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        應(yīng)用題審題三部曲
        ——以一道有理數(shù)加法應(yīng)用題為例

        2023-01-24 04:41:41江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)駱建華
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
        關(guān)鍵詞:差額售價(jià)應(yīng)用題

        ?江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 駱建華

        題目小亮用50元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)了10支鋼筆,準(zhǔn)備以一定的價(jià)格出售.如果每支鋼筆以6元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn),超出的部分記為正數(shù),不足的部分記為負(fù)數(shù),記錄如下:0.5,0.7,-1,-1.5,0.8,1,-1.5,-2.1,0.9,0.9.

        (1)這10支鋼筆中售價(jià)最高的和售價(jià)最低的各是多少元?

        (2)當(dāng)小亮賣(mài)完鋼筆后是盈利了,還是虧本了?

        分析:這是一道與正負(fù)數(shù)意義有關(guān)的問(wèn)題,是學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法后呈現(xiàn)的一道例題.由于本題處于人教版教材七年級(jí)上學(xué)期的第一單元中,是學(xué)生進(jìn)入第三學(xué)段后接觸到的第一類(lèi)通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算解決的應(yīng)用題,因而,我們可以把此題的探索作為發(fā)展學(xué)生應(yīng)用題審題能力的開(kāi)端,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷條件分析、思路探索和模型建構(gòu)的全過(guò)程,并從最初就形成審題的基本套路,為后面解決更復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題夯實(shí)基礎(chǔ).基于這種想法,筆者建議按照如下步驟進(jìn)行審題教學(xué).

        1 通讀全題,分析內(nèi)涵結(jié)構(gòu)

        審題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生通讀全題的習(xí)慣是第一步.從小學(xué)到初中,學(xué)段跨越對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展要求大幅度提升.大量豐富的生活情境涌入學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中,學(xué)生面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題不再只是幾十個(gè)字的單一文本陳述,百字以上的題目比比皆是.在這些大容量文本信息之外,題目有時(shí)還會(huì)配上豐富的圖形、符號(hào)及表格以承載更多的數(shù)學(xué)信息.這么多的信息,顯然不是簡(jiǎn)單地看看就能準(zhǔn)確獲取的,更不要談一目十行快速瀏覽了.這需要學(xué)生學(xué)會(huì)分步審題,讓題目信息在“通讀到精讀”中逐步顯露出來(lái).通讀,不是泛泛而讀,而是要結(jié)合題目有針對(duì)性地閱讀,在厘清題目?jī)?nèi)涵的同時(shí),也要分析出題目的基本架構(gòu).以本文中的例題為例,通讀該題,我們至少要理清:(1)這是一個(gè)商品銷(xiāo)售問(wèn)題,涉及到了商品的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、總價(jià)、單價(jià)、利潤(rùn)等數(shù)量信息.(2)本題的條件部分,呈現(xiàn)了(1)中的所有信息,問(wèn)題部分包含求鋼筆的最高售價(jià)和最低售價(jià),以及判斷鋼筆賣(mài)完后的盈利情況.這樣帶有目的性的通讀,能保證學(xué)生在兩個(gè)維度上獲取有益信息:一是本題是哪一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題,這讓學(xué)生對(duì)接下來(lái)解題中可能會(huì)用到哪些數(shù)量關(guān)系有個(gè)初步了解,以保證對(duì)解題思路分析和解題模型選擇有一個(gè)大致方向;二是題目的條件與問(wèn)題分布,也就是條件在何處,“問(wèn)題”在哪兒,這對(duì)下一步精讀是很有意義的.初中學(xué)段中,不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和所要求的結(jié)論是混在一起的,像本文中例題這樣分得開(kāi)的,還是比較少.因此,讀題時(shí)若不能集中精力分析“給了什么”和“要求什么”,則會(huì)很容易暈頭轉(zhuǎn)向.通讀數(shù)學(xué)題,分清條件和結(jié)論的“方位”,將有利于學(xué)生集中注意力獲取關(guān)鍵信息,這雖是后話,此時(shí)介紹,將更有利于大家理解通讀的價(jià)值.通讀時(shí),我們還應(yīng)厘清問(wèn)題的具體內(nèi)涵及架構(gòu),這不僅是下一步精讀的方向,也是我們找尋問(wèn)題解決思路的方向.所以,在通讀的過(guò)程中,要重點(diǎn)分析題目的結(jié)論(或問(wèn)題),并嘗試把這些結(jié)論(或問(wèn)題)與已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系,看看與誰(shuí)有關(guān),比如本題第(1)問(wèn)中的最高售價(jià)就與標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)及差額有關(guān).這樣將問(wèn)題與關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)合進(jìn)行分析,對(duì)下面的閱讀非常有利.

        2 細(xì)讀題干,找出核心數(shù)量關(guān)系

        應(yīng)用題教學(xué),絕不能脫離數(shù)量關(guān)系來(lái)談思路分析與問(wèn)題解決.不管是本文中用有理數(shù)加法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題,還是后面用方程、不等式、函數(shù)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其教學(xué)內(nèi)核都是數(shù)量關(guān)系.因此,引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系,應(yīng)成為應(yīng)用題教學(xué)的核心.那么,數(shù)量關(guān)系又在何處呢?筆者以為,在通讀全題后,我們應(yīng)從題目給定的條件中挖掘所有數(shù)量,探尋其中的相互關(guān)系,進(jìn)而挖掘出與所要解決的問(wèn)題高度相關(guān)的數(shù)量關(guān)系.如本文例題中,50元是總進(jìn)價(jià),10支是鋼筆的數(shù)量,每支6元是標(biāo)準(zhǔn)售價(jià),而給出的0.5,0.7,-1,-0.9(單位:元)等是實(shí)際售價(jià)與標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)間的差額.在這些量之間存在著“總售價(jià)=總進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“實(shí)際售價(jià)-標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)=差額”“每支鋼筆的售價(jià)之和=全部售價(jià)”等數(shù)量關(guān)系.這些數(shù)量關(guān)系中,究竟哪個(gè)最重要,哪些數(shù)量關(guān)系在問(wèn)題解決中能發(fā)揮作用,這還要取決于題目的“問(wèn)題”.這是后話,這里只說(shuō)說(shuō)如何從題干中搜尋核心數(shù)量.在通讀環(huán)節(jié),我們已經(jīng)摸清了題目的類(lèi)型,對(duì)題中可能存在的各種量和相互關(guān)系有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),而題目中是否真的存在這些數(shù)量,以及這些數(shù)量間的關(guān)系是否真如預(yù)想中的那樣,還需要進(jìn)一步深挖條件.比如,一般商品銷(xiāo)售問(wèn)題中,會(huì)有“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”,而細(xì)細(xì)分析本題的題干中,除“進(jìn)價(jià)50元,數(shù)量10支”間或許會(huì)存在這樣的關(guān)系外,其余的數(shù)量之間并無(wú)此關(guān)系,也就是說(shuō)這一關(guān)系在本題并非核心數(shù)量關(guān)系.而題中給出的那些“用正負(fù)數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與實(shí)際售價(jià)間差額”的一組數(shù)據(jù)則顯示,近期所學(xué)的正負(fù)數(shù)的意義或許是本題應(yīng)用的重點(diǎn).因而對(duì)差額獲得式子的變形及形成差額的過(guò)程則應(yīng)成為本題核心數(shù)量關(guān)系.所以教學(xué)時(shí),必須引導(dǎo)學(xué)生理解“0.5,0.7,-1,……0.9”這組數(shù)據(jù)的真正含義.學(xué)生只有明確知曉“是如何獲得這組數(shù)據(jù)的”,才有可能把“實(shí)際售價(jià)”“標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)”“售價(jià)差額”三個(gè)量及其關(guān)系式“售價(jià)差額=實(shí)際售價(jià)-標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)”挖掘出來(lái),并運(yùn)用到下面的析題解題中去.

        3 解讀問(wèn)題,找尋解題模型

        對(duì)于一道數(shù)學(xué)題,問(wèn)題是不可缺少的.明晰問(wèn)題的含義,僅是解決問(wèn)題的開(kāi)端,無(wú)論是“通讀”,還是“細(xì)讀”都會(huì)兼顧到對(duì)題目問(wèn)題的分析.但這種分析的深度尚不足以形成解決問(wèn)題的思路,只有專(zhuān)門(mén)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解讀,學(xué)生才能努力把腦海中與問(wèn)題解決相關(guān)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái),也才有可能形成問(wèn)題解決的思路.所以,在剖析題中數(shù)量關(guān)系,并找尋到核心的數(shù)量關(guān)系后,對(duì)問(wèn)題的深度解讀就特別重要了.我們要反復(fù)研讀問(wèn)題,多角度分析:要求什么?我們需要什么?題目給了什么?求出什么就可以解決問(wèn)題?在這些小問(wèn)題的反復(fù)思量與解決中,題目的內(nèi)涵、架構(gòu)及其蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系將進(jìn)一步明確,進(jìn)而問(wèn)題解決的思路也將得到確認(rèn).比如本題第(1)問(wèn)的最高售價(jià)、最低售價(jià),就涉及到了標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)和實(shí)際售價(jià)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),而所求的就是實(shí)際售價(jià)的最大值與最小值.自然應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與實(shí)際售價(jià)、差額之間的關(guān)系式解決問(wèn)題,即“實(shí)際售價(jià)=標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)+差額”.而由于標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)是固定的6元/支,因此最大值就應(yīng)取差額的最大值代入上述模型計(jì)算,而最小值則同樣應(yīng)取差額最小值代入模型進(jìn)行求值.再如第(2)小問(wèn):盈利了,還是虧本了?這顯然是商品銷(xiāo)售中的利潤(rùn)問(wèn)題.利潤(rùn)的求法有兩個(gè)常用模型:利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(下稱(chēng)“模型1”),利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率.從題目給出的條件看,并沒(méi)有出現(xiàn)利潤(rùn)率,顯然問(wèn)題解決與第二個(gè)模型沒(méi)有太大的關(guān)系.所以接下來(lái)便是圍繞模型1的自我思辨.題中的售價(jià)有兩個(gè):一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)6元/支,另一個(gè)是實(shí)際售價(jià),它等于“標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)+差額”.所以問(wèn)題的解決還是集中到標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與差額上來(lái).如何求?有了上面的分析,顯而易見(jiàn)有兩個(gè)方法:一是把每支鋼筆的實(shí)際售價(jià)求出來(lái),再去求“總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)”的結(jié)果;二是整體考量,求出標(biāo)準(zhǔn)總售價(jià)與總差額之和即可得實(shí)際總售價(jià),再去套用模型1求利潤(rùn)即可.顯然方法二比方法一計(jì)算量小了不少,出錯(cuò)的可能性自然也會(huì)隨之減小.以上方法實(shí)際上是我們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題解決中常用的方法,從條件出發(fā)思考問(wèn)題,在問(wèn)題分析中回看條件:有什么?能得到什么?還需要什么?一步步走來(lái),解題模型自然也就出來(lái)了.

        應(yīng)用題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).多樣的問(wèn)題情境,煩雜的數(shù)量關(guān)系,對(duì)學(xué)生獲取有用的解題信息形成了極大的干擾.如何排除干擾,讓思維行走在問(wèn)題解決的正確道路上呢?筆者以為,培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣是非常重要且十分有效的手段.階段性審題,將有利于學(xué)生集中注意力攻克時(shí)堅(jiān),把問(wèn)題解決的路徑分支化,在不斷充實(shí)、豐富中逐步形成完整的思路,達(dá)成解題目標(biāo).所以,培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣,應(yīng)從學(xué)生進(jìn)入初中后立即著手展開(kāi).要借助每一次數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解探索培養(yǎng)學(xué)生分步審題的習(xí)慣,讓學(xué)生在反復(fù)歷練中形成審題思維的范式,逐步形成個(gè)性化的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的策略.本文中,筆者所呈現(xiàn)的應(yīng)用題審題三部曲就是引玉之磚,僅供廣大師生參考,不當(dāng)之處,敬請(qǐng)批評(píng)指正.

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