邱克娥，熊勝蘭，陶 磊，石昌梅，歐陽建新

(1.貴州師范學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，貴州貴陽550018；2.貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州貴陽550025)

0 引言

時滯微分方程主要用于描述依賴當前和過去歷史狀態(tài)的動力系統(tǒng)。產(chǎn)生時滯的原因很多，如信號的傳遞需要一定的時間，藥物化學反應(yīng)過程會產(chǎn)生時滯。該方程數(shù)學模型比常微分或差分方程更合理地反應(yīng)了事物的演變規(guī)律，使其在物理、信息、生物數(shù)學等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。但由于時滯微分方程的無窮維特點，導(dǎo)致難以恰當?shù)亟o出精確解，進而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性或可控性等定性分析受限。因此，很多學者都關(guān)注于時滯微分系統(tǒng)解的精確表示。2003年，KHUSAINOV 和SHUKLIN[1]首次提出了延遲矩陣指數(shù)概念，并利用其重要性質(zhì)得到了帶有可置換矩陣條件下的一階線性時滯微分方程解的顯式表達。2006年，DIBLK和KHUSAINOV[2]將文獻[1]的思想發(fā)展到離散延遲矩陣指數(shù)，得到離散時滯系統(tǒng)的顯式解。2018年，MEDVED′和 POSPIL[3]在矩陣不可交換條件下，得到非常系數(shù)和可變多時滯微分方程解的表示。目前，很多學者對時滯微分方程展開了其他相關(guān)研究[4-5]。

另外，在描述涉及連續(xù)不可微函數(shù)的物理現(xiàn)象時，分形理論起到了重要作用，受到學者們的關(guān)注[6]，使分形理論得到不斷發(fā)展和完善。YANG[7-8]系統(tǒng)地構(gòu)建了分形空間上的局部分數(shù)階微積分理論，使得許多研究問題被推廣到分形集Rα(0<α≤1)上。

受上述研究成果的啟發(fā)，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，恰當?shù)貥?gòu)造了分形集Rnα(0<α≤1)上的延遲矩陣指數(shù)和Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)，將常微分方程中經(jīng)典的常數(shù)變易法推廣到時滯微分方程，最終得到方程

(1)

1 預(yù)備知識

根據(jù)YANG的分形集理論，令Rα(0<α≤1)為分形實線的α型集合。若aα，bα，cα∈Rα，則在Rα中代數(shù)運算定義如下[7-8]：

(1)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα，

(2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，aα-bα=(a-b)α，

(3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(7)aα+0α=0α+aα=aα，且aα1α=1αaα=aα.

定義1[7-8]設(shè)f：R→Rα，x→f(x)是一個不可微函數(shù)，如果對任意的ε>0，總存在δ>0(其中ε，δ∈R)，使得當|x-x0|<δ時，有|f(x)-f(x0)|<εα，則稱不可微函數(shù)f(x)在x0處局部分數(shù)階連續(xù)。如果f(x)在區(qū)間[a，b]上局部分數(shù)階連續(xù)，記為f(x)∈Cα[a，b].

定義4 分形集Rnα(0<α≤1)上，定義延遲矩陣指數(shù)具有如下形式：

其中Θ和I分別指零矩陣和單位矩陣。

定義5 分形集Rnα(0<α≤1)上，Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)定義如下：

引理1[7-8](1)設(shè)f(x)=g(α)(x)∈Cα[a，b]，則aIb(α)f(x)=g(b)-g(a).

(3)設(shè)f(x)∈Cα[a，b]，則對任意x∈[a，b]和u∈C1[a，b]，有

(b(k+1)α-a(k+1)α)，k>0.

引理3[7-8]設(shè)f(x)，g(x)∈Dα[a，b]，則對?λ，γ∈R，有

(1)(λf(x)±γg(x))(α)=λf(α)(x)±γg(α)(x).

(2)(f(x)g(x))(α)=f(α)(x)g(x)+f(x)g(α)(x).

(g(x)≠0).

(4)設(shè)g(x)=f(u(x))，且f(α)(u)，u′(x)存在，則g(α)(x)=f(α)(u)(u′(x))α.

引理4[7-8]設(shè)f(x)，g(x)∈Cα[a，b]，則對?λ，γ∈R，有

(1)aIb(α)(λf(x)±γg(x))=λaIb(α)f(x)±γaIb(α)g(x).

(2)aIb(α)f(x)=aIc(α)f(x)±cIb(α)f(x)，(a

(2)

證明：對于固定的矩陣B及延滯常數(shù)τ，利用定義4知引理的證明分為以下三個步驟：

(3)對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，應(yīng)用引理2和引理3，對延遲矩陣指數(shù)計算局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)得到：

故(2)式成立，引理5得證。

(3)

證明：對于固定的矩陣B及延滯常數(shù)τ，對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，由定義4及引理4有

(4)

對(4)式，應(yīng)用引理1、引理2、引理4，經(jīng)過簡單的計算可得：

③內(nèi)徑、流量、功率推算法。例如：C機井經(jīng)測量機井內(nèi)徑為225 mm，經(jīng)詢問管理人員，該機井功率為37 kW,每小時出水量為38 m3，井深200 m左右。經(jīng)推算,機座號確定為200（機座號應(yīng)小于或等于機井內(nèi)徑）；根據(jù)流量,可確定機井銘牌流量為40 m3，結(jié)合功率37 kW，則該機井型號為200 QJ 40—182/14。

故(3)式成立。

通過定義4，對?x∈[(k-1)τ，kτ]，k∈N，有

又因為(a+b)α=aα+bα，故

綜上，引理6成立。

引理7 分形集Rnα(0<α≤1)上，Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)滿足(EAxα)(α)=AEAxα.

證明：由定義5、引理2和引理3可得：

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)主要考慮在矩陣A，B可交換條件下，求方程(1)的顯式解。首先利用第1部分的預(yù)備知識，得到方程(1)的基解矩陣。其次，考慮方程(1)所對應(yīng)的齊次方程的解和非齊次初值條件為零的解。最后得到方程(1)的顯式解。

(5)

定理證畢.

(6)

的解具有如下形式

證明：由定理1及解的結(jié)構(gòu)知，方程(6)的解具有如下形式

(7)

由A，B的可交換性，有

(8)

v(s)(ds)α.

(9)

對 (9)式關(guān)于x求α階局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，并利用引理1、引理3、引理7有

從而Aφ(x)-φ(α)(x)=-E-Aταv(x)，也即是v(x)=EAτα(φ(α)(x)-Aφ(x)).將v(x)代入(8)式，得到

(10)

的解具有如下形式

(11)，

其中F(s)是定義在[0，x]上的未知向量函數(shù)。對(11)式求α階局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，利用引理1和引理4有

(12)

將(11)和(12)式代入方程(10)，有

因為B1=E-AταB，上式可變形為

(13)

定理4 方程(1)的解具有如下形式：

證明：結(jié)合定理2和定理3知道，定理4成立。

3 結(jié)束語

文章主要根據(jù)YANG[7-8]建立的局部分數(shù)階積分理論，在分形集Rnα(0<α≤1)上構(gòu)造延遲矩陣指數(shù)和Mittag-Leffler型矩陣指數(shù)函數(shù)，將常微分方程中經(jīng)典的常數(shù)變易法推廣到時滯微分方程，最終得到一類帶時滯微分方程解的顯式表達，進而有利于對一些系統(tǒng)的穩(wěn)定性或可控性等定性分析進行研究。