張雯雯, 吳中華, 卜旭輝

(河南理工大學(xué)，河南 焦作 454000)

0 引言

穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性(控制精度)與快速性(瞬態(tài)性能)是衡量控制系統(tǒng)品質(zhì)的3項(xiàng)重要指標(biāo)。在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，有限時(shí)間控制由于具有收斂速度快、跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用[1-6]。為實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制，控制律設(shè)計(jì)往往采用小于1的分?jǐn)?shù)冪項(xiàng)。但虛擬控制律反復(fù)求導(dǎo)會引起控制律奇異問題，且有限時(shí)間控制的收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始條件密切相關(guān)，若初始狀態(tài)遠(yuǎn)離其平衡點(diǎn)，會導(dǎo)致系統(tǒng)收斂時(shí)間大幅增加。因此，不依賴系統(tǒng)初值的固定時(shí)間控制方法迅速成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]給出了固定時(shí)間穩(wěn)定的定義，以及相關(guān)定理;文獻(xiàn)[8]將固定時(shí)間理論用于多輸入多輸出系統(tǒng)；文獻(xiàn)[9]利用固定時(shí)間穩(wěn)定理論，針對一類非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了非奇異終端滑模控制器;文獻(xiàn)[10]提出了一種平滑切換方法有效地避免了反演控制中的奇異問題;文獻(xiàn)[11]利用上述平滑切換策略，針對一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)提出了基于反演控制的固定時(shí)間跟蹤控制算法，但該算法在設(shè)計(jì)過程中需要求解n元方程來獲取切換系數(shù)，大大增加了控制器設(shè)計(jì)中參數(shù)的數(shù)量，不利于工程實(shí)現(xiàn)，且上述基于平滑切換的固定時(shí)間控制算法未考慮外界擾動對系統(tǒng)的影響。因此，對不含分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)的光滑反演固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)方法需進(jìn)一步深入探討。

擾動觀測器作為解決系統(tǒng)外界干擾的有效途徑之一，其相關(guān)方法得到了廣泛應(yīng)用[12-16]。文獻(xiàn)[17]針對具有外部擾動的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了擾動觀測器，保證系統(tǒng)內(nèi)所有信號的一致漸近收斂性;文獻(xiàn)[18]提出反步法與擾動觀測器相結(jié)合的復(fù)合控制策略，有限時(shí)間內(nèi)收斂提高了閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度和抗干擾能力;文獻(xiàn)[19]研究了具有非匹配擾動的二階多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間跟蹤問題，為避免奇異問題設(shè)計(jì)了新型滑模面。但上述擾動觀測器僅能應(yīng)用于二階以下低階系統(tǒng)，不能直接擴(kuò)展到適用于反演控制算法的高階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)(若擾動觀測器中包含小于1的分?jǐn)?shù)次冪，反演虛擬控制求導(dǎo)仍會引起奇異問題)。因此，對具有外界非匹配擾動的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)擾動觀測問題需要進(jìn)一步深入研究。

針對上述問題，本文提出一種改進(jìn)擾動觀測器的設(shè)計(jì)方法，有效消除了外界非匹配擾動的不利影響。

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 問題描述

考慮如下外部非匹配擾動的非線性系統(tǒng)

(1)

注1 在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)過程中，許多系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型或可以轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)，并通常包含擾動。如文獻(xiàn)[20]中的單機(jī)無窮大總線電力系統(tǒng)，文獻(xiàn)[21]中的機(jī)器人系統(tǒng)等。

注2 匹配擾動是指擾動和控制輸入在同一通道進(jìn)入系統(tǒng)，而在實(shí)際系統(tǒng)中常常遇到非匹配擾動，如磁懸浮系統(tǒng)[22]和液壓伺服系統(tǒng)[23]。

針對具有外界非匹配擾動的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種改進(jìn)擾動觀測器與不含分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)的固定時(shí)間反步控制算法，將觀測擾動估計(jì)值補(bǔ)償?shù)綐?biāo)稱反步控制中以達(dá)到消除外界擾動、實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)固定時(shí)間收斂的目的。為方便書寫，下文中的時(shí)間t均被省略。

1.2 預(yù)備知識

考慮如下系統(tǒng)

(2)

式中:x(t)∈Rn,是系統(tǒng)狀態(tài)變量;f(x(t))表示已知非線性光滑函數(shù);x(0)=x0,為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

引理1[24]假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)可微光滑的正定函數(shù)V(x)，有

(3)

式中，x∈Rn，υ1>0，υ2>0，p>1，0

(4)

引理2[25]設(shè)x∈R,y∈R，m>1，n>1，且滿足(m-1)(n-1)=1，ε>0，則有

(5)

引理3[26]對于任意的常數(shù)ε>0，及任意變量z∈R，有如下不等式成立

(6)

引理4Cauchy-Schwarz不等式,對于任意xi≥0，i=1,2,…,n，有

(7)

引理5[27]對于xi∈R，i=1,2,…,n以及l(fā)∈[0,1]，有

(8)

2 固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

為消除非匹配擾動對系統(tǒng)的影響，首先,設(shè)計(jì)固定時(shí)間擾動觀測器對擾動進(jìn)行在線估計(jì)；然后，結(jié)合擾動觀測器估計(jì)值，運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)不含分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)的光滑實(shí)際固定時(shí)間控制器；最后，采用Lyapunov方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2.1 固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

2.1.1 擾動觀測器設(shè)計(jì)

針對非匹配外界擾動，設(shè)計(jì)新型擾動觀測器為

(9)

(10)

(11)

擾動誤差的導(dǎo)數(shù)可表示為

(12)

2.1.2 復(fù)合控制器設(shè)計(jì)

1) 步驟1。構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(13)

對式(13)兩端求導(dǎo)，可得

(14)

(15)

式中,ε1>0,ζ1>0,k1>0,K1>0，皆為設(shè)計(jì)的參數(shù)變量。

將式(15)代入式(14)，可得

(16)

(17)

(18)

式(16)中，

(19)

由引理2可知

(20)

故式(19)轉(zhuǎn)化為

(21)

(22)

將式(17)代入，可得

(23)

2) 步驟i。2≤i≤n-1：選擇第i個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(24)

Vi對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可表示為

(25)

設(shè)計(jì)擾動觀測器和虛擬控制律分別為

(26)

由引理2和引理3，式(26)代入式(25)可寫為

(27)

3) 步驟n。選擇第n個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(28)

式(28)求導(dǎo)可得

(29)

(30)

且有

(31)

結(jié)合引理2和引理3及式(30)～(31)，則式(29)為

(32)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1若系統(tǒng)滿足1.1節(jié)假設(shè)1，其擾動觀測器及控制律分別設(shè)計(jì)為式(9)及式(10)，則根據(jù)引理1，系統(tǒng)為固定時(shí)間收斂。

證明:定義閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(33)

對Vn兩端求導(dǎo)，可得

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

根據(jù)引理4和引理5有

(39)

結(jié)合引理1，收斂時(shí)間為

(40)

3 數(shù)值模擬及仿真實(shí)例

本文通過Matlab對比仿真驗(yàn)證所提復(fù)合控制算法的有效性(對比算法為文獻(xiàn)[28])。分別通過數(shù)值模擬系統(tǒng)和仿真實(shí)例——倒立擺系統(tǒng)[29]進(jìn)行仿真。選擇合適的系統(tǒng)控制參數(shù)，在初始值不同情況下分別得出系統(tǒng)輸出、控制輸出曲線，通過對比系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間來表明所提擾動觀測器的優(yōu)點(diǎn)，驗(yàn)證所提擾動觀測器的實(shí)用性。

3.1 數(shù)值模擬系統(tǒng)

為驗(yàn)證所提擾動觀測器和控制律的優(yōu)越性，考慮一個(gè)數(shù)值模擬系統(tǒng)

(41)

系統(tǒng)在3種不同情況下的初始狀態(tài)分別定義為x(0)=[0.20.1]，x(0)=[0.50.5]，x(0)=[1.51.5]。

控制器參數(shù)設(shè)計(jì)如表1所示。

表1 控制器參數(shù)(式(41))Table 1 Controller parameters (Formula (41))

仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 系統(tǒng)輸出對比Fig.1 Output comparison

圖2 控制輸入對比Fig.2 Control input comparison

圖中，x(0)為本文算法初始狀態(tài)，x′(0)為對比算法初始狀態(tài)。圖1為本文算法輸出y和對比算法輸出ys，圖2為本文算法控制輸入u和對比算法控制輸入us。由仿真觀測結(jié)果可看出，當(dāng)初始值不同時(shí)，本文算法可以在1.5 s內(nèi)快速收斂，并保持穩(wěn)定，具有更強(qiáng)的抗干擾能力，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。

3.2 仿真實(shí)例——倒立擺系統(tǒng)

本節(jié)采用倒立擺模型驗(yàn)證所提復(fù)合控制算法的有效性。根據(jù)文獻(xiàn)[29]，倒立擺系統(tǒng)模型為

(42)

式中:V為倒立擺轉(zhuǎn)樞處垂直向下的力；H為水平方向的力；M為車的質(zhì)量；m為倒立擺的質(zhì)量；l為倒立擺的長度；J=ml2/3，是關(guān)于重心的轉(zhuǎn)動慣量;y為轉(zhuǎn)樞的位移；θ為倒立擺的角位移(順時(shí)針方向測量)；g為重力加速度;u為水平推力。

(43)

式中:f為非線性光滑函數(shù)；b為系統(tǒng)輸入u的系數(shù)

(44)

(45)

對比算法與3.1節(jié)相同，控制器參數(shù)設(shè)計(jì)如表2所示。

表2 控制器參數(shù)(式(43))Table 2 Controller parameters (Formula (43))

仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。圖3為系統(tǒng)輸出軌跡對比，圖4為控制輸入軌跡對比。由圖3～4可知，當(dāng)狀態(tài)初始值不同時(shí)，對比算法收斂速度較快，在2.5 s系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，而本文算法所提出的固定時(shí)間控制使系統(tǒng)在1.5 s進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。綜上，本文所設(shè)計(jì)的基于固定時(shí)間收斂的擾動觀測器具有更好的控制性能，能夠滿足快速性和高精度的任務(wù)需求。

圖3 系統(tǒng)輸出軌跡對比Fig.3 Output comparison

圖4 控制輸入軌跡對比Fig.4 Control input comparison

4 結(jié)論

本文針對具有外界非匹配擾動的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)固定時(shí)間擾動觀測器，提出了結(jié)合擾動觀測器與反演控制器的復(fù)合控制方案。在避免奇異問題的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間收斂，通過定義合適的Lyapunov函數(shù)證明了擾動觀測器的穩(wěn)定性，完成了不同初值下擾動觀測器的仿真測試。仿真結(jié)果表明，本文所提出的擾動觀測器和控制器具有收斂速度快、結(jié)構(gòu)簡單、易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。