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        依美構(gòu)造數(shù)列,提升運算素養(yǎng)

        2023-01-24 05:49:04俞文銳
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
        關(guān)鍵詞:求通通項思路

        俞文銳

        (福建省福清華僑中學(xué) 350300)

        求數(shù)列通項的方法有直接利用等差、等比公式求通項,用累加法、累乘法、待定系數(shù)法求通項,構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項,還有利用遞推公式求通項.面對如此多的題型和方法,學(xué)生顯得無所適從.美無處不在,那么我們能否運用數(shù)學(xué)美將復(fù)雜數(shù)列進行變形,從而構(gòu)造出特殊數(shù)列予以求解呢?下面以近年高考試題為例,設(shè)計數(shù)學(xué)美問題情境,以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

        1 明晰運算對象,確定運算起點

        數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).[1]7數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平一指出:能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運算對象,提出運算問題.[1]105由此可知明晰運算對象是展開數(shù)學(xué)運算的先決條件,教師要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的問題情境中,從不同角度進行觀察,選擇不同的運算對象,確定運算起點.

        例1(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)文科第13題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

        分析本題可以利用基本量方法進行求解,即將已知條件轉(zhuǎn)化為d的方程.由2S3=3S2+6,得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,解得d=2.

        教學(xué)不應(yīng)該停留于解題本身,要充分挖掘高考試題的教學(xué)價值,為此可做如下設(shè)計:

        問題1 能否從題設(shè)Sn的表達式中提取出其他的信息?

        問題2 能否根據(jù)統(tǒng)一美構(gòu)造出與Sn有關(guān)的新數(shù)列?

        問題3 能否利用新數(shù)列的信息求d?

        通過問題1,引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系中抽象出運算對象,即關(guān)注Sn,發(fā)現(xiàn)S3與S2的系數(shù)分別為2和3,下標與系數(shù)對換,給人一種不統(tǒng)一的感覺.

        在上述的活動中,學(xué)生經(jīng)歷了從數(shù)量關(guān)系中抽象出運算對象、從數(shù)學(xué)美的角度構(gòu)造運算對象、根據(jù)運算對象確定運算起點的認知過程,從中使得數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)獲得提升.

        2 探索運算思路,把握知識本質(zhì)

        數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平一要求:能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,根據(jù)問題的特征形成合適的運算思路,解決問題.[1]105數(shù)學(xué)運算不是盲目的,往往需要學(xué)生觀察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征,展開豐富的聯(lián)想,通過合理的構(gòu)造,進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?,獲得合適的運算思路.

        分析本題已知條件中Sn與an糾纏,要研究an必須消去一個變量,為此可做如下設(shè)計:

        問題1 能否根據(jù)簡潔美對已知條件進行化簡并獲得Sn的表達式?

        問題2 能否根據(jù)對稱美對化簡的結(jié)果進行變形?

        問題3 能否構(gòu)造出新數(shù)列,并利用新數(shù)列對原問題進行求解?

        3 選擇運算方法,完善學(xué)生認知

        數(shù)學(xué)運算的核心是思維,解題中應(yīng)強化對運算思路和方法的分析,使學(xué)生逐步理解運算是一種邏輯推理,在面對與學(xué)過的知識有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題時,能夠通過對其條件與結(jié)論的分析,探索運算的思路,選擇合適的運算方法,體會程序思想的意義和作用.

        本題的問題情境對學(xué)生而言不熟悉,基于高考考查目標要求,結(jié)合必備知識和關(guān)鍵能力設(shè)計如下問題:

        問題1 能否根據(jù)等差數(shù)列的定義獲得Sn與an的關(guān)系式?

        問題2 能否將關(guān)系式中的Sn轉(zhuǎn)化為an?

        問題3 能否構(gòu)造出與an有關(guān)的新數(shù)列?

        在上述的活動中,學(xué)生對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,能夠通過結(jié)構(gòu)與變量的和諧統(tǒng)一美,對式子進行變形構(gòu)造,得到完美統(tǒng)一的關(guān)系式,從而得到常數(shù)列.該活動讓學(xué)生進一步認識到數(shù)學(xué)美的威力,促進學(xué)生將新知識同化到已有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中,從而使數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)得到進一步的發(fā)展.

        4 變換運算背景,累積活動經(jīng)驗

        數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的提升不能僅僅滿足于熟悉情境下的模仿與記憶,為了提高學(xué)生在綜合情境中把問題轉(zhuǎn)化為運算問題的能力,教師需要不斷變換運算背景,提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

        例4(2021八省聯(lián)考第17題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

        (1)證明數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

        分析 (1)略;

        (2)由(1)得an+an+1=2·3n-1,根據(jù)求通項公式的經(jīng)驗,移項得an+1=-an+2·3n-1,此時發(fā)現(xiàn)an+1,an的系數(shù)不含n,還能通過適當?shù)淖冃位蓪ΨQ統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)嗎?

        在上述的活動中,學(xué)生從綜合的運算背景中,能夠通過構(gòu)建過渡性的命題,探索論證的途徑,解決問題,并會用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言表達論證過程,感悟數(shù)學(xué)之美,積累依美構(gòu)造數(shù)列的經(jīng)驗.

        5 結(jié)語

        依美理解運算對象,依美探究運算思路,依美選擇運算方法,依美求得運算結(jié)果,學(xué)生在教師設(shè)置的問題情境中,感受到數(shù)列通項求解過程中結(jié)構(gòu)變量的對稱美、統(tǒng)一美,自覺地用美來解決遞推數(shù)列問題,從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)美在遞推數(shù)列問題中的知行合一,同時累積了求解遞推數(shù)列通項公式的基本活動經(jīng)驗,學(xué)會用美的眼光看問題,培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

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