鄭 賢， 劉 燁

(上海工程技術(shù)大學(xué)，上海 201000)

0 引言

死區(qū)和時(shí)滯是機(jī)器人、航空航天和超精細(xì)加工等領(lǐng)域面臨的基本問題。隨著科技的發(fā)展，死區(qū)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)受到了廣泛關(guān)注。死區(qū)和時(shí)滯會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定，所以對(duì)于死區(qū)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的研究具有重要意義。在非線性時(shí)滯項(xiàng)滿足一定假設(shè)的前提下，自適應(yīng)反推法是處理非線性時(shí)滯系統(tǒng)的有效策略，目前被廣泛應(yīng)用[1-6]。傳統(tǒng)的反推法需要對(duì)虛擬控制律反復(fù)進(jìn)行微分，使得控制器的設(shè)>計(jì)變得復(fù)雜，增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。為解決這一問題，動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)[7-8]被開發(fā)出來,該技術(shù)令虛擬控制律通過低通濾波器，避免反復(fù)微分，從而解決“微分爆炸”問題。但是低通濾波器的引入會(huì)產(chǎn)生邊界層誤差，從而使得系統(tǒng)跟蹤誤差增大。隨著研究的深入，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制方案也不斷被提出[9-13]。受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[15-16]中，集成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)可以取消非線性時(shí)滯項(xiàng)的假設(shè)條件，但邊界層誤差依舊存在，然而，文獻(xiàn)[14-16]并沒有考慮死區(qū)輸入的非線性問題。

死區(qū)輸入非線性是非光滑函數(shù)且對(duì)較小的輸入信號(hào)不靈敏，在一定范圍內(nèi)沒有輸出。在文獻(xiàn)[17]中采用了死區(qū)逆來補(bǔ)償死區(qū)的影響，但是死區(qū)逆的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，不利于實(shí)際工程中控制器設(shè)計(jì)；為了簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，在文獻(xiàn)[18]中提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的死區(qū)模型，該模型為一條直線和類干擾項(xiàng)的組合，此后很多研究都是基于這個(gè)簡(jiǎn)化的死區(qū)模型提出的[19-23]；在文獻(xiàn)[19,24]研究中，取消了斜率的最小值限制；文獻(xiàn)[25]利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來處理死區(qū)非線性項(xiàng)問題。但是這些文獻(xiàn)跟蹤誤差只收斂到零的任意小的鄰域內(nèi)。

綜上所述，盡管關(guān)于死區(qū)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了一定進(jìn)展，但設(shè)計(jì)出使系統(tǒng)跟蹤誤差漸近收斂到零的控制器仍具有挑戰(zhàn)性，其難點(diǎn)在于邊界層誤差、死區(qū)未知參數(shù)及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差的處理。

本文考慮死區(qū)輸入的影響，研究一類非線性時(shí)滯系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題。通過徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)中非線性時(shí)滯項(xiàng)，并對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差及死區(qū)模型的未知參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)含有正時(shí)變積分函數(shù)非線性濾波器的控制器。所設(shè)計(jì)的控制器可以有效地消除未知死區(qū)給系統(tǒng)造成的不良影響，確保整個(gè)非線性時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致有界，且跟蹤誤差能在理論上收斂到零。

1 問題描述和假設(shè)

考慮如下具有未知非對(duì)稱死區(qū)輸入的非線性時(shí)滯系統(tǒng)

(1)

(2)

式中:mr(u)和ml(u)為對(duì)應(yīng)區(qū)間的映射關(guān)系，均為光滑函數(shù)；u-,u+為未知正常數(shù)。

本文的控制目標(biāo)在于通過設(shè)計(jì)的控制器，保證系統(tǒng)的所有信號(hào)在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)半全局有界，且跟蹤誤差能收斂到零。

假設(shè) 2 存在未知正常數(shù)ml0，ml1，mr0，mr1滿足如下關(guān)系

(3)

則該死區(qū)模型可表示為

N(u)=mu+d

(4)

式中:

(5)

(6)

且β≤min{ml0,mr0}為已知正常數(shù),|d|≤D，D=max{mr1,ml1}為未知正常數(shù)。

引理1對(duì)于任意的常數(shù)ε>0，z∈R，

(7)

成立。

引理2對(duì)于任意的非線性連續(xù)未知函數(shù)F(Z)，其中,Z∈ΩZ?Rq，存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)W*TS(Z),即

F(Z)=W*TS(Z)+E(Z)

(8)

2 控制器設(shè)計(jì)

首先，定義系統(tǒng)式(1)的位置跟蹤誤差

(9)

根據(jù)反推控制方法設(shè)計(jì)如下。

1) 步驟1。

對(duì)式(9)中z1求導(dǎo)可得

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

(15)

根據(jù)引理1可得

(16)

對(duì)式(15)求導(dǎo)，并將式(11)～(14)、式(16)代入求導(dǎo)后的式(15)可得

(17)

為了避免“微分爆炸”和消除邊界層誤差，令α1通過新設(shè)計(jì)的濾波器得α1d，形式如下

(18)

(19)

式中，σ1，σ2為任意正常數(shù)。

2) 步驟i。

對(duì)式(9)中zi求導(dǎo)可得

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

(25)

對(duì)式(25)求導(dǎo)并代入式(21)～(24)可得

(26)

令虛擬控制律αi通過新設(shè)計(jì)的濾波器式(18)可得αid。

3) 步驟n。

對(duì)式(9)中zn求導(dǎo)可得

(27)

(28)

式中，

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

(34)

對(duì)式(34)求導(dǎo)并代入式(28)～(33)可得

(35)

3 穩(wěn)定性分析

對(duì)邊界層誤差ei=αid-αi微分得到

(36)

式中，Bi(·)是連續(xù)函數(shù)。

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

(37)

式中:μi(i=1,…，n-1)是正設(shè)計(jì)參數(shù)。

定理1考慮一類包含式(1)的系統(tǒng)，利用虛擬控制律式(11)、式(21)、非線性濾波器式(18)、系統(tǒng)自適應(yīng)律式(14)、式(22)～(24)、式(30)～(33)和實(shí)際控制律式(29)，滿足假設(shè)1、假設(shè)2，對(duì)于任意的初始條件V(0)≤p，其中，p是給定正常數(shù)，存在設(shè)計(jì)參數(shù)ki，γi，Λi，ηi，λ使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局一致有界的，且系統(tǒng)跟蹤誤差y-yr漸近收斂到零。

證明 定義有界緊集

(38)

Ω2={V(t)≤ρ}

(39)

對(duì)式(37)求導(dǎo)得

(40)

根據(jù)引理1得

(41)

(42)

將式(41)、式(42)代入式(40)可得

(43)

對(duì)式(43)兩邊在時(shí)間[0,t]內(nèi)求積分可得

(44)

(45)

根據(jù)Barbalat引理，考慮式(45)可得

(46)

這表明跟蹤誤差可以漸近收斂到零。

4 仿真分析

考慮以下死區(qū)非線性時(shí)滯系統(tǒng)

(47)

仿真結(jié)果如圖1～3所示，圖1表明本文的控制算法具有良好的跟蹤性能，圖2表明跟蹤誤差收斂到零的鄰域內(nèi)，圖3表明控制器u有界。

圖1 系統(tǒng)輸出y與期望軌跡yrFig.1 System output y and expected trajectory yr

圖2 跟蹤誤差z1Fig.2 Tracking error z1

圖3 控制器uFig.3 Controller u

5 結(jié)論

本文研究了一類死區(qū)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題，在自適應(yīng)反推控制理論基礎(chǔ)上，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和新型動(dòng)態(tài)面技術(shù)設(shè)計(jì)控制器，該算法不僅能避免“微分爆炸”，還能有效消除邊界層誤差。除此以外，死區(qū)特性問題和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差可利用不等式轉(zhuǎn)化為未知項(xiàng)并應(yīng)用自適應(yīng)技術(shù)進(jìn)行在線估計(jì)。本文設(shè)計(jì)的控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂到零，所提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制算法為系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到零提供一種新的思路。