吳 鵬，穆榮軍，鄧雁鵬，崔乃剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

環(huán)形山具有明確、穩(wěn)定、易于提取結(jié)構(gòu)等優(yōu)點，廣泛分布于月球[1]、火星[2]、小行星[3]、衛(wèi)星[4]等天體表面，環(huán)形山圖像匹配被廣泛應(yīng)用于光學(xué)導(dǎo)航中。環(huán)形山檢測算法（Crater Detection Algorithm,CDA）是在探測器獲取的光學(xué)圖像或激光高程信息基礎(chǔ)上，提取圖像中環(huán)形山的算法。環(huán)形山檢測方法眾多，目前已有采用形態(tài)學(xué)、明暗分析、Canny 邊緣檢測、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)、極大熵閾值三值化[5]等算法的CDA 得以提出并應(yīng)用于月球及行星探測中[6-9]。CDA及因其而發(fā)展的曲線擬合、半圓擬合等方法應(yīng)用廣泛，相應(yīng)算法在行星際航行的天文導(dǎo)航中也有應(yīng)用[10]。

近年來，隨著月球、火星等深空探測任務(wù)的實施與發(fā)展，眾多研究者針對基于環(huán)形山檢測的光學(xué)導(dǎo)航算法（CDA based Optical Navigation,CDA-OPNAV）開展研究，將其與慣導(dǎo)進行組合，獲得了較為豐富成果。文獻[11]對基于特征的可觀測性進行分析，并采用Fisher 信息計算誤差下界；美國火星漫游者號采用序列圖像特征點提取和匹配的方式進行相對導(dǎo)航[12]；文獻[13]進一步將特征點觀測擴展為特征點矢量信息與慣導(dǎo)系統(tǒng)進行組合，但仍存在難以計算地理系下絕對導(dǎo)航參數(shù)等問題；Cui 等研究者將曲線特征引入系統(tǒng)中，基于環(huán)形山邊緣曲線特征實現(xiàn)了較高精度的光學(xué)導(dǎo)航[14]。在以往研究中，主要存在以下兩方面問題：一是對特征信息利用不充分，未能充分挖掘探測器在空間中所處位置的分布特性；二是對特征擬合等觀測誤差在OPNAV 系統(tǒng)中的傳遞關(guān)系缺乏明確分析與有效處理。

本文提出一種基于探測器空間位置分布(Spatial Position Distribution)模型的光學(xué)導(dǎo)航方法。在實現(xiàn)魯棒環(huán)形山檢測后，以阿貝爾李群空間圓環(huán)面描述探測器在獲取天體表面特征條件下，其所在位置的空間分布，形成Torus-OPNAV 導(dǎo)航方法；將其與慣導(dǎo)進行組合，實現(xiàn)行星探測器高精度導(dǎo)航。在此基礎(chǔ)上，用成像余弦方差貢獻函數(shù)描述了環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位、定姿的影響。

1 環(huán)形山檢測及考慮誤差的橢圓擬合

將月面環(huán)形山建模為橢圓，方程如式(1)，X為環(huán)形山邊緣灰度坐標(biāo)點集，A、b為橢圓參數(shù)矩陣。

采用最小二乘法計算式(2)中的參數(shù)A和b。

因此擬合后的橢圓中心坐標(biāo)Xo為：

2 基于環(huán)形山檢測的探測器光學(xué)導(dǎo)航方法

2.1 光學(xué)導(dǎo)航成像測量模型

構(gòu)建環(huán)形山成像齊次坐標(biāo)系Puv、環(huán)形山中心的月表固連地理系齊次坐標(biāo)系Pf和相機系PC。

環(huán)形山j(luò)成像模型如式(12)，U i、V i為環(huán)形山Xi成像等效坐標(biāo)，f為焦距。

將探測器位姿信息與光學(xué)成像結(jié)果聯(lián)系起來：

CDA-OPNAV 就是求式(10)(11)中12 個待解變量。

2.2 Torus-OPNAV 探測器空間定位分布模型

傳統(tǒng)基于環(huán)形山探測信息的探測器定位方法通常需要4 座環(huán)形山。當(dāng)環(huán)形山數(shù)量低于4 座時，為保障導(dǎo)航系統(tǒng)正常運行，常以觀測矢量誤差為觀測量構(gòu)建誤差傳遞方程進行導(dǎo)航。部分觀測條件下，探測器位置求解的解空間可能呈現(xiàn)扁平特征，如圖1 所示，給迭代求解方法帶來挑戰(zhàn)。

圖1 光學(xué)導(dǎo)航求解空間及梯度方向Fig.1 Solution space and gradient direction of OPNAV

此外，當(dāng)提取出的環(huán)形山等特征地形較多時，為提升算法效率，需要從所有探測環(huán)形山中選取幾座進行光學(xué)導(dǎo)航，這使得光學(xué)導(dǎo)航解算結(jié)果無法達到最優(yōu)。文獻[11]通過計算Fisher 信息矩陣和Cramer-Pao 界，分析了n個特征地形條件下，光學(xué)導(dǎo)航位置估計誤差下界：

式中，F(xiàn)n為Fisher 信息矩陣、σu為量測噪聲方差、zc為觀測特征在相機坐標(biāo)系下z方向投影。式(14)表明，探測器高度一定時，位置估計誤差下界隨探測特征增加而減小。實際過程中通常采用幾何分布法、信息熵法選取若干環(huán)形山進行導(dǎo)航解算，誤差下界難以滿足導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計需求，因此要充分挖掘光學(xué)探測信息，分析誤差傳播特性的一般形式。

考慮環(huán)形山非齊次坐標(biāo)和探測器位置坐標(biāo)：

圖2 探測器空間位置分布示意圖Fig.2 Spatial position distribution diagram of lunar probe

圖2 描述的曲面是圓環(huán)面T2，定義為兩個圓之積，是一個阿貝爾李群[16]。

光學(xué)導(dǎo)航中圓環(huán)面(Torus)可由一組參數(shù)方程得到。參數(shù)方程包含兩部分：一部分為描述空間中定圓L的點集Pl∈L,另一部分為描述空間中探測器所處曲面S的點集P s∈S。

式中，d為兩環(huán)形山間歐氏距離。當(dāng)給定三座環(huán)形山時，可構(gòu)建出三組約束｛L,S｝對探測器所在位置P進行精確計算。

三組約束能得出4 個符合約束的解，如圖3 所示，探測器位于其中一個解所在的位置。結(jié)合高度約束h＞ 0及速度方向約束，可唯一確定探測器在k時刻所處位置Pk，如式(20)所示。式中，為k時刻i點位置，[Pk]z為Pk在豎直方向投影。

圖3 三個曲面形成四個交點示意圖Fig.3 Four intersections from three surfaces

根據(jù)式(13)，給定探測器位置信息后，姿態(tài)信息與定位結(jié)果解耦，可直接進行計算。考慮環(huán)形山成像過程中的所有環(huán)形山地理系坐標(biāo)和相機系坐標(biāo)PC，它們之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

探測器姿態(tài)為：

3 擬合誤差分析及其對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響

3.1 環(huán)形山最小二乘擬合誤差分析

環(huán)形山探測誤差υi服從正態(tài)分布[17]。

對式(24)進行Taylor 展開，僅考慮一階項：

將式(2)(3)代入式(25)中，得：

則環(huán)形山觀測殘差方差為：

修正后的測量環(huán)形山中心坐標(biāo)為：

3.2 環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位的影響

由于擬合誤差，橢圓圓心并不一定對應(yīng)真實環(huán)形山圓心坐標(biāo)。光學(xué)相機拍攝的環(huán)形山中心點像素坐標(biāo)Puv也存在誤差，如式(35)所示。

將式(42)代入式(39)中，

定義不含誤差的中間參量ti，tj和gi,j：

定義含有誤差的參數(shù)項λi,j，γi,j和φ：

將式(50)代入式(39)中，得：

聯(lián)立式(27)(33)(42)(52)，得：

定義環(huán)形山X成像余弦方差貢獻函數(shù) Ψ（X）：

用環(huán)形山成像余弦方差貢獻函數(shù) Ψ（X）表達環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位的影響為：

4 仿真分析

4.1 Torus-OPNAV 算法可行性驗證

利用文獻[5]環(huán)形山數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)。設(shè)置仿真條件如表1 所示，進行Torus-OPNAV 仿真試驗，打靶次數(shù)1000，定位和定姿結(jié)果如圖4-5 所示。

表1 仿真條件設(shè)置Tab.1 Simulation condition

圖4 Torus-OPNAV 定位蒙特卡洛仿真結(jié)果Fig.4 Monte Carlo positioning results of Torus-OPNAV

圖5 Torus-OPNAV 定姿蒙特卡洛仿真結(jié)果Fig.5 Monte Carlo attitude results of Torus-OPNAV

在此基礎(chǔ)上，將本文提出方法與基于特征點匹配的導(dǎo)航方法（Feature points matching based navigation,FPM-NAV）進行對比，選取特征點為ORB 特征點,仿真定位結(jié)果如圖6 所示。可以看出，隨著導(dǎo)航時間增加，F(xiàn)PM-NAV 誤差逐漸積累，而Torus-OPNAV 一直維持較好的導(dǎo)航定位精度。

圖6 Torus-OPNAV 與FPM-NAV 定位結(jié)果Fig.6 Results of Torus-OPNAV and FPM-NAV

4.2 不同觀測條件下的Torus-OPNAV 仿真

在實際月球及火星等探測任務(wù)中，由于探測器搭載的導(dǎo)航相機分辨率和測量誤差方差不同，探測的環(huán)形山坐標(biāo)有所區(qū)別。設(shè)定多種導(dǎo)航相機測量誤差方差和環(huán)形山坐標(biāo)分布情況，如表2 和圖7 所示。圖7 為兩組環(huán)形山坐標(biāo)分布構(gòu)型示意圖。與構(gòu)型1 相比，構(gòu)型2 中環(huán)形山坐標(biāo)跨度更大。

圖7 兩組環(huán)形山分布構(gòu)型Fig.7 Two crater distribution configurations

表2 Torus-OPNAV 蒙特卡洛仿真條件Tab.2 Torus-OPNAV Monte Carlo simulation condition

進行蒙特卡洛仿真實驗，打靶次數(shù)1000 次，結(jié)果如表3-4 所示。得出如下結(jié)論：(1)不同環(huán)形山分布構(gòu)型和測量誤差方差條件下，Torus-OPNAV 算法運行時間相差不大，實時性較好，在180 ms 內(nèi)即可完成定位定姿；(2)Torus-OPNAV 定姿定位精度受環(huán)形山幾何構(gòu)型影響。環(huán)形山坐標(biāo)跨度越大，定位定姿結(jié)果越好；(3)探測器天向定位精度更高，成像余弦對探測器高度更敏感。在探測器下降著陸過程中，由于探測器姿態(tài)變化、圖像畸變等誤差影響，在探測圖像分辨率1 m/pixel，測量誤差優(yōu)于N(0,22)m 的情況下，基于空間位置分布模型的Torus-OPNAV 定位精度可達到米級，定姿優(yōu)于6 °(3σ)。

表3 構(gòu)型1 條件下蒙特卡洛仿真結(jié)果Tab.3 Monte Carlo results under Configuration 1

4.3 Torus-OPNAV 與VAIN 方法對比分析

現(xiàn)有的OPNAV 方法通常不單獨使用，而是與慣導(dǎo)系統(tǒng)（Inertial Navigation System,INS）進行組合，采用視線矢量作為量測信息，構(gòu)建行星探測器視覺輔助慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（Vision-aided Inertial Navigation,VAIN）。因此，將本文提出Torus-OPNAV 方法與慣導(dǎo)進行組合，分別在2 km 和15 km 高度對月面進行隨機觀測，再與VAIN 方法進行對比。導(dǎo)航相機參數(shù)與表1 相同，INS 參數(shù)如表5 所示。

表4 構(gòu)型2 條件下蒙特卡洛仿真結(jié)果Tab.4 Monte Carlo results under Configuration 2

表5 慣導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)Tab.5 Parameters of INS

選取出觀測圖像中最大的三座環(huán)形山作為定位信息，采用收斂后的位置和姿態(tài)的均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）作為評價指標(biāo)進行評價，仿真結(jié)果如表6 所示?？梢钥闯?，本文提出方法的導(dǎo)航精度要好于傳統(tǒng)的VAIN 方法。原因是在相同高度條件下，隨機選定觀測區(qū)域后，本文提出的Torus-OPNAV 能根據(jù)當(dāng)前環(huán)形山探測結(jié)果，計算出符合這一次隨機觀測的方差貢獻 Ψ（X），用 Ψ（X）直接替換誤差方差矩陣R，進而調(diào)整導(dǎo)航系統(tǒng)對探測信息的信任程度（濾波增益K），使導(dǎo)航系統(tǒng)具有一定自適應(yīng)性；而傳統(tǒng)VAIN 方法預(yù)先設(shè)定導(dǎo)航系統(tǒng)中的誤差方差矩陣R，算法性能弱于本文提出方法。其中位置精度提升約10%。

表6 Torus-OPNAV 與VAIN 導(dǎo)航結(jié)果對比Tab.6 Errors of Torus-OPNAV+INS and VAIN

5 結(jié)論

理論分析及仿真試驗表明，與現(xiàn)有OPNAV 方法相比，本文提出方法有如下優(yōu)勢：（1）揭示了光學(xué)成像信息與探測器所處空間位置分布之間的關(guān)系，論證該位置空間分布曲面為一圓環(huán)面，并以一組參數(shù)方程對其予以描述，降低光學(xué)導(dǎo)航的計算量。（2）由于測量誤差存在，探測得到的環(huán)形山中心及其形狀與真值難以精確匹配。本文詳細(xì)推導(dǎo)了誤差在最小二乘擬合、成像余弦計算、非線性迭代等過程中的誤差傳播特性；并提出成像余弦方差貢獻函數(shù)，以此分析環(huán)形山觀測誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位、定姿精度的影響。（3）成像余弦方差貢獻函數(shù) Ψ（X）可直接用于調(diào)節(jié)濾波器中誤差方差矩陣R，使光學(xué)導(dǎo)航系統(tǒng)對復(fù)雜環(huán)境具有適應(yīng)性、提升導(dǎo)航精度。（4）提出方法可直接解算探測器絕對位置信息，定位精度高、實時性好。