楊 坤 張 瑋 杜 度

(海軍研究院 北京 100161)

0 引 言

夾層結(jié)構(gòu)具有比剛度、比強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、船舶，以及建筑領(lǐng)域工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用較為廣泛.傳統(tǒng)的夾層結(jié)構(gòu)通常采用連續(xù)均質(zhì)芯材，近年來(lái)，以實(shí)現(xiàn)減重、減振、聲學(xué)設(shè)計(jì)為目的的非連續(xù)功能芯層夾層結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，如多邊形或波紋蜂窩夾層結(jié)構(gòu)[1-2]、方形蜂窩(正交加筋)夾層結(jié)構(gòu).針對(duì)該種結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，通常采用Gibson公式[3]、有限元方法[4]或試驗(yàn)方法[5]將不連續(xù)芯層等效為各向異性連續(xù)芯層，并結(jié)合連續(xù)芯層夾層結(jié)構(gòu)力學(xué)理論進(jìn)行分析.Liu等[6]通過(guò)建立正交加筋?yuàn)A層板的力學(xué)分析模型，求解了正交加筋?yuàn)A層板的彎曲、屈曲和振動(dòng)問(wèn)題.Xin等[7]考慮加筋的拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及加筋的慣性影響，建立了正交加筋?yuàn)A層板的振動(dòng)和聲輻射解析模型.劉均等[8]考慮正交加筋離散特性，建立了正交加筋?yuàn)A層板的自由振動(dòng)分析模型.吳梵等[9]考慮加筋芯材彎曲和剪切，求解了復(fù)合材料正交加筋?yuàn)A層板的彎曲和自由振動(dòng)問(wèn)題解析解.

針對(duì)正交加筋?yuàn)A層板，缺乏更為簡(jiǎn)化便捷的求解方法，且結(jié)構(gòu)各部分對(duì)整體剛度的貢獻(xiàn)機(jī)理尚不清晰，文中針對(duì)正交加筋芯層進(jìn)行等效參數(shù)分析，推導(dǎo)了基于等效參數(shù)的正交各向異性?shī)A層板靜動(dòng)力學(xué)控制方程，求解四邊簡(jiǎn)支正交加筋?yuàn)A層板的靜力學(xué)響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)固有頻率，進(jìn)行算例驗(yàn)證，并討論了不同參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響規(guī)律.

1 正交加筋?yuàn)A層板芯層等效力學(xué)參數(shù)推導(dǎo)

正交加筋?yuàn)A層板由正交各向異性材料上下表層和正交加筋芯層構(gòu)成，見(jiàn)圖1.圖2為正交加筋芯層等效分析十字形模型，a，b為十字型單元長(zhǎng)度和寬度.

圖1 正交加筋?yuàn)A層板

圖2 正交加筋十字型模型

金暉[10]給出了填充型正交加筋芯層等效力學(xué)參數(shù)，文中將填充型正交加筋芯層等效公式中填充材料的彈性模量Eb→0，便得到無(wú)填充正交加筋芯層力學(xué)等效參數(shù).

(1)

對(duì)于面外剪切Gc13,Gc23以及等效密度ρc的計(jì)算，參考文獻(xiàn)[11]中的方法推導(dǎo)得到：

(2)

面內(nèi)等效剪切模量需要進(jìn)行單獨(dú)推導(dǎo)，單位厚度正交加筋單元受面內(nèi)剪切力示意見(jiàn)圖3.

圖3 正交加筋芯材面內(nèi)剪切變形模式

加筋承受彎曲變形，對(duì)整個(gè)模型單元中心E而言，整個(gè)力矩平衡，得到：

F1b=F2a

(3)

由梁的彎曲理論可知:

(4)

由此得到剪應(yīng)變?yōu)?/p>

(5)

對(duì)應(yīng)的等效模型的剪應(yīng)變：

γ12=F1/(2a+t)G12

(6)

由此得到：

(7)

2 正交各向異性靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算

2.1 靜動(dòng)力學(xué)控制方程

上下表層分別采用修正Hoff變形理論和Reissiner-Mindlin變形理論假設(shè)，建立正交各向異性?shī)A層板靜力學(xué)控制方程.

(8)

(9)

式中：

2.2 靜力學(xué)平衡方程求解

引入函數(shù)χ，采用文獻(xiàn)[11]中的求解方法得到簡(jiǎn)化的靜力學(xué)平衡方程和橫向位移表達(dá)式.

(10)

(11)

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的表層各向異性?shī)A層板，靜力學(xué)平衡方程具備下列解的形式.

(12)

將載荷q展開(kāi)成雙三角級(jí)數(shù)形式.

(13)

將上述引入函數(shù)χ和載荷q代入平衡方程中，得到四邊簡(jiǎn)支正交加筋?yuàn)A層板受均布載荷作用下的彎曲解為

(14)

2.3 動(dòng)力學(xué)控制方程求解

動(dòng)力學(xué)控制方程為

(15)

式中：系數(shù)Ai與該結(jié)構(gòu)靜力彎曲求解相同；Bi為

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的夾層板，式(15)具備下列解得形式.

χ=Asin(kmx)sin(kny)ejωmnt

(16)

(17)

由此得到夾層板的固有頻率為

(18)

3 算例驗(yàn)證

矩形夾層板長(zhǎng)度A=500 mm、寬度B=600 mm，對(duì)應(yīng)圖1標(biāo)注示意，表層厚度ht=hb=4 mm，正交加筋芯層加筋壁厚tc=0.5 mm，芯層高度hc=50 mm，薄壁間距Lc=10 mm,即沿長(zhǎng)度方向加筋數(shù)目I=B/Lc-1=59，寬度方向加筋數(shù)目J=A/Lc-1=49；表層采用碳纖維復(fù)合材料，其材料參數(shù)為：E1=135 GPa，E2=135 GPa，μ12=0.3，G12=5 GPa；鋪層(0/90/90/0)，加筋材料彈性模量Eb=210 GPa，泊松比μ=0.3，由此得到正交加筋等效單元尺寸a=b=4.75 mm.根據(jù)等效公式計(jì)算正交加筋芯層全部等效力學(xué)參數(shù):Ec1=11.053 GPa，Ec2=11.053 GPa，Ec3=19.95 GPa，uc12=0.015 8，uc21=0.015 8，Gc23=4.251 GPa,Gc13=4.251 GPa，ρc=765.7，Gc12=14.543 MPa.采用直接求解法、實(shí)體正交加筋有限元建模、等效參數(shù)三明治建模分別進(jìn)行計(jì)算.表1為采用不同方法計(jì)算的最大位移計(jì)算結(jié)果(誤差為各方法相對(duì)實(shí)體正交加筋有限元模型計(jì)算結(jié)果)，表2位固有頻率計(jì)算結(jié)果.

表1 夾層板中心位置位移計(jì)算結(jié)果 單位：mm

由表1可知：在針對(duì)正交加筋?yuàn)A層結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度設(shè)計(jì)時(shí)，可先獲取芯層正交各向異性等效參數(shù)后，結(jié)合等效參數(shù)三明治有限元建模進(jìn)行計(jì)算，也可僅采用芯層面外剪切等效參數(shù)，不計(jì)正交加筋彎曲對(duì)結(jié)構(gòu)整體剛度的影響，結(jié)合修正hoff理論求解方法進(jìn)行初步計(jì)算.

表2 結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算結(jié)果 單位：Hz

由表2可知：在力學(xué)參數(shù)密度能夠精確等效的前提下，以實(shí)體正交加筋有限元模型計(jì)算結(jié)果接近真實(shí)值為基準(zhǔn)，各方法前3階固有頻率計(jì)算結(jié)果接近，等效參數(shù)三明治有限元模型因等效導(dǎo)致剛度偏大，各階頻率計(jì)算結(jié)果均偏大，且階數(shù)越高、誤差越大，2階固有頻率達(dá)到約100 Hz，以等效參數(shù)三明治有限元建模偏差最大，其計(jì)算相對(duì)準(zhǔn)確局限在首階固有頻率，高階置信度低.

4 結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)機(jī)理分析

在提高正交加筋?yuàn)A層結(jié)構(gòu)的剛度上，所采用的途徑包括增加表層厚度或加筋薄壁厚度以及優(yōu)化正交加筋的數(shù)量和布置形式，由此需要探討表層和芯層加筋對(duì)結(jié)構(gòu)整體剛度的貢獻(xiàn)機(jī)理，圖4為表層材料模量變化對(duì)分別采用基于修正Hoff理論等效計(jì)算和正交加筋直接求解法最大位移計(jì)算結(jié)果的影響.

圖4 表層材料彈性模量對(duì)位移響應(yīng)的影響

由圖4可知：當(dāng)表層為鋼材、彈性模量為210 GPa時(shí)，采用修正Hoff理論等效計(jì)算和直接法求解得到的最大位移均為0.47 mm.上述現(xiàn)象說(shuō)明：鋼制正交加筋?yuàn)A層結(jié)構(gòu)中，表層對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于芯層，但隨著表層剛度的降低，芯層加筋正應(yīng)力(正交加筋直接計(jì)算法考慮了加筋正應(yīng)力)提供的抗彎剛度較剪切剛度成倍增加，這種現(xiàn)象對(duì)于指導(dǎo)設(shè)計(jì)有一定的意義，例如：采用復(fù)合材料層合板替換正交加筋?yuàn)A層結(jié)構(gòu)上下表層(鋼材)時(shí)，表層剛度和芯層加筋抗彎剛度更為接近，存在一定的剛度匹配設(shè)計(jì)空間；在一定的表層剛度變化范圍內(nèi)，芯層加筋正應(yīng)力作用很小，應(yīng)盡量提高芯層的剪切效應(yīng)，比如采取填充芯材設(shè)計(jì).

5 結(jié) 束 語(yǔ)

文中針對(duì)正交加筋芯層進(jìn)行等效參數(shù)分析，推導(dǎo)了基于等效參數(shù)的正交各向異性?shī)A層板靜動(dòng)力學(xué)控制方程，求解四邊簡(jiǎn)支正交加筋?yuàn)A層板的靜力學(xué)響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)固有頻率，并進(jìn)行算例驗(yàn)證，討論了不同參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響規(guī)律，結(jié)果表明：本文針對(duì)正交加筋?yuàn)A層板靜動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算，采用等效參數(shù)法，將芯層面內(nèi)正交各向異性參數(shù)和面外剪切參數(shù)進(jìn)行等效后，采用等效參數(shù)三明治有限元建模進(jìn)行計(jì)算，簡(jiǎn)單快捷可行.正交加筋?yuàn)A層結(jié)構(gòu)中，表層對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于加筋芯材，隨著表層剛度的降低，芯層加筋正應(yīng)力提供的抗彎剛度較剪力應(yīng)力提供的抗彎剛度成倍增加.