張傳軍，張東方，侯先融

(1. 貴州師范學(xué)院教育科學(xué)研究所，貴州貴陽550001；2. 廣州市濱江五中學(xué)校，廣東廣州510006；3. 黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州都勻558000)

0 引言

不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，是衡量事物間數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。不等式也是競賽數(shù)學(xué)中不可或缺的一部分，在競賽中占有一定的比例。數(shù)學(xué)競賽考試內(nèi)容主要分為四個部分：平面幾何、代數(shù)、初等數(shù)論和組合問題，其中代數(shù)部分是競賽的重點(diǎn)，考試占比最大，而不等式又是代數(shù)部分的重點(diǎn)，每年都有幾道不等式的相關(guān)試題。

近年來，不等式在競賽試題中是?？停磕甓紩胁坏仁降南嚓P(guān)試題。下面列舉2014至2019年連續(xù)六年的部分試題。2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試卷第1題，2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第9題和加試第1題，2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第1、9題和加試題第1題，2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A卷第2、9、10題，2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第10題和加試題第一題，2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第10題和加試題第一題均涉及到不等式的相關(guān)知識。并且，近些年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試的第1題大多是不等式題目。

目前，關(guān)于競賽數(shù)學(xué)以及競賽不等式的內(nèi)容有不少研究成果。周瑩的《高中數(shù)學(xué)競賽不等式應(yīng)用研究》[1]主要研究總結(jié)了不等式在多變量函數(shù)求極值問題以及含參不等式恒成立問題兩個方面的應(yīng)用。李玉的《舒爾不等式在高中數(shù)學(xué)競賽中的研究》[2]主要研究了舒爾不等式及其一些變式在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用。白益雪的《淺談數(shù)學(xué)競賽對于學(xué)生能力的培養(yǎng)》[3]探究了數(shù)學(xué)競賽對學(xué)生創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的影響。邵國軍的《高中競賽數(shù)學(xué)思想方法及其教育價值研宄》[4]中分析了柯西不等式在一道題目中的作用。李小娟的《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的柯西不等式問題探究》[5]中主要分析了數(shù)學(xué)競賽中涉及到柯西不等式的題目以及編題。朱鑫磊的《淺析高中數(shù)學(xué)競賽的解題思維》[6]先就高中數(shù)學(xué)競賽特點(diǎn)進(jìn)行分析，并采用相關(guān)例再行佐證，再簡要指出高中數(shù)學(xué)競賽的解題思維策略。本文在這些研究的基礎(chǔ)上，通過一道數(shù)學(xué)競賽不等式題目的一題多解，深刻闡釋了不等式對數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的影響及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)教育價值。

1 解不等式的常用方法

常用的不等式的證明方法有比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、函數(shù)法等。本文通過展示例題的“一題多解”，主要介紹了綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法在不等式問題中的具體運(yùn)用，從而說明數(shù)學(xué)競賽中不等式問題所具有的數(shù)學(xué)教育價值。

1.1 綜合法

綜合法是從己知條件出發(fā)，依據(jù)題設(shè)所給的不等式的特征和已熟知的不等式的性質(zhì)來逐步推導(dǎo)出不等式的證明方法。

1.2 分析法

分析法是從所需求的結(jié)論出發(fā)，推導(dǎo)使不等式能夠成立的充分條件或者是充要條件，直到推導(dǎo)出題設(shè)的條件或者己知的結(jié)論為止的證明方法。若題設(shè)滿足推導(dǎo)的條件則判定原來的不等式成立。

1.3 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明不等式的一種常用且有效的方法。具體步驟是先設(shè)一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，證明n=1時該命題成立，再假設(shè)當(dāng)n取第k個值時該命題成立，然后利用假設(shè)條件和已知條件推導(dǎo)出n取第k+1個值時該命題也同樣成立，那么最后可以得出該命題成立。

1.4 放縮法

放縮法是在證明不等式成立的過程中將某些部分放大或者縮小成容易判斷的式子，利用不等式的傳遞性再證明原不等式成立。放縮法是一種非常重要的證明方法，在競賽和考試中經(jīng)常使用。

2 例題內(nèi)容及剖析

2.1 例題內(nèi)容

已知：設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，…，a100，滿足a101-i≤ai(i=1，2，…，50)，

證明：x1x22…x9999≤1.

2.2 例題剖析

數(shù)學(xué)競賽的試題是充滿創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)問題，其構(gòu)思別致、結(jié)論簡潔、方法新穎，具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力[3]。本題選自2019年全國高中生數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第1題，屬于代數(shù)部分中不等式的知識。題目綜合性、創(chuàng)新性較強(qiáng)，重在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識體系以及創(chuàng)造性思維。解答該題需要學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)以及良好的數(shù)學(xué)思維，能夠活學(xué)活用，利用已有的數(shù)學(xué)知識和解題經(jīng)驗(yàn)完成該證明。

3 例題的五個解法分析

3.1 解法一(參考答案)

證明：注意到a1，a2，…，a100>0.對k=1，2，…，99，由平均值不等式知

從而有

①

記①的右端為T，則對任意的i=1，2，…，100，ai在T的分子中的次數(shù)為i-1，在T的分母中的次數(shù)為100-i.從而

又0

x1x22…x9999≤T≤1.

解法分析：這種解法使用了綜合法和放縮法，其核心在于運(yùn)用均值不等式的性質(zhì)對代數(shù)式進(jìn)行放縮，要訣在于代數(shù)式的合理變形，解答過程漂亮、簡練，巧妙地將式子變形并利用已知條件證明之。

3.2 解法二

證明：由于ai(i=1，2，…，100)∈R+，

故

≥1，

故x1x22…x9999≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a100=1時等號成立。

解法分析：同時運(yùn)用了綜合法、分析法和放縮法。由已知條件出發(fā)，利用高中生所熟知的均值不等式對式子進(jìn)行放縮，再將欲證明的式子進(jìn)行合理變形重組，利用已知條件證之。

3.3 解法三

證明：預(yù)證x1x22…x9999≤1

對不等式兩邊同時取對數(shù)得ln(x1x22…x9999)≤0，即lnx1+2lnx2+…+99lnx99≤0.

又klnxk=klnk+klnak+1-kln(a1+a2+…+ak)

lnx1≤lna2-lna1，

2lnx2≤2lna3-lna1-lna2，

3lnx3≤3lna4-lna1-lna2-lna3，

?

99lnx99≤99lna100-lna1-lna2-…-lna99，

=99(lna100-lna1)+97(lna99-lna2)+…+(lna50-lna51).

又a1，a2，…，a100滿足a101-i≤ai(i=1，2，…，50).

故lna100-lna1≤0，

lna99-lna2≤0，

lna50-lna51≤0，

即原式成立。

解法分析：主要運(yùn)用分析法和放縮法，巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維。首先把復(fù)雜的高次代數(shù)式轉(zhuǎn)化為簡單的對數(shù)式，其次利用均值不等式對式子進(jìn)行放縮和變形，最后利用已知條件證明了該命題。

3.4 解法四

∵對i∈{1，2，…，99}，有

ai100-ia101-ii-1=aii-1ai101-2ia101-ii-1

≥aii-1a101-i101-2ia101-ii-1

=aii-1a101-i100-i

∴a199≥a10099，a298a99≥a2a9998…a5050a5149≥a5049a5150

即x1x22…x9999≤1.

解法分析：主要運(yùn)用分析法和放縮法，先將原命題等價變形，其次利用均值不等式將其放縮，再次利用已知條件對式子進(jìn)行變形與二次放縮，最終完成等價命題的證明。

3.5 解法五

證明：設(shè)sn=a1+a2+…+an

∵ai≥a101-i

不妨設(shè)：a1≥a2≥…≥a100

?

∴x1x22…x9999

要證①≤1，即證

當(dāng)n=1時，1·a2≤a1成立。

假設(shè)當(dāng)n=k時，k·ak+1≤sk成立。

即k·ak+1≤a1+a2+…+ak.

當(dāng)n=k+1時，

(k+1)·ak+2=k·ak+2+ak+2

≤k·ak+1+ak+1≤sk+ak+1=sk+1.

∴n·an+1≤sn成立。

即原式成立。

解法分析：主要運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，并未借助均值不等式，而是另辟蹊徑將與原命題等價的分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

3.6 例題小結(jié)

通過本題的解答我們可以得出：同一個問題，用不同的思維方法，都可以得以解決，并且同一種思維方法，也可以有不同的呈現(xiàn)方式。例如解法一、解法二、解法三、解法四的核心都是均值不等式，雖然每一種解法的變形、轉(zhuǎn)化都是不一樣的，但結(jié)果殊途同歸。同時對于解法五，從一個新的角度出發(fā)，用數(shù)學(xué)歸納法完成了對該命題的證明?？v觀本題的幾種解法，不難看出，在應(yīng)對競賽試題時，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的解題能力、創(chuàng)新能力以及良好的數(shù)學(xué)思維，要能夠在做題時正確地捕捉題目關(guān)鍵信息并對所獲得的信息進(jìn)行加工處理，構(gòu)建題干的信息鏈，理順各部分題干的關(guān)系，得出解題思路并完成對題目的解答。

4 不等式問題促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

4.1 不等式問題促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展

中學(xué)數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)為：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象。不等式由于其本身的綜合性可以和許多知識進(jìn)行串接，故可以涵蓋核心素養(yǎng)的各個方面。但由于本研究選題的特殊性，主要涉及了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理這三方面的素養(yǎng)。

4.1.1 不等式問題促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升

在數(shù)學(xué)解題中，幾乎離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算。在例題解答中，每一種解法里都需要進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，并且需要學(xué)生掌握一定的解題技巧，需要對式子進(jìn)行變形和放縮等，特別是解法一中對表達(dá)式T的等價變換更是需要學(xué)生具有很強(qiáng)的運(yùn)算能力和解題技巧，才能完成如此簡潔漂亮的變形。

4.1.2 不等式問題促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升

從解題過程不難看出，解題時需要學(xué)生能夠從題目中找出解題的關(guān)鍵信息，明確數(shù)學(xué)概念等，這就要求學(xué)生具有一定的抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的層面來說，通過此類題目能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象方面的素養(yǎng)，學(xué)習(xí)從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且能準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言表述自己的解題過程。讓學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)的相關(guān)概念、命題、方法，能通過抽象、概括去認(rèn)識和理解把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

4.1.3 不等式問題促進(jìn)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升

邏輯推理是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)。學(xué)生在解題過程中，尤其要注意解題步驟前后的邏輯性和連貫性，不能出現(xiàn)邏輯性的錯誤，對于所使用的定理的條件以及結(jié)論必須是清晰明白的。因?yàn)樵诮忸}過程中會出現(xiàn)多個定理或者知識點(diǎn)間的串接，所以要尤為注意整體解題的邏輯性。在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架；形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力。在教學(xué)中，教師要能夠站在一個新的高度，立足于多種方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從多角度思考問題、多渠道解決問題，一直到提煉核心本質(zhì)的過程，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的重要途徑[7]。

4.2 不等式問題促進(jìn)學(xué)生其他數(shù)學(xué)思維能力提高

數(shù)學(xué)競賽所呈現(xiàn)的題型具有較強(qiáng)創(chuàng)新性和綜合性，大多都有多種不同的解法，從而促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散，靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，對競賽題目進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力與洞察力。因此數(shù)學(xué)競賽解法多樣化是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵因素之一[8]。進(jìn)行有效的一題多解訓(xùn)練可以讓學(xué)生感悟知識的內(nèi)涵，方法的通用性與局限性，對提高學(xué)生的思維能力有極大的幫助[9]。教師在日常融入了數(shù)學(xué)競賽內(nèi)容的教學(xué)活動中，通過多樣化解題提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握，同時還能夠通過運(yùn)算促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維發(fā)展，并形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

5 結(jié)語

本文通過對高中數(shù)學(xué)競賽中一道不等式題的一題多解探究，分析了綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等解不等式常用方法在實(shí)際解題過程中的綜合運(yùn)用。從整體來說，數(shù)學(xué)競賽題目的考察更趨于綜合性，靈活性也更加突出，需要學(xué)生有縱觀全局的觀察力，能深入地分析問題，找到各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，以鍥而不舍的精神去探究，發(fā)揮自身的創(chuàng)造力，進(jìn)而求解數(shù)學(xué)問題[10]。

在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)競賽一方面可幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，進(jìn)一步豐富學(xué)生自身的知識儲備促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。另一方面可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生得到更加全面的發(fā)展。