張 琪

(1.山西省交城縣城南小學(xué)，山西 呂梁 030500;2.山西應(yīng)用科技學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 太原 030062)

非線性偏微分方程解析解的構(gòu)造是非線性科學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.為了獲得更多的精確解,近年來(lái),數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究出了各種不同的方法,如tanh函數(shù)方法[1]、雙曲正割函數(shù)方法[2]、反散射變換方法[3]、Backlund變換[4]、齊次平衡方法[5]、廣田雙線性方法[6]、Darboux變換[7]、Wronskian方法[8]和指數(shù)函數(shù)方法[9]等等.除了精確解的構(gòu)造方法以外,有效的近似解法包含Adomian分解法[10]、攝動(dòng)法和同倫分析法[11]等.但是以上這些求解非線性偏微分方程的方法,在求解的過(guò)程還是具有一定的局限性,有時(shí)只能對(duì)某一類或具有某一種形式的方程才可能顯式地表達(dá)出方程的解.所以,許多具有實(shí)際物理意義的新解現(xiàn)在還尚未被發(fā)現(xiàn),因而需要我們利用更好的、更完善的方法來(lái)進(jìn)一步地研究和構(gòu)造.孤子解和lump解是孤子理論中最基本的解,而lump解則是一類有理函數(shù)解,指的是在空間上所有方向都趨于零的解[12],在對(duì)非線性現(xiàn)象的研究中占有十分重要的地位.因此,近年來(lái)lump解已經(jīng)引起了人們極大的研究興趣.

本文討論(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程(以下簡(jiǎn)稱BLMP方程)

uyz+uzt+uxxxy-3uxuxy-3uxuxz-3uxxuy-3uxxuz=0，

(1)

和一個(gè)(3+1)維非線性發(fā)展方程(以下簡(jiǎn)稱NLEE)

(ut+6uux+uxxx)x+3uyy+3uzz=0.

(2)

本文著重討論方程(1)和方程(2),利用雙線性形式對(duì)有理函數(shù)解進(jìn)行探索,得到的有理函數(shù)解包含有一組8個(gè)自由參數(shù),然后利用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathmatica求解出它們各自的lump解.基于所獲得的lump解,對(duì)所涉及的參數(shù)進(jìn)行特殊選擇,并生成方程的一類特殊的lump解,并繪制這些解的圖.

1 (3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的lump解

方程(1)描述了一個(gè)不可壓縮的流體模型.其中u是一個(gè)基于尺度空間坐標(biāo)(x,y,z)和時(shí)空坐標(biāo)t的解析函數(shù),文獻(xiàn)[13]研究了可積的(2+1)維和(3+1)維BLMP方程的孤子解.文獻(xiàn)[14]研究了 (2+1)維和(3+1)維BLMP方程的一種新的周期波解.文獻(xiàn)[15]研究了(3+1)維BLMP方程的Wronskian行列式解.本文中研究(3+1)維BLMP方程的解.

第一步，做一個(gè)Cole-Hopf變換，

u(x,y,z,t)=-(lnf(x,y,z,t))x，

(3)

那么方程(1)變?yōu)槿缦码p線性形式，

(4)

第二步，為了尋找有理函數(shù)解,設(shè)

(5)

其中ai，1≤ai≤11為待確定參數(shù).

第三步，將(5)帶入到雙線性形式(4)中,借助Mathmatica,提取各項(xiàng)系數(shù),可以得到一個(gè)代數(shù)方程組,從而可以確定以下代數(shù)方程組的各項(xiàng)系數(shù).

常數(shù)項(xiàng)

t的系數(shù)

t2的系數(shù)

x2的系數(shù)

y2的系數(shù)

z的系數(shù)

tz的系數(shù)

z2的系數(shù)

x的系數(shù)

xt的系數(shù)

xy的系數(shù)

xz的系數(shù)

y的系數(shù)

yt的系數(shù)

yz的系數(shù)

令常數(shù)項(xiàng)以及所有系數(shù)為零,借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathmatica得到一組由15個(gè)代數(shù)方程組成的代數(shù)方程組,從而得到一組解.因此

a1=a1,a2=-a3,a3=a3,a4=a4,a5=a5,a6=a6,a7=-a8,a8=a8,a9=a9,a10=a10,a11=a11.

通過(guò)變換(4),方程(1)的有理函數(shù)解如下

(6)

其中，

(7)

很容易證明x2+y2→∞,u(x,y,z,t)→0,?(z,t)∈R2,因此得到的有理函數(shù)解為lump解.

根據(jù)(3+1)維BLMP方程的lump解描繪出三維圖(圖1)和等高線圖(圖2).其中，

a1=2,a3=-1,a4=5,a5=0,a6=4,a8=-7,a9=2,a10=0,a11=2，z=10.

圖1 BLMP方程的三維圖t0=-5,5,0

圖2 BLMP方程的等高線圖t0=-5,5,0

2 (3+1)維非線性發(fā)展方程的lump解

接下來(lái),我們用同樣的方法構(gòu)造方程⑵的lump解.做如下變換

u(x,y,z,t)=2(lnf(x,y,z,t))xx，

(8)

從而可以得到雙線性形式

(9)

為了得到有理函數(shù)解，設(shè)

(10)

其中，ai，1≤ai≤11為待確定參數(shù).

將(10)代入(9)中,得到

a1=a1,a2=a2,a3=a3,a5=a5,a6=a6,a7=a7,

a7=a7,a8=a8,a10=a10,

其中，2a1a2a6a7+2a1a3a6a8≠0.因此得到

(11)

其中，

很容易證明x2+y2→∞,u(x,y,z,t)→0,?(z,t)∈R2,因此得到的有理函數(shù)解為lump解.

接下來(lái),根據(jù)(3+1)維NLEE方程的lump解描繪出三維圖(圖3)和等高線圖(圖4).其中，

a1=1,a2=-2,a3=3,a5=0,a6=5,a7=-1,a8=2,a10=0,z=10.

圖3 NLEE方程的三維圖t0=-5,5,0

圖4 NLEE方程的等高線圖t0=-5,5,0

3 結(jié)論

lump解是一種非奇異有理解,它在空間上所有方向都趨于零,能合理地解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象,并且可以描述海洋學(xué)、光學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域中的非線性波動(dòng)現(xiàn)象.而(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程和(3+1)維非線性發(fā)展方程也是數(shù)學(xué)物理中的重要方程,因此對(duì)于尋找它們的lump解具有十分重要的意義.本文利用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathmatica以及雙線性形式得到了(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程和 (3+1)維非線性發(fā)展方程的lump解.

本文分析了lump解的局部化特征和能量分布,并對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的討論.雖然它們所獲得的lump解參數(shù)不同,但它們的形式是相同的.我們期望這些解可以在其他領(lǐng)域中找到.同時(shí),我們還可以在假設(shè)有理函數(shù)解的過(guò)程中加入一個(gè)指數(shù)函數(shù)項(xiàng),用同樣的方法進(jìn)一步構(gòu)造lump-link解.