李軍成，劉成志，羅志軍，龍志文

空間參數(shù)曲線的雙目標(biāo)能量極小化方法及其應(yīng)用

李軍成，劉成志，羅志軍，龍志文

（湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，湖南 婁底 417000）

能量極小化方法已廣泛用于平面曲線的構(gòu)造，而在空間曲線構(gòu)造方面的應(yīng)用尚少。首先介紹了空間參數(shù)曲線的彎曲能和扭曲能，然后提出了一種以彎曲能和扭曲能同時(shí)極小為目標(biāo)的空間參數(shù)曲線構(gòu)造方法，最后以空間三次Bézier曲線為例，探討了該方法在曲線的構(gòu)造、延拓、平滑等問題中的應(yīng)用。所提出的方法更符合空間參數(shù)曲線既需考慮彎曲又需考慮扭曲的特點(diǎn)。

空間參數(shù)曲線；能量極小化；彎曲能；扭曲能；雙目標(biāo)優(yōu)化； Bézier曲線

在幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算中，如何利用能量極小化方法構(gòu)造曲線、曲面廣受關(guān)注。近年來，已有許多針對(duì)此問題開展的研究，例如，利用能量極小化方法構(gòu)造B樣條曲線［1-2］、Bézier曲線［3-5］、插值曲線和曲面［6-9］，進(jìn)行Hermite插值［10-16］以及生成曲面網(wǎng)格［17-18］等。

在利用能量極小化方法構(gòu)造曲線時(shí)，大多以平面曲線為研究對(duì)象，對(duì)空間曲線的構(gòu)造研究較欠缺。文獻(xiàn)［19］給出了空間曲線彎曲能和扭曲能的定義，并討論了彎曲能極小和扭曲能極小的情況。通常，平面曲線僅需考慮彎曲，空間曲線則既需考慮彎曲又需考慮扭曲，因此，在利用能量極小化方法構(gòu)造空間曲線時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮彎曲能和扭曲能。遺憾的是，目前鮮有文獻(xiàn)討論如何利用彎曲能和扭曲能同時(shí)極小化構(gòu)造空間曲線。

首先介紹空間參數(shù)曲線的彎曲能和扭曲能，然后給出一種用于構(gòu)造空間參數(shù)曲線的雙目標(biāo)能量極小化方法，最后以空間三次Bézier曲線為例，給出雙目標(biāo)能量極小化方法在空間三次Bézier曲線構(gòu)造中的應(yīng)用。

1　空間參數(shù)曲線的能量

為簡(jiǎn)化計(jì)算，式（1）和式（2）可近似表示為［19］：

分別稱為空間參數(shù)曲線的近似彎曲能和近似扭曲能。需要說明的是，式（3）在文獻(xiàn)［2-3，7，10］中為平面參數(shù)曲線的近似彎曲能（又稱應(yīng)變能），式（4）在文獻(xiàn)［2-3，5，13，15］中為平面參數(shù)曲線的近似曲率變化能（又稱Jerk能）。

2　雙目標(biāo)能量極小化方法

通?？蓪⑹剑?）轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題：

Step 1 計(jì)算2個(gè)單目標(biāo)之間的偏差：

Step 2 計(jì)算2個(gè)單目標(biāo)的偏差之和：

Step 3 計(jì)算2個(gè)單目標(biāo)的初始權(quán)重：

最后，利用相應(yīng)優(yōu)化方法求得式（6）的最優(yōu)解，得到式（5）的非劣解。

3　應(yīng)用

空間三次Bézier曲線可表示為［21］

3.1　空間三次Bézier曲線的構(gòu)造

Bézier曲線是一種重要的幾何造型工具，廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域。在構(gòu)造Bézier曲線時(shí)，需施加一定的幾何或物理約束，使得所構(gòu)造曲線滿足相應(yīng)要求。其中約束類型眾多，能量約束已成為構(gòu)造光順曲線的一種常用方式。例如，文獻(xiàn)［3，5］給出了利用能量極小化構(gòu)造Bézier曲線的方法。用能量極小化構(gòu)造三次Bézier曲線時(shí)，除給定首、末控制頂點(diǎn)外，還需給定第3個(gè)控制頂點(diǎn)，才能確定第4個(gè)控制頂點(diǎn)，從而構(gòu)造具有極小能量的三次Bézier曲線。然而，若利用文獻(xiàn)［3，5］中的方法構(gòu)造三次Bézier曲線，無論是應(yīng)變能極小還是Jerk能極小，均僅考慮了曲線的彎曲或扭曲。

于是，由式（6）可得優(yōu)化問題：

證明由式（11）可得

（i）若僅考慮彎曲能極小，則

（ii）若僅考慮扭曲能極小，則

（iii）若同時(shí)考慮彎曲能和扭曲能極?。p目標(biāo)能量極?。?，則

采用3種能量極小化方法構(gòu)造的空間三次Bézier曲線如圖1所示，計(jì)算所得的彎曲能、扭曲能如表1所示?？芍?，采用雙目標(biāo)能量極小化方法所構(gòu)造曲線的彎曲能和扭曲能介于另2種方法之間，這符合空間參數(shù)曲線既需考慮彎曲又需考慮扭曲的特點(diǎn)。

圖1　3種能量極小化方法構(gòu)造的空間三次Bézier曲線

Fig.1　Spatial cubic Bézier curves constructed by three energy minimizations

表1　3種能量極小化方法的彎曲能和扭曲能

3.2　空間三次Bézier曲線的延拓

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，為滿足復(fù)雜曲線的造型需要，將一條已知的Bézier曲線延拓至給定的點(diǎn)，延拓曲線亦用Bézier曲線表示，并與原曲線在連接點(diǎn)處滿足一定的連續(xù)性條件。

不妨設(shè)曲線

空間三次Bézier曲線的延拓如圖2所示。

圖2　空間三次Bézier曲線的延拓

3.3　空間鏈接曲線的平滑

在利用空間三次Bézier曲線進(jìn)行復(fù)雜幾何造型時(shí)，需鏈接多條空間三次Bézier曲線，當(dāng)空間鏈接曲線的連續(xù)性較低時(shí)，需通過調(diào)整控制頂點(diǎn)提高其連續(xù)性。

給定2條空間三次Bézier曲線：

其中，

由式（3）、式（4）、式（23）和式（24），經(jīng)平滑處理后2條曲線的總彎曲能函數(shù)和總扭曲能函數(shù)分別為：

其中，

于是，由式（6）可得雙目標(biāo)能量?jī)?yōu)化問題：

證明由式（25）可得

由式（26）可得

證明由式（27），可得

0連續(xù)鏈接曲線與平滑后的1連續(xù)鏈接曲線如圖3所示。

圖3　空間鏈接曲線的平滑

4　結(jié)語

針對(duì)如何利用能量極小化方法構(gòu)造空間參數(shù)曲線的問題，提出了一種雙目標(biāo)能量極小化方法，探討了該方法在構(gòu)造空間三次Bézier曲線及其延拓和平滑等問題中的應(yīng)用。因雙目標(biāo)能量極小化方法同時(shí)考慮了彎曲能和扭曲能，其較僅考慮彎曲能極小或扭曲能極小的方法更符合空間參數(shù)曲線的特點(diǎn)。研究為利用能量極小化方法構(gòu)造空間參數(shù)曲線提供了一種有效的手段。

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Bi-objective energy minimization of spatial parametric curves and its applications

LI Juncheng, LIU Chengzhi, LUO Zhijun, LONG Zhiwen

（，，，417000，，）

Although approach of energy minimizations has been widely applied in the construction of planar curves, it is seldom used in the construction of spatial curves. In this paper, we first introduce the bending energy and twisting energy of spatial parametric curves. A method of constructing spatial parametric curves aiming at minimizing the bending energy and twisting energy simultaneously is then proposed. Finally, the applications of the proposed method in the construction, extension, and smoothing of the cubic Bézier curve are discussed. The proposed method conforms with the fact that both bending and twisting are important shape features of spatial parametric curves.

spatial parametric curve; energy minimization; bending energy; twisting energy; bi-objective optimization; Bézier curve

TP 391.72

A

1008?9497（2023）01?063?06

2021?09?10.

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2021JJ30373）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12101225）.

李軍成（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-1904-4068，男，博士，教授，主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究，E-mail：lijuncheng82@126.com.