疏忠良

（安徽省合肥市五十中學(xué)東校西園校區(qū) 安徽合肥 230000）

一、試題呈現(xiàn)

在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME，下列結(jié)論錯誤的是（ ）。

A.CD=2ME B.ME∥AB C. BD=CD D.ME=MD

二、調(diào)查訪問

1.結(jié)果反饋

中考結(jié)束，就有很多同學(xué)表示，今年中考數(shù)學(xué)有幾題很難，如第10題。于是，我對我校九年級十五個班712名學(xué)生調(diào)查問卷，結(jié)果建如下表所列。

筆者仔細詢問同學(xué)們，發(fā)現(xiàn)他們的解法多種多樣：有瞎蒙的，有畫圖驗證的，有邊畫圖邊猜的，有畫圖證明的等。其中，有部分同學(xué)還這樣說，假設(shè)∠BAC=600（圖1），延長CE交AB于點G，根據(jù)條件可以證明四邊形BDCG為菱形，ME是△BCG的中位線，故ME∥AB，BD=CD，ME=MD，CD=BG=2ME，所以A、B、C、D答案都對?！笆穷}目錯誤呢？還是什么原因呢？于是就隨便選個答案，結(jié)果錯了。”這些同學(xué)的做法，暴露出什么問題呢？值得我們深思探究。

2.解題困惑

困惑1：未能根據(jù)題意畫出正確的幾何圖形，就不知道怎么做了，隨便猜個答案。

困惑2：畫出特殊圖形，如∠BAC=600，，以特殊猜想一般，發(fā)現(xiàn)四個答案都對，懷疑題目的正確性，也隨便填個答案，碰碰運氣。

困惑3：畫出圖形，既不知道用度量法去判斷，也不知道構(gòu)造輔助線，很茫然，找不到正確的解題思路。

困惑4：審題不準(zhǔn)確，把“下列結(jié)論錯誤的是”看成“下列結(jié)論正確的是”，發(fā)現(xiàn)B、C、D答案都對，又困惑了。

3.追根溯源

部分同學(xué)沒能根據(jù)題意畫出正確的幾何圖形，根源在于審題不準(zhǔn)確、基礎(chǔ)知識薄弱，畫圖能力弱。部分同學(xué)能畫出圖形，卻未能構(gòu)造出適當(dāng)?shù)妮o助線去推理論證，說明發(fā)散思維能力有待提高。部分同學(xué)畫出特殊圖形（∠BAC=600）判斷，犯了以偏概全的錯誤。其根本原因在于，沒有理解和掌握判斷一個命題真假的方法，概念不清，邏輯推理也出現(xiàn)錯誤。

三、解題分析

1.思路探析

思路探尋1：畫圖判斷法

畫出符合題意的一般圖形，如圖2所示，用三角板或圓規(guī)度量線段CD，BD，ME，MD的長度，即可發(fā)現(xiàn)CD≠2ME，故很快就能選擇正確答案A。

思路探尋2：相互關(guān)聯(lián)排除法

如圖2所示，假設(shè)A、B、C、D中的某一項正確，如B正確，即ME∥AB，則∠DEM=∠DAB，根 據(jù)AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC=∠DAB=∠DEM，如果D正確，即ME=MD，則可推得MD∥AC，MD⊥BC，DB=DC，這樣，B、C、D都對，故A錯誤。

思路探尋3：演繹推理法

根據(jù)已知條件，作出適當(dāng)輔助線，構(gòu)造兩個等腰三角形，利用等腰三角形、三角形中位線性質(zhì)等，作出合理論證，發(fā)現(xiàn)B、C、D都對，A不一定正確。

思路探尋4：四點共圓法

如圖3所示，根據(jù)隱含條件∠DMC=∠DEC=900，構(gòu)造C，D.M，E四點公圓，直徑CD不一定是弦ME的2倍，顯然A錯，又獲得一解。

思路探尋5：逆推法

在思路探尋4的基礎(chǔ)上，假設(shè)CD=2ME成 立,由于CD是圓的直徑，則ME等于半徑長，則△OME為等邊三角形，且∠MOE=600，而此結(jié)論，從題目已知條件中，能否有或者能否推導(dǎo)出？顯然不能,故CD=2ME不成立。

2.解法呈現(xiàn)

解：如圖4所示，分別延長BD、AC交于點F，延長CE交AB于點G。

∵AD是∠BAC的平分線，BD⊥AD，CE⊥AD

∴∠ABF=∠AFB，

∠AGC=∠ACG

∴△ABF，△ACG是等腰三角形

∴D，E分別是BF和CG中點

∵點M是BC中點

∴MD∥AC，ME∥AB

∴∠MDE=∠DAC=∠DAB=∠MED

∴ME=MD

∵∠ACB=900，MD∥AC

∴MD⊥BC

∴BD=CD

∴ 結(jié)論B、C、D正確，而CD=2ME 無法證明，故結(jié)論A錯誤。

解題反思：根據(jù)題意畫出正確圖形是解決本題的關(guān)鍵，巧妙地運用度量法即可快速選出答案，可謂“小題巧做，一鳴驚人”，思維靈活。利用A、B、C、D選擇項之間的相互關(guān)聯(lián)關(guān)系，運用分析法的思維方式進行合情推理，再結(jié)合排除法選出答案。舉例法（特值法）是解決選擇題常用方法，為什么本題不能取特殊角∠BAC=600，呢？因為，如果一個命題本身是真命題，用特殊值驗證其正確性，合乎邏輯，推理正確。如果一個命題本身是假命題，用特殊值驗證說明其正確性，以偏概全，不合乎邏輯。選擇項A.CD=2ME，本身就是錯誤的結(jié)論。所以，不能用特殊值說明。至于輔助線是如何產(chǎn)生的，那是要仔細認(rèn)真觀察幾何圖形、運用平時的思維活動經(jīng)驗、解題經(jīng)驗，回顧常用的輔助線作法，抓住已知條件“分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線”作為突破口，分別延長AC和BD交于點F,從而構(gòu)造等腰三角形ACG,ABF,發(fā)現(xiàn)D，E是BF,CG的中點，為后面的結(jié)論證明，打開了天窗。因此，認(rèn)真分析題意，挖掘隱含條件，巧妙地構(gòu)造輔助線，解決平面幾何問題，看似“山重水復(fù)疑無路”，實則“柳暗花明又一村”，豁然開朗，事半功倍。

3.變式遷移

變式1：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）。

①CD=2ME ② ME∥AB ③BD=CD ④ ME=MD

A.1 B.2 C.3 D.4

反思：在原題基礎(chǔ)上，題設(shè)不變，結(jié)論改變，要求學(xué)生對A，B，C，D 四個選擇項逐一判斷，才能選擇出正確答案。此題意在考查學(xué)生畫圖和邏輯推理能力。

變式2：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作BC邊上中線的垂線，垂足分別為點D、E，作DM⊥BC，垂足為點M，連接CD，ME，下列結(jié)論正確的是（ ）。

A.D=2ME B.ME∥AB C. BD=CD D.ME=MD

反思：在原題基礎(chǔ)上，題設(shè)改變，結(jié)論不變，意在考查學(xué)生動手操作和知識遷移、邏輯推理、直觀想象能力。

變式3：在△ABC中，∠ACB=900，分別過點B、C 作∠BAC的平分線的垂線，垂足分別為點D、E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME。

求證：（1）GD·GE=GM·GC（2）∠CDE=∠CME

反思：在原題基礎(chǔ)上，題設(shè)不變，結(jié)論改變，變?yōu)榻獯痤}形式，要求學(xué)生能夠用正確的數(shù)學(xué)符號語言書寫出推理過程，考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)定理掌握程度，考查學(xué)生幾何邏輯推理能力和核心素養(yǎng)。當(dāng)然，還可以運用四點共圓的判定先證明C，D，M，E共圓，再運用圓的有關(guān)性質(zhì)證明此結(jié)論。所以，經(jīng)過變式拓展，運用多種方法分析問題解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散思維能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

變式4：在原題的基礎(chǔ)上，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？如果改變條件，又有什么結(jié)論呢？并嘗試證明結(jié)論。

反思：這種變式，問題開放，激發(fā)學(xué)生探究新問題的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生主動思考探究，有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。

遷移：（2009年安徽中考第10題）△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是（ ）。

A.120° B.125° C.135° D.150°

這道題和今年中考第10題，異曲同工，倍感親切。

四、教學(xué)啟示

1.深刻理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵、外延和本質(zhì)，夯實“四基”教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，教師在課堂教學(xué)中，要著重夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗教學(xué)，在此基礎(chǔ)上，才能培養(yǎng)和提高學(xué)生的分析問題解決問題能力。中考試題就是最好的體現(xiàn)和落實新課標(biāo)要求和精神。

本題，部分學(xué)生犯錯，主要原因是對等腰三角形、直角三角形、全等三角形、三角形的高、角平分線、中位線的判定與性質(zhì)掌握不夠牢固。對“下列結(jié)論錯誤的是”的判斷，部分學(xué)生犯了以偏概全的錯誤。究其原因，實質(zhì)上是對命題概念的理解不夠深刻。如何判斷一個命題真假，本質(zhì)上又是對邏輯推理的理解。因此，在課堂教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲，積極引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)概念、公理、定理的內(nèi)涵、外延和本質(zhì)；要認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真鉆研教材，認(rèn)真研究學(xué)生的認(rèn)知特點和規(guī)律；通過適量的習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力，使學(xué)生在解決問題過程中，積累一定的基本活動經(jīng)驗，從而達到夯實“四基”的教學(xué)目標(biāo)。

2.掌握方法比掌握知識更重要

中考題中，是選擇題作為壓軸題。既然是選擇題，就要掌握選擇題的解題方法，只要結(jié)果，不要過程。除常規(guī)方法外，有時候“小題巧做”，可謂“四兩撥千斤”，體現(xiàn)思維的靈活性。根據(jù)題意畫出正確圖形再用度量方法即可快速選擇答案（如解法1）。另外，可以根據(jù)選擇項A、B、C、D之間的相互關(guān)系，作出合理猜想判斷也能選出正確答案（如解法2）。事實說明，掌握方法比掌握知識更重要。

授人以魚，不如授人以漁。在平時教學(xué)中，我們教給學(xué)生更多的是知識，知識的背后是什么？是方法！是能力！是素養(yǎng)！比如：勾股定理內(nèi)容是知識，在運用定理解決問題過程中，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想；勾股定理的證明過程中又滲透了運用幾何圖形面積法證明的整體和部分思想、相似法證明的相似變換思想方法等。

知識是方法的載體，方法是知識的靈魂。方法好比開門鑰匙，利用它可以打開知識的寶庫。如何打開？教師要引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，提出合適問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生去主動思考、探究、合作交流。在探究過程中，學(xué)生自然而然地理解知識掌握知識，體驗方法的美妙，同時，學(xué)會歸納總結(jié)思想方法和解題策略，在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維、邏輯思維和辯證思維能力。

3.畫圖、識圖、推理、論證是學(xué)習(xí)幾何的必要路徑

史寧中教授曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，“看”是一種直覺?！翱础笔裁?？如何“看”？首先要求就是根據(jù)題意會畫出正確的幾何圖形，然后會“看”，即會觀察圖形、認(rèn)識圖形、合理猜想、推理、論證，得出結(jié)論，上面的試題就是最好的例證。畫圖既是基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生動手操作實踐能力的前提。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等知識和方法解決問題。可見，命題者認(rèn)真研究新課程標(biāo)準(zhǔn)，勇于創(chuàng)新，精心設(shè)計出這樣一道精彩的幾何壓軸題，考查了學(xué)生的動手實踐能力，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]。

教師如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何呢？學(xué)習(xí)幾何的必要路徑是：讀懂題意，正確畫圖，認(rèn)識圖形，學(xué)會思考，推理論證。

讀懂題意：搞清題目中的已知條件和所求結(jié)論，尋求兩者之間的關(guān)系，搭建橋梁。

正確畫圖：根據(jù)題意運用畫圖工具能夠正確地畫出符合題意的幾何圖形，比如畫ΔABC,如果題目沒有說明它是什么形狀，就應(yīng)該考慮畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形形狀，從而了解命題者的考差意圖，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想方法。

認(rèn)識圖形：圖形畫好后，如何認(rèn)識？從哪些角度認(rèn)識？一般地從圖形邊長或者角度來認(rèn)識。比如：求證，兩條線段相等、兩個角相等，就可以考慮證明兩三角形全等，或者利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)證明。邊長之間，邊長與角度有什么聯(lián)系？求證：四條線段成比例或等積式，就可以考慮證明兩三角形相似。

學(xué)會思考：在畫圖、識圖的基礎(chǔ)上，如何思考？首先，要獨立思考，然后才能討論交流。

推理論證：在正確畫圖識圖的基礎(chǔ)上，厘清解題思路，然后規(guī)范書寫解題過程，注意引導(dǎo)學(xué)生必須從已知條件出發(fā)，逐步推理，步步為營。

4.變式拓展，深度思考，更有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是思維的體操。不經(jīng)一番寒徹骨，哪得梅花撲鼻香？對一個數(shù)學(xué)問題進行變式拓展，逐層遞進，深度思考，如；本題的變式訓(xùn)練，從多個角度、多個方向，引導(dǎo)學(xué)生思考問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。雖然有一定的思維難度，但是，經(jīng)過作不同的輔助線，構(gòu)造不同的圖形，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作交流，解法多樣，殊途同歸。

通過研究安徽中考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，整過試卷23題，有4道題難度較大，分別是選擇題最后一題，填空題最后一題，解答題22題、23題。這4道題，無論是代數(shù)內(nèi)容，還是幾何內(nèi)容，都有一定的綜合性，都有一定的思維含量，不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，而且考查學(xué)生的代數(shù)推理或幾何推理能力，考查學(xué)生分析問題解決問題能力。那么，如何快速而有正確地解答這類試題呢？學(xué)生必須具備較強的解題能力。能力如何形成？來源于平時的學(xué)習(xí)和思考，深度學(xué)習(xí)就有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。所謂深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的思維過程，學(xué)生獲得高階思維方式掌握解決問題的有效策略，不僅培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且提升了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。這樣即使面對再難的試題也會有解決辦法[2]。

5.品味試題內(nèi)涵，踐行核心素養(yǎng)

仔細閱讀研究上面的中考試題，考查內(nèi)容，從表面上看是角平分線、中垂線、直角三角形、全等三角形的相關(guān)知識，本質(zhì)上是考查學(xué)生的畫圖、識圖、邏輯推理、直觀想象能力和核心素養(yǎng)；考查學(xué)生的方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想方法。同時還考查學(xué)生遇到難題有沒有戰(zhàn)勝困難的信心和勇氣。其實，試題很好地了滲透情感態(tài)度教育。

中考試題是很好的導(dǎo)向，因此，我們教師要認(rèn)真研究中考試題、認(rèn)真研究新課標(biāo)、認(rèn)真研究教材、研究學(xué)情，研究中考試題的命題規(guī)律，提高課堂教學(xué)效率，力求做到有效教學(xué)、高效教學(xué)。

在重視基礎(chǔ)題、中檔題的基礎(chǔ)上，關(guān)注壓軸題的教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度思考、深度學(xué)習(xí)。特別是幾何與二次函數(shù)的綜合題、探究性試題，值得研究思考。

結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型。

一道好的中考試題，就是一盞明亮的燈塔，指引我們教學(xué)前進的方向。我們要仔細品味中考試題，理解和尊重命題者的艱辛勞動，從試題中汲取營養(yǎng)和智慧，并把這種營養(yǎng)轉(zhuǎn)化給學(xué)生，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的智慧和方法。