鄢然，劉軍良，鄭曉龍，武建鋒，胡永輝

(1.中國科學院 國家授時中心，西安 710600；2.中國科學院大學，北京 100190；3.火箭軍工程大學，西安 710025)

0 引言

高質量的時頻信號是導航定位、時頻計量、航空航天等眾多領域的基礎條件，通過高精度鎖相環(huán)技術實現(xiàn)原子鐘頻率凈化，以獲得高質量時頻信號是工程實踐中常采用的方法[1]。原子鐘頻率凈化技術是通過一個高性能的鎖相環(huán)，將原子鐘頻率優(yōu)良的長期特性與高穩(wěn)壓控振蕩器(voltage controlled oscillator，VCO)良好的短期特性結合起來，使得輸出頻率信號既能保持原子鐘良好的長期穩(wěn)定度，同時又獲得較好的短期穩(wěn)定度。圖1為原子鐘頻率凈化框圖。同時國內外各大時頻設備生產廠商的原子鐘頻率凈化設備，例如中國天奧生產的XHTF3328A、美國Microsemi生產的4145C、俄羅斯VREMYA-CH生產的VCH-317、德國Timetech生產的Clean-up Oscillator等均基于這一思路構建各自的頻率凈化系統(tǒng)[2]。

圖1 原子鐘頻率凈化框圖

為了獲得最佳的凈化效果，鎖相環(huán)環(huán)路的工作帶寬通常選取最優(yōu)帶寬。為了得到最優(yōu)的環(huán)路帶寬，文獻[2-7]提及環(huán)路最優(yōu)帶寬的求解規(guī)則，即鎖相環(huán)環(huán)路的最優(yōu)帶寬應該選取在參考相位噪聲功率譜密度與VCO相位噪聲功率譜密度交點的橫坐標附近(本文稱“相噪交點法”)，但該規(guī)則的成立近乎理想，且未曾考慮不同類型、不同階數(shù)的鎖相環(huán)對該規(guī)則的影響情況；文獻[8-11]分析了鎖相環(huán)的相位噪聲為確定信號前提下的環(huán)路最優(yōu)帶寬表達式，而這樣的表達式無法應用于原子鐘頻率凈化，因為影響原子鐘頻率不穩(wěn)定的噪聲不僅僅是白噪聲，往往還有有色噪聲。文獻[12-13]結合鎖相環(huán)環(huán)路特性分析了鎖相環(huán)中的相位噪聲，并指出在環(huán)路帶寬內，輸出信號相位噪聲可以約等于參考源相位噪聲；在環(huán)路帶寬外，輸出信號相位噪聲約等于VCO相位噪聲。過往學者關于鎖相環(huán)最優(yōu)帶寬的研究表明，準確地選取鎖相環(huán)環(huán)路帶寬對原子鐘頻率凈化的效果有著至關重要的影響。本文將從影響環(huán)路帶寬選取的相位噪聲入手，針對幾種不同類型不同階數(shù)的鎖相環(huán)環(huán)路特性，結合相噪交點法，利用開環(huán)增益穿越頻率點與相位噪聲相交頻率點的偏離程度，對最優(yōu)帶寬進行求解并評估。

1 基本理論

1.1 鎖相環(huán)環(huán)路帶寬

鎖相環(huán)環(huán)路帶寬的選取對原子鐘頻率凈化的效果有著重要的影響。以一個基本結構的鎖相環(huán)為例，如圖2所示。定義其開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)、閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)如下：

圖2 鎖相環(huán)S域信號傳遞關系

(1)

(2)

式(1)和(2)中:θi(s)、θo(s)、θe(s)分別表示輸入、輸出、相差信號相位的拉普拉斯變換；s是拉普拉斯變換域中的復頻率；Kd為鑒相器系數(shù)，單位為V/rad；Kv為VCO系數(shù)，單位為rad/(V·s)；F(s)是環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)；N為分頻器的系數(shù)。

對于鎖相環(huán)環(huán)路帶寬有很多種定義，固有頻率ωn、噪聲帶寬BL、環(huán)路增益K，其中文獻[14]中對環(huán)路帶寬定義如式(3)，單位為Hz，適用于任何類型的鎖相環(huán)，故本文所提及的環(huán)路帶寬即

K=KdKvK1Fhf(0)，

(3)

式(3)中，K1是環(huán)路濾波器的無量綱比例系數(shù)，F(xiàn)hf(0)是濾波器“高”頻部分的極值。

1.2 冪律譜噪聲模型

對于原子鐘頻率凈化系統(tǒng)而言，頻率源是鎖相環(huán)的基本單元，一個設計良好的凈化系統(tǒng)，相位噪聲應該主要來自頻率源[14]。冪律譜噪聲模型是使用最廣泛的頻率源噪聲模型，它的有效性已經被許多實驗結果所證實，并為國際學術界所普遍接受[15]。在原子鐘頻率凈化系統(tǒng)中，其參考源相位噪聲與VCO相位噪聲均可用冪律譜噪聲模型來表征。其噪聲鐘差的功率密度譜函數(shù)用5種相互獨立的隨機噪聲來描述振蕩器的頻率波動過程，表達式為

(4)

式(4)中，hα為常數(shù)，α=-2,-1,0,1,2分別對應著頻率隨機游走噪聲、頻率閃爍噪聲、頻率白噪聲、相位閃爍噪聲、相位白噪聲5種不同的噪聲類型。fh為頻率測量過程中低通濾波器的截止頻率。

本文采用了文獻[15]提及的原子鐘鐘差產生方法，產生了不同參考源(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)與OCXO 8607高穩(wěn)晶振的噪聲鐘差序列，并繪制了不同參考源與高穩(wěn)晶振VCO的相位噪聲譜密度如圖3所示。

圖3 不同類型原子鐘與VCO相位噪聲功率譜密度

從圖3可以看出，根據相噪交點法，不同類型的原子鐘與VCO的相位噪聲功率譜密度確有一交點，且對于MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘的頻率凈化的環(huán)路最優(yōu)帶寬分別在K1=0.14 Hz,K2=2.7×10-4Hz,K3=3.8×10-5Hz附近。

在僅考慮參考源和VCO相位噪聲的鎖相環(huán)系統(tǒng)中，根據環(huán)路傳輸模型，輸出信號相位的通式為

(5)

式(5)中，φref(s)，φvco(s)為參考源、VCO的相位噪聲；H(s)，E(s)為環(huán)路閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)。

因此，輸出信號相位噪聲功率譜密度為

Sθo(f)=|H(f)|2Sφref(f)+|E(f)|2Sφvco(f)。

(6)

式(6)中，Sφref(f)和Sφvco(f)分別表示參考源和VCO的功率譜密度函數(shù)。從式(6)可得知，環(huán)路的閉環(huán)傳輸函數(shù)、誤差函數(shù)和參考源相位噪聲、VCO相位噪聲均對系統(tǒng)輸出信號的相位噪聲有著重要的影響。

2 最優(yōu)環(huán)路帶寬求解方法

鎖相環(huán)環(huán)路的最優(yōu)帶寬被定義為使得輸出信號相位抖動最小的頻率點[16]。相位抖動的計算是對輸出信號的相位噪聲功率密度譜進行積分，可以理解為相位噪聲功率密度譜與坐標軸所圍成的面積。單一使用“相噪交點法”沒有考慮鎖相環(huán)的閉環(huán)傳輸函數(shù)、誤差函數(shù)對輸出信號的相位噪聲的影響，這樣的使用規(guī)則近乎理想化，可以表達為下式：

(7)

從式(7)可知，“相噪交點法”是在式(6)的基礎上衍生而來，其忽略了環(huán)路傳輸函數(shù)與誤差函數(shù)的交點是否與參考源、VCO相位噪聲功率譜密度交點重合的問題，而這一點忽略極有可能導致輸出信號Allan偏差在交點附近惡化，出現(xiàn)“鼓包”現(xiàn)象。

基于以上對環(huán)路輸出信號相位噪聲和單一使用“相噪交點法”弊端的分析，本文提出了結合閉環(huán)傳遞函數(shù)與誤差傳遞函數(shù)幅頻特性曲線的交點ωc與環(huán)路帶寬K的偏離程度來求解并評估環(huán)路最優(yōu)帶寬。

環(huán)路閉環(huán)傳遞函數(shù)與誤差傳遞函數(shù)幅頻響應曲線相交的頻率點被定義為開環(huán)增益穿越頻率ωc，并以Hz為單位。同時，ωc亦是使得|G(jωc)|=1的頻率點。

圖4繪制了一組MHM2010氫原子鐘、高穩(wěn)晶振的相位噪聲譜密度與二階二類鎖相環(huán)環(huán)路函數(shù)幅頻響應的特性曲線。

圖4 “環(huán)路函數(shù)交點法”結合“相噪交點法”評估環(huán)路最優(yōu)帶寬

圖4通過對比分析了同一組頻率源相位噪聲及VCO相位噪聲在二階二類鎖相環(huán)ωc>K與ωc≈K的兩種情況。結合式(6)，可以得到，若ωc>K，那么系統(tǒng)輸出的相位噪聲低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還將受VCO相位噪聲的影響，其輸出相位噪聲為

Sφo(f)=|H(f)|2[Sφref(f)+Sφvco(f)]+|E(f)|2Sφvco(f)。

(8)

同理，若ωc

對于原子鐘頻率凈化而言，一階鎖相環(huán)的研究看似意義不大，但是往往能從一階鎖相環(huán)環(huán)路行為近似推廣到較為復雜、較難分析的其他階數(shù)、其他類型鎖相環(huán)。因此對于一階鎖相環(huán)有，F(xiàn)(s)=K1，F(xiàn)hf(0)=1，它的開環(huán)增益穿越頻率有：

(9)

ωc=K。

(10)

從式(10)可以得知，對于一階鎖相環(huán)而言，開環(huán)增益穿越頻率ωc和環(huán)路帶寬K相等。而對于其他幾種類型、階數(shù)的鎖相環(huán)，開環(huán)增益穿越頻率ωc與環(huán)路帶寬K的關系均可由式(9)進行計算，具體結果如表1所示。

表1 幾種不同類型不同階數(shù)鎖相環(huán)增益穿越頻率與環(huán)路帶寬關系

從表1可以得知，單一使用“相噪交點法”存在一個默認ωc≈K的前提條件，而通過上述的論證可以看出，只有一階鎖相環(huán)才滿足該條件，而其他類型、其他階數(shù)的鎖相環(huán)需在一定限制條件下才滿足ωc≈K。

根據以上的分析可以得知，僅僅根據“相噪交點法”來確定環(huán)路最優(yōu)帶寬是一種不嚴謹?shù)姆椒?，通過結合本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點法”共同求解并評估環(huán)路最優(yōu)帶寬將更為準確、可靠。

3 仿真驗證

為了驗證單一使用“相噪交點法”的局限性，及本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點法”結合“相噪交點法”求解環(huán)路最優(yōu)帶寬的正確性，以帶滯后濾波器二階鎖相環(huán)為例，仿真對比分析了在滿足ωc≈K及ωc?K兩種條件下，不同類型原子鐘的頻率凈化效果。

3.1 原子鐘頻率凈化算法實現(xiàn)

文獻[17]指出，在使用雙線性變換法的二階環(huán)路設計中，歸一化噪聲帶寬小于0.1時，數(shù)字鎖相環(huán)系統(tǒng)可以使用模擬鎖相環(huán)的方法進行分析。因此，參考原子鐘及高穩(wěn)晶振VCO輸出信號相位可分別表示為：

φref(n)=2πf0t(n)+2πf0xref(n)，

(11)

和

φvco(n)=Δφ(n-1)+2πf0t(n)+2πf0xvco(n)。

(12)

式(11)和(12)中：f0為標稱頻率；t(n)為仿真時間；xref(n)，xvco(n)分別代表了參考源和VCO的相位噪聲鐘差；Δφ(n-1)表示在n-1時刻VCO輸出信號與參考源信號相位偏差量。兩信號在通過鑒相器之后的信號相位差可表示為

Δφ(n)=φref(n)-φvco(n)。

(13)

環(huán)路濾波器表達式為

(14)

通過雙線性變換可以得到其在離散域的表達式為

(15)

式(15)中，Y代表了環(huán)路濾波器的輸出，X代表了環(huán)路濾波器的輸入。利用Z的逆變換可得

(2τ+TL)y(n)=(x(n)+x(n-1))TLK1-(TL-2τ)y(n-1)。

(16)

在本文中，y(n)代表了環(huán)路濾波器在n時刻輸出的頻偏Δf(n)，x(n)代表了環(huán)路濾波器在n時刻的輸入即鑒相器的輸出Δφ(n)。在得到了n時刻VCO輸出信號相對于參考源信號的相對頻偏后，則有

Δφ(n)=Δφ(n-1)+2πf0(t(n-1)-t(n))。

(17)

本文的算法實現(xiàn)如下所述：

①利用式(11)和(12)分別產生標稱頻率f0=10 MHz，時間間隔為1 s，數(shù)據長度為1×106的參考原子鐘和VCO信號相位數(shù)據；

②設置環(huán)路參數(shù)，例如Kd=1(V/rad)，Kv=1(rad/(V·s))，因此環(huán)路帶寬為K=K1，環(huán)路更新時間TL=1 s，因此環(huán)路的更新次數(shù)num為106次。

③循環(huán)求得兩信號之間的相位差Δφ(n)，并通過環(huán)路濾波器得到相對頻率偏差Δf(n)，用于對VCO進行頻率調整，如圖5所示。

圖5 原子鐘頻率凈化算法流程圖

④通過鎖相環(huán)的作用，VCO輸出信號相位最終與參考源信號相位同步，實現(xiàn)頻率凈化。

3.2 原子鐘頻率凈化結果

由圖3可知，參考原子鐘(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)相位噪聲功率密度譜與VCO相位噪聲功率密度譜交點的橫坐標分別在K1=0.14 Hz，K2=2.7×10-4Hz，K3=3.8×10-5Hz附近。在仿真試驗中，根據“相噪交點法”的原則，這3個頻率點將作為環(huán)路的最優(yōu)帶寬帶入不同類型鎖相環(huán)進行原子鐘頻率凈化仿真。圖6(a)，(b)，(c)分別為MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘頻率凈化仿真試驗結果，其中通過設置環(huán)路帶寬K及環(huán)路濾波器時間常數(shù)τ，使得其均滿足Kτ≈0，從而滿足ωc≈K，輸出信號Allan標準偏差以方框線型表示；為了形成對比，唯一改變環(huán)路濾波器時間常數(shù)τ，使ωc?K，輸出信號Allan標準偏差以五角星線型表示。

圖6 不同類型原子鐘的凈化結果

圖6對比分析了不同類型原子鐘在帶滯后濾波器二階環(huán)路下的頻率凈化仿真結果。其中實線線型代表著參考源相位噪聲的Allan標準偏差，虛線線型代表著VCO相位噪聲的Allan標準偏差，方框標記的線型代表著輸出信號在滿足ωc≈K條件下的Allan標準偏差，五角星標記的線型代表著輸出信號在ωc?K條件下的Allan標準偏差。從圖中可以看出，在滿足ωc≈K條件下(方框線型)，不同類型的原子鐘的頻率凈化效果最佳，輸出信號同時具備優(yōu)秀的長、短期穩(wěn)定度；而在ωc?K時(五角星線型)，凈化效果不佳，且集中表現(xiàn)為在交點附近出現(xiàn)“鼓包”。而這樣一種現(xiàn)象，也正是因為其ωc?K或ωc?K，導致輸出信號在通過環(huán)路時，低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還受VCO相位噪聲的影響或高通部分不再主要受VCO相位噪聲的影響，還將受參考相位噪聲的影響。

圖6證實了本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點法”結合“相噪交點法”求解的環(huán)路最優(yōu)帶寬均使得不同類型原子鐘頻率凈化取得了良好的凈化效果。在帶滯后濾波器的二階鎖相環(huán)下，氫原子鐘頻率凈化效果改善明顯，凈化后的輸出信號Allan標準偏差由2.44×10-13@ 26 s提高至1.77×10-14@ 26 s，最佳改善略大于1個量級；銫原子鐘頻率凈化效果較明顯，由8.17×10-13@ 4 096 s提高至1.76×10-13@ 4 096 s，最佳改善大于0.5個量級；銣原子鐘頻率凈化后的信號Allan標準偏差由7.87×10-13@ 16 384 s提高至4.14×10-13@ 16 384 s，改善小于0.5個量級。

4 結論

本文針對幾種不同類型不同階數(shù)的鎖相環(huán)，在“相噪交點法”的基礎上，根據開環(huán)增益穿越頻率與環(huán)路帶寬的偏離程度，提出了一種原子鐘頻率凈化的鎖相環(huán)環(huán)路最優(yōu)帶寬的求解方法。通過仿真驗證了該方法，驗證結果表明在鎖相環(huán)開環(huán)增益穿越頻率約等于環(huán)路帶寬時，求取的最優(yōu)帶寬在不同類型原子鐘頻率凈化中均能得到良好的凈化效果，輸出信號Allan標準偏差均有不同程度的改善，最大改善量可略大于1個量級；反之，均有不同程度的劣化，集中表現(xiàn)為交點附近的“鼓包”現(xiàn)象。本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點法”結合“相噪交點法”可更為快速、簡便、直觀地評估環(huán)路的最優(yōu)帶寬。