惠 俊，柴洪洲，杜禎強

（信息工程大學，鄭州 450001）

現代光學陀螺儀是一種能夠精確確定運動物體方位的儀器，在慣性導航[1,2]、精密測量[3]、測地學[4]等領域有著廣闊的應用前景。光纖陀螺儀作為一種基于Sagnac 效應的新型角速率傳感器，利用干涉儀中相向運動的兩束光相遇時形成干涉。光纖陀螺的相位測量精度與兩束相向運動的光束所包圍的面積成正比，與干涉光波的波長成反比。為了提高相位測量的靈敏度，可以對測量系統(tǒng)進行改進或對算法進行優(yōu)化[5]。改進測量系統(tǒng)通常采取增加光纖線圈的匝數和線圈所圍半徑以增大面積，或者采用波長較短的光波[6]。

量子光學的蓬勃發(fā)展也給陀螺的高精度探索開辟了新的道路[7,8]。相較于傳統(tǒng)光纖Sagnac 干涉儀的單光輸入雙光輸出模式，量子力學框架下的干涉儀具有雙輸入/雙輸出的特征。在傳統(tǒng)光纖陀螺中，光按經典場處理，經典光源的相位測量精度的理論極限為散粒噪聲極限（Shot Limit Noise,SNL）或標準量子極限（Standard Quantum Limit,SQL），決定了光學陀螺儀精度的理論上限[7]。利用量子信息的糾纏特性可實現測量精度的增益[9,10]。2019 年，Fink 等[11]首次提出了糾纏光子陀螺，利用雙光子糾纏態(tài)實現了德布羅意波長的減半，其實驗結果突破了標準量子極限。張桂才等[12]研究了基于最大糾纏態(tài)（NOON 態(tài)）的光子糾纏光纖陀螺儀的相位靈敏度，理論上，相對散粒噪聲極限可提高倍（N為多光子糾纏態(tài)的光子數量）。無損條件下，對于NOON 態(tài)而言，總光子數為2N的兩束光通過Sagnac 干涉儀后，相移的測量不確定度可達到海森堡極限σφHL=1/2N[13]。雖然具有最大糾纏增益，但大量研究表明，NOON 態(tài)在實際環(huán)境中易受到干擾，其糾纏性能將被嚴重削弱，導致最終陀螺儀測量精度的增益有限，且多光子NOON 態(tài)也不能直接作為陀螺儀的輸入態(tài)[14]。而糾纏數態(tài)輸入則對實際環(huán)境噪聲具有更好的魯棒性，同時可在雙輸入端口直接注入糾纏數態(tài)。

對于光纖陀螺儀輸出端的測量，較為成熟的糾纏測量方案包括光強差檢測以及奇偶校驗測量[15]?？紤]到雙輸出的量子陀螺儀光學結構，如果兩個輸出端的光子數相同，那么光強差結果為0，此時光強差測量結果對相位參數不敏感，無法實現對光纖陀螺儀的相位估計[16]。而利用奇偶校驗測量方案不僅能實現糾纏數態(tài)的測量，同時可實現對光強差測量方案的改進。

綜上所述，本文提出了采用雙模糾纏光子數態(tài)作為光纖陀螺儀的輸入，并闡述了基于糾纏光子數態(tài)光纖陀螺儀的基本原理。同時，針對光強差測量存在的不足，提出了針對其中一條光路的輸出端進行奇偶校驗的測量方案?；跓o損傳播模型，本文首次推導了雙模糾纏光子數態(tài)（孿生數態(tài)）光纖陀螺儀的相位估計誤差公式。在輸入相同光子數條件下，將其與經典相干態(tài)和最大糾纏NOON 態(tài)輸入的光纖陀螺儀相位估值精度的極限進行了對比，并展示了在特定情形下運用奇偶校驗方法來提高糾纏光纖陀螺儀測量精度的優(yōu)越性。

1 Sagnac 干涉效應

1.1 經典光纖Saganc 干涉儀

光纖陀螺作為一種重要的傳感器，是當前的精密測量物理技術之一。它與基于經典力學的機械陀螺一樣，可用于測量運載體相對于慣性空間的旋轉角速度。V.Vali 和R.Shorthill 構建的Sagnac 干涉儀由光纖線圈構成閉合環(huán)路，如圖1 所示。在一個半徑為R，面積為S的圓環(huán)光纖中，由同一光源發(fā)出的光被半反射半透射分束器BS 分成兩束，分別沿順時針光路LCW和逆時針光路LCCW傳播，之后兩束光在分束器BS 處再次相遇并產生干涉，干涉光的強度由輸出端的探測器檢測。在干涉儀靜止的時候，兩者相遇無相位差，LCW=LCCW，干涉條紋的中心為（零級）明紋；而當干涉儀以角速度Ω沿其法線方向順時針旋轉時，在輸出端可以檢測到干涉光強的變化，這種由干涉儀旋轉引起的相位變化稱為Sagnac 相移φ。在RΩ?c的條件下，它與旋轉角速率Ω的關系為[17]：

式中，λ為旋轉參考系中的光波波長；L為光纖長度；R為光纖環(huán)的半徑；c為真空中的光速（如圖1）。所以，Sagnac 效應經常被用來測量某一慣性參考系的旋轉角速度Ω，由式(1)可知，為了提高干涉儀的角速度測量精度，可以增大圓環(huán)的面積S（增大半徑R）或者增加光纖匝數M（增加長度L）。除此以外，可以通過量子技術增強相位測量的靈敏度從而實現更加精密的角速度測量[13]。

圖1 經典光纖Sagnac 干涉儀示意圖Fig.1 Diagram of the classic fiber Sagnac interferometer

經典Sagnac 干涉儀為單輸入/雙輸出模式，它由一個50:50 分束器和一個光纖線圈組成。輸出端可采用不同的光學測量方案，最終實現環(huán)路中的Sagnac相位估計。通常的測量方法是對兩個輸出端口的光強差進行測量。理想情況下，兩個輸出端口的光強測量結果分別為[12]：

1.2 光纖Saganc 干涉儀的量子力學描述

在量子Sagnac 干涉儀中，真空場總是存在的，即使沒有光進入分束器的另一個端口，真空場也會從這個端口進入，因而干涉儀實際應為雙輸入/雙輸出模式。光纖環(huán)Sagnac 干涉儀與分立形式的Sagnac 干涉儀的光學變換過程是等價的。下面對分立形式的Sagnac 干涉過程進行量子化描述，如圖2 所示。

圖2 分立形式的Sagnac 干涉儀Fig.2 Discrete form of Sagnac interferometer

2 基于糾纏光子數態(tài)的光纖陀螺儀

2.1 雙模糾纏光纖陀螺儀的輸出態(tài)

考慮運載體做旋轉運動導致Sagnac 相移，假定這一相位移動發(fā)生在b模式中，則第二次通過分束器之前的量子態(tài)為：

式中，k∈[0,N]。

2.2 奇偶校驗方案與相位測量精度估計

本文設計的光纖陀螺儀干涉系統(tǒng)中采用半反半透分束器，即認為分束器的分光比為50:50，且無能量損耗。為了避免入射到光纖環(huán)中的光返回光源，從而對入射光路徑造成干擾，實驗中采用環(huán)形器代替耦合器。環(huán)形器作為一種多輸入輸出的光學器件，主要用于光的傳輸路徑選擇，其結構圖如圖3 所示。從端口1 輸入的光僅從端口2 輸出，從端口2 輸入的光僅從端口3 輸出，并假定傳輸過程沒有光子損失。

圖3 光纖環(huán)形器結構圖Fig.3 Structure diagram of optical fiber circulator

3 對比和仿真

3.1 糾纏光子數態(tài)與NOON 態(tài)的比較

在糾纏光子數態(tài)光纖Sagnac 干涉儀中，最優(yōu)的輸入態(tài)為NOON 態(tài)，通過光強差測量，NOON 態(tài)可以實現的相位測量精度為1/N。對于總光子數為2N的NOON 態(tài)輸入，經過Sagnac 相移φ有：

當N＞ 1時，僅通過Sagnac 干涉儀的光學變換難以得到最大糾纏NOON 態(tài)，多光子NOON 態(tài)的制備必然要更改Sagnac 光路結構，增加了干涉儀的復雜程度。鑒于量子Sagnac 干涉儀初始輸入的雙模輸入特征，可以在兩個輸入端口輸入糾纏光子數態(tài)，從而在現有光路的基礎上實現干涉儀相位測量精度的提高。本文以孿生數態(tài)輸入為例，即兩個輸入端口輸入的光子個數相同（對于總光子數為 2N的孿生數態(tài)，其雙模糾纏光子數態(tài)的粒子數統(tǒng)計分布滿足離散反正弦律，故又稱之為反正弦態(tài)），可將具有相同總光子數的孿生數態(tài)與具有最大糾纏性質的NOON態(tài)統(tǒng)計分布結果PNOON(2k,2N-2k)=(δk,0+δk,N)/2（δi,j為狄拉克符號，下標不等為0，相等為1）作一比較，如圖4 所示。

圖4 雙模糾纏光子數態(tài)與NOON 態(tài)的粒子數與相位統(tǒng)計分布（總光子數2N=20）Fig.4 Statistical distribution of the number and phase of the two-mode entangled Fock state and NOON state (total photon number of 2N=20)

當2N= 2時，由式(19)可知，孿生數態(tài)在第二次通過分束器之前，恰好轉換為最大糾纏NOON 態(tài)，由標準測量理論知，對其進行光強差測量，將無法獲得符合計數結果（光子數差為零），從而無法估計得到相位估計。若在輸出端進行奇偶校驗測量，同樣取2N= 2，則由式(16)知輸入孿生數態(tài)經過Sagnac干涉儀并最終由奇偶校驗測量結果得到的統(tǒng)計均值為：

由式(15)知，奇偶校驗測量的標準差為：

由誤差傳播公式（式(17)）知，相位測量的標準差為：

顯然，這一結果達到了總光子數為2N= 2的海森堡極限=1/2N=1/2。由此可見，N = 1時的孿生數態(tài)輸入經過光纖Sagnac 干涉儀制備成了NOON 態(tài)，表明奇偶校驗方案完全適用于NOON 態(tài)的測量，且同樣能達到糾纏光纖陀螺儀相位測量的海森堡極限。

圖5 給出了相同光子數條件下（2N= 20）的相干態(tài)粒子數統(tǒng)計分布與相位統(tǒng)計分布結果。將其與圖4 對比可以發(fā)現，由于光子的糾纏效應，使得糾纏數態(tài)的光子統(tǒng)計分布和相位統(tǒng)計分布發(fā)生了改變，NOON 態(tài)作為最大糾纏態(tài)輸入，對光纖陀螺儀的輸出增益性能最強。NOON 態(tài)輸入的Sagnac 相移分布呈諧波振蕩特征，其峰谷之間的距離要小于相干態(tài)輸入；而孿生數態(tài)輸入時，雖然由于糾纏度較低，由圖4(d)中可見僅有由相位差π 隔開的兩個尖峰，然而隨著總光子數的增加，其峰谷距離將趨于NOON 態(tài)輸入的情形。因此，對于某些特定的光子數態(tài)輸入，光子的相位分布仍然可以進一步壓縮，這就類似于利用量子光場的壓縮特性，在某些有用的窗口內可以減少場的正交波動，從而打破測量的標準量子極限，提升相位估計的精度。

圖5 相干態(tài)的粒子數與相位統(tǒng)計分布（總光子數2N=20）Fig.5 Statistical distribution of the number and phase of ccoherent state (total photon number of 2N=20)

3.2 不同糾纏輸入態(tài)與相位測量的精度估計

除了利用量子壓縮特性，利用量子糾纏同樣可實現測量精度的增益。無損條件下，對于最大糾纏態(tài)（NOON 態(tài)）而言，總光子數為2N的兩束光第二次通過分束器BS 后，相對相位（相移）的測量不確定度可達到海森堡極限=1/2N。雖然，NOON 態(tài)具有最大的糾纏特性，最有利于實現相位的高精度測量，但當輸入端的總光子數2N＞ 2時，利用現有的Sagnac 干涉儀無法直接輸入最大糾纏NOON 態(tài)，通過非線性或組合光路結構制備NOON 態(tài)無疑增加了實際應用的難度。即便制備得了NOON 態(tài)，在某些情況下，還可能出現光子數差為0 的情況，也就是說，當計算兩個輸出端口的光子數平均值時，其結果相等且不依賴于Sagnac 相移φ，因此在探測器的兩個輸出端口進行光強差探測時無法得到符合計數，從而無法通過誤差傳遞公式對Sagnac 相位進行估計，導致方法失效。此時便可采取奇偶校驗方案，而干涉儀的初始輸入態(tài)只需輸入糾纏光子數態(tài)即可（不一定是最大糾纏態(tài)），以雙模輸入光子數相同的孿生數態(tài)為例，進一步考察由奇偶校驗測量結果所得到的相位估值精度。取2N= 4，則由式(16)(17)(18)可知，相位測量的標準差為：

通過上述分析，所提方法能夠增強光纖陀螺儀Sagnac 相位輸出精度。具體地，以光纖陀螺為例，討論該方法對陀螺性能指標的改善。在光纖陀螺儀中靈敏度檢測極限，即可測量的最小角速度，是一項極為重要的指標。通常，以能檢測到的最高相位靈敏度對應為最小可測角速度：

式中，h為普朗克常數，c為光速，Δf為信號測量的帶寬，η D為探測器的量子效率，PD為探測器接收的光功率。對于一個波長λ=1550nm、光纖長度L=5km、線圈半徑R=0.1m、探測器量子效率ηD=0.9、信號帶寬Δf=0.01Hz、光功率PD=10μW的光纖陀螺，最小可測角速度為1.9 ×10-4°/h。

當采用文中方法時，相位輸出靈敏度的關系為Ωmin,twin=σφtwin/σφSQL·Ωmin,c≈ 1.1 ×10-4°/h。隨著輸入總光子數N的增大，光纖陀螺儀的靈敏度將逐漸達到海森堡極限。由于光纖陀螺儀相位測量的靈敏度與平均輸入光子數成正比關系增長，因此增加輸入光子數也能增加干涉靈敏度，但基于奇偶校驗方法的糾纏數態(tài)測量方案隨著光功率的增加，靈敏度的增加會更快。如圖6 所示，當輸入總光子數僅僅增加到2N=100時，光纖陀螺的最小可測角速度相對于傳統(tǒng)方案所能達到的最高精度就提高了一個數量級。

圖6 不同輸入態(tài)的相位估值精度隨總光子數N的變化曲線Fig.6 Variation curve of the phase estimation accuracy of different input states with N photons

表1 給出了經典相干態(tài)和NOON 態(tài)、糾纏光子數態(tài)輸入的量子光纖陀螺儀得到的相位檢測靈敏度對比?？梢钥闯?，經典相干態(tài)在理想條件下僅能達到標準量子極限，最大糾纏NOON 態(tài)突破了散粒噪聲極限，并可達到海森堡極限；而利用光強差測量方案在某些情況下無法獲得相位估值。對于一般糾纏光子數態(tài)的二階符合計數雖然存在Sagnac 相位φ的信息，但因為并非所有的輸出態(tài)都對二階符合計數有貢獻，存在一個固有效率或概率，因此基于光強差測量未能突破標準量子噪聲極限；如果采用奇偶校驗方案，則對上述情況均能有效處理，獲得相位估值精度的提高，對于NOON 態(tài)輸入的測量結果可達到海森堡極限，而對于一般的糾纏光子數態(tài)輸入的測量結果隨著總光子數N的增大漸進達到海森堡極限。

表1 不同輸入態(tài)與相位估值精度對比Tab.1 Comparison of different input states and phase estimation accuracy

4 結論

基于光子糾纏光纖陀螺的雙輸入/雙輸出模式，仔細討論了光纖陀螺儀的量子描述框架，設計了一種采用雙環(huán)形器進行奇偶性探測的光路結構。通過對糾纏光子數態(tài)光纖陀螺儀測量原理的考察，發(fā)現當輸出態(tài)的光子數差算符為0 時，標準光強差測量方法將失效，針對光強差測量方案存在的不足，提出了對其中一條光路的輸出端進行奇偶性檢驗的測量方案。此外，本文基于無損傳播模型，首次推導了一種基于雙模糾纏光子數態(tài)的光纖陀螺儀相位估計誤差公式。在相同輸入光子數條件下，將其與經典相干態(tài)和最大糾纏NOON態(tài)輸入的光纖陀螺儀相位測量精度的極限進行了對比，并展示了特定情況下利用奇偶校驗方法來提高糾纏光纖陀螺儀測量精度的優(yōu)越性。分析表明，基于糾纏光子數態(tài)輸入的光纖陀螺儀雖然不能達到海森堡極限，但將隨著N的增大不斷趨于海森堡極限。對于輸入量子態(tài)的優(yōu)化選擇以及輸出態(tài)優(yōu)化測量方案仍然需要深入探討。此外，光子糾纏陀螺儀的研制還需要考慮光子傳輸的損耗特性以及退相干的影響等問題，依然有待進一步研究。