郭旭，徐萬鵬

(1.深圳市勘察測繪院(集團)有限公司，廣東 深圳 518028； 2.中鐵十五局集團有限公司，上海 200070)

1 引 言

鐵路、公路、軌道交通等道路工程的線路縱斷面，是由許多不同坡度的坡段連接而成的。兩相鄰坡段的連接點，稱為變坡點。車輛通過變坡點時，由于坡度方向發(fā)生突變，會產(chǎn)生附加的力和加速度，對車輛平穩(wěn)運行和乘坐舒適性造成很大影響。為了緩解變坡點處坡度的急劇變化，使車輛平穩(wěn)通過變坡點，應(yīng)在相鄰兩坡段間設(shè)置豎曲線[1]。

在我國，豎曲線通常采用圓曲線或二次拋物線[1，2]。其原因如下：

如圖1所示，標(biāo)準(zhǔn)拋物線的基本方程為[2]

圖1 標(biāo)準(zhǔn)拋物線與圓曲線的幾何關(guān)系

x2=2Py

若取拋物線參數(shù)P為豎曲線的半徑r，則有：

(1)

另外，以點R(r，0)為圓心，半徑為r的圓的方程為：

x2+(y-r)2=r2

即，對于圓曲線，有

(2)

設(shè)計道路縱斷面時，由相鄰坡段引起的轉(zhuǎn)坡角ω非常小，對于切點A和切點B之間的豎曲線而言，y遠小于x，所以，y2?x2

于是，從式(2)中舍去更高階無窮小y2，對y的影響可以忽略不計，因此，可得：

(3)

由式(1)和式(3)可知，豎曲線采用圓曲線或二次拋物線，幾乎是等價的。

在式(1)和式(2)中，y坐標(biāo)是計算豎曲線對應(yīng)的道路設(shè)計高程的一個最重要的參數(shù)。很顯然，對于計算y坐標(biāo)而言，式(1)比式(2)要簡單得多。因此，在電算不普及的手算年代，通常利用二次拋物線來計算豎曲線對應(yīng)的線路高程，并一直沿用至今。由于二次拋物線的弦長計算復(fù)雜，在實際應(yīng)用時，通常利用圓曲線計算豎曲線要素，利用拋物線計算豎曲線的設(shè)計高程。

2 傳統(tǒng)豎曲線測設(shè)計算方法存在的問題

設(shè)前、后坡段的坡度為i1和i2。設(shè)置豎曲線時，如果i1i2，則稱凸型豎曲線。道路工程勘測設(shè)計時，通常只提供每個變坡點對應(yīng)的里程KE和高程HE，而豎曲線上各點對應(yīng)的設(shè)計高程，需要通過豎曲線數(shù)學(xué)模型計算求得?，F(xiàn)以凹型豎曲線為例，對傳統(tǒng)豎曲線測設(shè)算法進行分析和研究，找出傳統(tǒng)算法存在的問題。

如圖2所示，如果前、后坡度大小相等，符號相反，則變坡點E將位于y軸上。除此而外，變坡點會偏離y軸一定距離t。為精確計算豎曲線頭、尾，即垂足A和B的里程和高程，從理論上講，首先應(yīng)求得豎曲線對應(yīng)的切線長AE和BE，然后利用變坡點里程KE，減去切線AE的平面投影長度，可以得到豎曲線起點A的精確里程KA，即：

圖2 豎曲線傳統(tǒng)算法示意圖

KA=KE-AE·cos(tan-1i1)

進而可求得A點的精確高程

HA=HE+i1(KA-KE)

同理，可以得到豎曲線終點B的精確里程和高程，即

KB=KE+BE·cos(tan-1i2)

和

HB=HE+i2(KB-KE)

實際計算時，二次拋物線對應(yīng)的切線長T很難精確求得，通常是利用圓曲線對應(yīng)的參數(shù)，近似代替二次拋物線對應(yīng)的參數(shù)[4～6]。具體算法如下：

(1)利用轉(zhuǎn)坡角和圓曲線的半徑，近似求得豎曲線的近似長度，即：

L=rω≈r(tan-1i1-tan-1i2)

由于i1和i2都很小，近似可得：

L≈r(i1-i2)

(2)假定t=0，可得豎曲線切線長的近似值：

之所以假定t=0，其原因如下：

如圖1，假定前、后坡段不以y軸左右對稱，則前、后坡道引起的轉(zhuǎn)坡角的絕對值不相等，設(shè)其差值為dω，則有：

dω≈|i1|-|i2|

于是，可得圓曲線的圓心偏離y軸的水平距離為：

dR≈r·dω

假定變坡點對應(yīng)的圓曲線的正矢為e，則有：

對于實際道路，正矢e非常小，通常在厘米至分米的量級上，dω更小，通常小于0.01，因此，假定t=0，幾乎不影響運算結(jié)果。

(3)切線上任意點與豎曲線之間的豎距

即

由于

所以

(4)

式(4)中，l為豎曲線上任一點至豎曲線起點(或終點)的距離，r為豎曲線的半徑。

(4)當(dāng)l=T時，由式(4)可求得豎曲線的外距：

由以上推導(dǎo)可知，豎曲線計算的最終目的是確定道路設(shè)計縱坡上指定樁號的設(shè)計高程。即，求得豎曲線上任一點的切線高程

HQ≈HE±i(T-l)

及其改正值

進而求得該點的設(shè)計高程。對于凹型豎曲線，其設(shè)計高程為：

Ha≈HQ+h

對于凸型豎曲線，其設(shè)計高程為：

Ht≈HQ-h

經(jīng)過以上分析，可知豎曲線測設(shè)的傳統(tǒng)算法主要存在以下問題：一是數(shù)學(xué)模型不嚴(yán)密，用在教科書上，不利于學(xué)生理解；二是近似計算，舍入誤差較大；三是計算過程煩瑣，容易出錯；四是需要大量的判斷，不利于電腦編程運算。

目前，編程計算器和電腦已經(jīng)非常普及，加之交通運輸?shù)乃俣炔粩嗵岣撸貏e是高速鐵路的普及，豎曲線的測設(shè)精度通常要達到毫米至亞毫米級，計算精度要求更高，采用傳統(tǒng)近似算法，已遠遠無法滿足高精度測量和計算的需要，規(guī)范和教科書也亟待更新。諸如文獻[3]等大量的文獻，也都對上述問題進行過很多研究和論述，并提供了一些精確算法，遺憾的是：這些文獻只注重了計算精度，沒能找出簡單實用的計算公式。

3 精準(zhǔn)豎曲線測設(shè)計算統(tǒng)一模型

3.1 精確確定豎曲線的樁號范圍

如圖3和圖4所示，無論是凹型豎曲線，還是凸型豎曲線，由于前、后縱坡線和豎曲線在同一個鉛錘面內(nèi)，圓曲線的圓心O也在該鉛錘面內(nèi)，且凹型豎曲線的圓心位于道路中心線的正上方，凸型豎曲線的圓心位于道路中心線的正下方。由圖3可知，前、后坡段引起的轉(zhuǎn)坡角分別為：

圖3 凹型豎曲線計算示意圖

α1=tan-1i1

(5)

和

α2=tan-1i2

(6)

上坡為仰角，轉(zhuǎn)坡角為正，下坡為俯角，轉(zhuǎn)坡角為負(fù)。

前、后坡段引起的總的轉(zhuǎn)坡腳為：

ω=α1-α2

(7)

由圖1可知，豎曲線對應(yīng)的圓心角為|ω|。設(shè)圓曲線半徑為r，則可求得豎曲線對應(yīng)的切線長T為：

(8)

利用切線長和前、后坡段引起的轉(zhuǎn)坡角，可求得豎曲線起點A和終點B的精確樁號，以及A和B的精確高程分別為：

KA=KE-Tcos(a1)

(9)

KB=KE+Tcos(a2)

(10)

HA=HE+i1(KA-KE)

(11)

HB=HE+i2(KB-KE)

(12)

因此，豎曲線精確的里程范圍，即樁號范圍，位于閉區(qū)間[KA，KB]上。

3.2 凹型豎曲線計算的精確模型

如圖3所示，對于凹型豎曲線，其圓心O位于道路中心線的正上方，無論是上坡或下坡，利用豎曲線起點A或終點B，都能精確求得圓心O的高程，和其對應(yīng)的樁號，即：

HO=HA+rcosα1=HB+rcosα2

(13)

和

KO=KA-rsinα1=KB-rsinα2

(14)

如圖3，假定凹型豎曲線上任意一點P對應(yīng)的里程，即樁號為KP∈[KA，KB]，可求得圓心O到P點的里程的差值，即樁號差值，為：

d=KP-KO

(15)

于是，利用圓心O的高程，可以精確求得P點的高程為：

(16)

式(13)、式(14)、式(15)、式(16)，即為計算凹型豎曲線的嚴(yán)密、精確模型。其中，式(15)的幾何意義是：d的絕對值，就是豎曲線對應(yīng)的圓心O，以及豎曲線上任意點P，在水平面上的投影點之間的距離。

3.3 凸型豎曲線計算的精確模型

如圖4所示，對于凸型豎曲線，其圓心O位于道路中心線的正下方，無論是上坡或下坡，利用豎曲線起點A或終點B，也能精確求得圓心O的高程，和其對應(yīng)的樁號。即，不僅式(15)有效，還有：

圖4 凸型豎曲線計算示意圖

HO=HA-rcosα1=HB-rcosα2

(17)

和

KO=KA+rsinα1=KB+rsinα2

(18)

因此，利用圓心O的高程，也可精確求得P點的高程為：

(19)

式(15)、式(17)、式(18)、式(19)，即為計算凸型豎曲線的嚴(yán)密、精確模型。

3.4豎曲線計算的統(tǒng)一模型

定義符號變量f

(20)

對于豎曲線，式(20)中的i1=i2實際上是不存在的，之所以列立出來，只是為了表達數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性。

綜合式(13)和式(17)，可得圓心O的高程：

HO=HA+f·r·cosα1=HB+f·r·cosα2

(21)

綜合式(14)和式(18)，可得圓心O的里程：

KO=KA-f·r·sinα1=KB-f·r·sinα2

(22)

綜合式(16)和式(19)，可得：

(23)

將式(5)和式(22)代入式(15)，可得：

d=KP-KA+f·r·sin(tan-1i1)

(24)

將式(5)和式(21)代入式(23)，可得：

(25)

式(24)和式(25)，即為計算豎曲線的嚴(yán)密、精確的數(shù)學(xué)模型。

式中：KA、HA為豎曲線起點A對應(yīng)的里程和高程；

f為符號變量，凹曲線取1，凸曲線取-1；

r為豎曲線的半徑；

i1為豎曲線起點A所在坡道的坡度；

KP為豎曲線上任意一點P對應(yīng)的里程，即樁號。

4 工程應(yīng)用與模型評價

本文導(dǎo)出的豎曲線計算模型，基于嚴(yán)密推理，不存在舍入誤差，因而，計算是精準(zhǔn)的。該模型于2010年首先應(yīng)用于上海力信研制的盾構(gòu)導(dǎo)向系統(tǒng)中。該導(dǎo)向系統(tǒng)在國內(nèi)的市場份額一度超出50%，在北京、上海、廣州、深圳等眾多城市地鐵工程中大量采用，效果良好。不僅如此，該模型易于理解，公式簡單，規(guī)律性強，適合計算機編程運算，已被多家軟件公司采用。京滬高鐵建設(shè)期間，多期高級測量工培訓(xùn)班講解該模型，學(xué)員普遍反映該模型規(guī)律性強，易于理解。下面是筆者基于C語言編寫的豎曲線計算的程序片段。

{

int f=(i1

double d=Kp-Ka-f*r*sinl(atanl(i1)))；

return Ha+f*(r*cosl(atanl(i1))-sqrtl(r*r-d*d))；

}

可以看出，短短3行代碼，就能解決復(fù)雜問題，且得到的計算結(jié)果不存在模型誤差，而采用傳統(tǒng)算法，通常需要上百行代碼才能解決同樣的問題。