qū)動(dòng)信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化率引入經(jīng)典Prandtl-Ishilinskii(PI)模型的靜態(tài)權(quán)值中，構(gòu)成率相關(guān)的遲滯模型，取得了不錯(cuò)的補(bǔ)償效果。目前率相關(guān)PI遲滯模型多為整體式建模，通過(guò)引入同速率相關(guān)的函數(shù)來(lái)建模，這種建模方法不僅增加了所建遲滯模型的復(fù)雜度，模型求逆難，且需要進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，建模所需時(shí)間較長(zhǎng)。

本文采用分離式率相關(guān)遲滯建模方法，通過(guò)將壓電微動(dòng)平臺(tái)的遲滯特性拆分為靜態(tài)遲滯特性與線性動(dòng)力學(xué)特性，建立了分離式率相關(guān)Modified Prandtl-Ishilinskii(MPI)遲滯模型，進(jìn)而設(shè)計(jì)出前饋控制器對(duì)平臺(tái)進(jìn)行控制，以消除平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯誤差。

1 平臺(tái)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)

本文的研究對(duì)象為x-y-θz三自由度并聯(lián)壓電微動(dòng)平臺(tái)，如圖1所示。平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)包括臺(tái)體、外框體和內(nèi)框體，臺(tái)體中的導(dǎo)向與解耦機(jī)構(gòu)呈空間交叉分布。該平臺(tái)具有良好的導(dǎo)向及解耦功能、動(dòng)平臺(tái)大和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)。

圖1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型

1.2 平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

從動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，壓電微動(dòng)平臺(tái)可假設(shè)為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。考慮到系統(tǒng)中的接觸剛度以及機(jī)構(gòu)的解耦性能，所設(shè)計(jì)的柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

圖2中mp、kp、cp分別為壓電執(zhí)行器的等效質(zhì)量、等效剛度和等效阻尼，F(xiàn)pi(i=1,2,3)為壓電執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)力，δp1、δp2和δp3分別為壓電執(zhí)行器在x、y和θz向上的輸出位移，kc、cc分別為壓電執(zhí)行器與微動(dòng)平臺(tái)的接觸剛度和等效阻尼，ms、Js分別為微動(dòng)平臺(tái)的等效質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ceqx、ceqy和ceqθz分別為微動(dòng)平臺(tái)柔性機(jī)構(gòu)在x、y和θz向上的等效阻尼，δx、δy和δθz分別為微動(dòng)平臺(tái)在x、y和θz向上的輸出位移。

根據(jù)圖2中的平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型及牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，微動(dòng)平臺(tái)x向、y向和θz向的動(dòng)力學(xué)方程如下：

(1)

(2)

2 平臺(tái)前饋控制

2.1 平臺(tái)率相關(guān)遲滯模型的建立

由于壓電微動(dòng)平臺(tái)在不同頻率驅(qū)動(dòng)下表現(xiàn)出的率相關(guān)遲滯特性(即動(dòng)態(tài)遲滯特性)可分解為靜態(tài)遲滯特性與線性動(dòng)力學(xué)特性，因此，平臺(tái)的率相關(guān)遲滯模型(即動(dòng)態(tài)遲滯模型)可通過(guò)平臺(tái)靜態(tài)遲滯特性的模型(即靜態(tài)遲滯模型)與平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性的模型(即線性動(dòng)力學(xué)模型)的串聯(lián)進(jìn)行描述。

由于PI模型具有算法簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，便于求逆等優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛用來(lái)描述具有遲滯特性的系統(tǒng)。PI遲滯模型主要用來(lái)描述具有奇對(duì)稱(chēng)遲滯特性的系統(tǒng)，而壓電執(zhí)行器的遲滯特性表現(xiàn)為非奇對(duì)稱(chēng)性。因此，本文在構(gòu)成常規(guī)PI遲滯模型的Play算子(見(jiàn)圖3)中引入具有非奇對(duì)稱(chēng)性的Stop算子(見(jiàn)圖4)，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而得到PI遲滯模型與Stop算子串聯(lián)疊加的改進(jìn)PI遲滯模型(即MPI)。

圖3 Play算子

圖4 Stop算子

壓電微動(dòng)平臺(tái)的線性動(dòng)力學(xué)特性可采用欠阻尼二階系統(tǒng)來(lái)描述。本文在辨識(shí)平臺(tái)的線性動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，采用數(shù)值計(jì)算軟件Matlab中的辨識(shí)模塊，并基于自回歸滑動(dòng)平均模型(ARX)來(lái)辨識(shí)。

本文所提出的平臺(tái)率相關(guān)遲滯建模策略如圖5所示。圖中，u(t)是壓電微動(dòng)平臺(tái)的輸入電壓，δ(t)是u(t)經(jīng)過(guò)MPI模型后的中間變量，y(t)是在輸入電壓u(t)下平臺(tái)的實(shí)際輸出位移，N(·)和G(z)分別是MPI模型和ARX模型的數(shù)學(xué)表達(dá)。該模型簡(jiǎn)單，無(wú)需大量實(shí)驗(yàn)，建模周期短，克服了現(xiàn)有的整體式率相關(guān)遲滯建模方法的模型復(fù)雜、不易求解、建模周期長(zhǎng)等不足。

圖5 平臺(tái)的率相關(guān)遲滯建模策略

本文的MPI靜態(tài)遲滯模型、ARMAX線性動(dòng)力學(xué)模型、率相關(guān)MPI遲滯模型的表達(dá)式：

(3)

2.2 平臺(tái)前饋控制器的設(shè)計(jì)

本文壓電微動(dòng)平臺(tái)的前饋控制器設(shè)計(jì)思路：根據(jù)前面所建立的率相關(guān)MPI遲滯模型求取其逆模型，并將遲滯逆模型作為前饋控制器串聯(lián)到壓電微動(dòng)平臺(tái)前，用于補(bǔ)償壓電微動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯誤差。前饋控制方案框圖如圖6所示。將期望輸出位移yd(t)輸入到前饋補(bǔ)償控制器，得到前饋補(bǔ)償控制電壓u(t)，然后將u(t)輸入壓電微動(dòng)平臺(tái)中得到前饋控制后的實(shí)際輸出位移y(t)。

圖6 前饋控制方案框圖

本文提出的率相關(guān)MPI模型是一種分離式結(jié)構(gòu)的遲滯模型，因此，其逆模型也具有分離式結(jié)構(gòu)，由動(dòng)態(tài)線性逆模型與靜態(tài)遲滯逆模型串聯(lián)構(gòu)成，如圖7所示。其中ARX逆模型、MPI逆模型的表達(dá)式為

圖7 率相關(guān)MPI遲滯逆模型結(jié)構(gòu)框圖

(4)

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)，得到前饋控制器的控制律為

(6)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 平臺(tái)位移測(cè)試系統(tǒng)

圖8為壓電微動(dòng)平臺(tái)位移測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)采集卡、驅(qū)動(dòng)電源、壓電執(zhí)行器、微動(dòng)平臺(tái)和電容式位移傳感器構(gòu)成。

圖8 平臺(tái)位移測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

3.2 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 階躍響應(yīng)

圖9為平臺(tái)3個(gè)方向在無(wú)前饋控制和有前饋控制下的階躍響應(yīng)結(jié)果。由圖可知，在無(wú)前饋控制器作用下，x、y和θz向的響應(yīng)時(shí)間分別為6.36 ms、7.64 ms和9.20 ms，穩(wěn)態(tài)誤差分別為0.45 μm、0.79 μm和6.33 μrad；有前饋控制器作用下，x向、y向和θz向的響應(yīng)時(shí)間分別為6.64 ms、7.92 ms和8.56 ms，穩(wěn)態(tài)誤差分別為0.19 μm、0.41 μm和1.21 μrad。由此可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的前饋控制器有效地提高了平臺(tái)的定位精度。

圖9 階躍響應(yīng)

3.2.2 正弦軌跡跟蹤

圖10為平臺(tái)3個(gè)方向在前饋控制器作用下跟蹤1 Hz和20 Hz的正弦軌跡跟蹤結(jié)果。在跟蹤1 Hz參考位移時(shí)，x、y和θz向的最大誤差分別為0.26 μm、0.26 μm和2.11 μrad；跟蹤20 Hz參考位移時(shí)，x向、y向和θz向的最大誤差分別為0.32 μm、0.37 μm和2.60 μrad。由此可見(jiàn)，前饋控制下平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯誤差得到有效補(bǔ)償，并隨著跟蹤信號(hào)頻率的增加，平臺(tái)3個(gè)方向上的最大控制誤差均無(wú)顯著增大，表明所設(shè)計(jì)的前饋控制器具有良好的率相關(guān)特性。

圖10 正弦跟蹤結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用分離式率相關(guān)遲滯建模策略，在傳統(tǒng)PI遲滯模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，得到率相關(guān)MPI遲滯模型?；诼氏嚓P(guān)MPI遲滯逆模型，采用直接逆補(bǔ)償控制方案，設(shè)計(jì)了平臺(tái)的前饋控制器?？刂茖?shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的前饋控制器能在一定程度上消除平臺(tái)的動(dòng)態(tài)遲滯特性，提高平臺(tái)的定位精度。