楊玉平 張曼曼 孫 瑋 胡周翔 劉 蓓 鄒 斌

(中央民族大學(xué)理學(xué)院 北京 100081)

1 引言

無限深勢阱是量子力學(xué)中最基本且重要的模型之一，對理解量子力學(xué)理論具有重要意義[1-2]．但在很多低維量子受限系統(tǒng)(如納米級金屬薄膜、單層石墨烯、分子束外延生成的多層薄膜量子阱等)中，無限深勢阱的理論結(jié)果總會有一定的偏差，而有限深勢阱模型與實(shí)際量子體系更加吻合，并廣泛適用．兩者在求解定態(tài)薛定諤方程時，最大的區(qū)別是系統(tǒng)的邊界條件不同，方程給出的能級結(jié)構(gòu)和波函數(shù)形式也不同．但是，相較于多數(shù)經(jīng)典量子力學(xué)教材[3-6]中詳細(xì)講解的一維無限深勢阱模型，一維有限深勢阱由于涉及頗為復(fù)雜的超越方程，在沒有計算機(jī)輔助的情況下只能定性地討論能級的取值范圍和個數(shù)，無法精確地確定能級和具體的波函數(shù)．對于N個勢阱情況，更是無法得出完整清晰的量子力學(xué)圖像，是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)．將有限深勢阱中微觀粒子的量子化行為可視化，可以輔助教學(xué)，幫助學(xué)生理解相關(guān)抽象概念，解決實(shí)際系統(tǒng)中的復(fù)雜量子力學(xué)問題．

隨著信息技術(shù)的進(jìn)步、計算軟件及網(wǎng)絡(luò)的普及，涌現(xiàn)出多種虛擬仿真程序，以其逼真、準(zhǔn)確、交互性強(qiáng)等特點(diǎn)，將信息技術(shù)與基礎(chǔ)物理學(xué)科、專業(yè)物理實(shí)驗等教學(xué)高度整合，為彌補(bǔ)傳統(tǒng)理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)的不足提供了廣闊的空間．其中，PhET互動仿真平臺源于美國科羅拉多大學(xué)的物理教育科技(physics education technology,PhET)計劃，其實(shí)驗資源覆蓋學(xué)科(包括物理、化學(xué)、生物、數(shù)學(xué)和信息等)廣泛，且全球免費(fèi)試用，提供簡體中文版本，等等[7]．在量子物理領(lǐng)域，PhET平臺提供了電子衍射、黑體輻射、光電效應(yīng)、量子波干涉、量子束縛態(tài)、量子隧穿與波包等實(shí)驗，通過大量的圖像顯示、選擇按鈕和操作工具，可以幫助學(xué)生形象地理解科學(xué)概念，提高交互功能，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識、自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，提升教學(xué)質(zhì)量與效能．2008年，文獻(xiàn)[8-9]探討了運(yùn)用PhET仿真實(shí)驗對玻爾模型、隧穿效應(yīng)的有效教學(xué)及其教學(xué)效果；2015年，文獻(xiàn)[10]運(yùn)用PhET仿真實(shí)驗?zāi)M了量子波干涉、量子隧穿和波包．國內(nèi)外學(xué)者教學(xué)效果的評估發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于PhET接受度很高．但要達(dá)成有效的教學(xué)目標(biāo)，還需要教師精心去設(shè)計教學(xué)活動，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、測試、分析，并整合所學(xué)進(jìn)行知識的建構(gòu)．

本文結(jié)合一維有限深勢阱的具體示例，依據(jù)PhET仿真軟件提供的強(qiáng)大模擬功能，從求解微分方程、更新表達(dá)方式，通過圖像式直觀教學(xué)，拓展課程深度和廣度，攻克知識難點(diǎn)和課程難點(diǎn)，獲得正確的量子力學(xué)圖景．并以此為基礎(chǔ)，開展基于問題驅(qū)動的混合式課堂教學(xué)實(shí)踐，以期在有限深勢阱教學(xué)中提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，實(shí)現(xiàn)多元化教學(xué)目標(biāo)．

2 一維有限深方勢阱

2.1 定態(tài)薛定諤方程

考慮在一維空間中運(yùn)動的粒子，其勢能在一定區(qū)域內(nèi)(x=-a到x=a)為零，而在此區(qū)域外，等于一個正數(shù)V0．求解定態(tài)薛定諤方程，利用系統(tǒng)的邊界條件，得到束縛態(tài)能級E滿足的超越方程為

(1)

其中

ξ=ka

η=βa

波函數(shù)的解有兩組，分別是奇宇稱解和偶宇稱解

(2)

(3)

圖1 圖解法求解得到的束縛態(tài)能級

2.2 PhET虛擬仿真結(jié)果與分析

假設(shè)微觀粒子為電子，質(zhì)量為me=9.1×10-31kg，勢阱的底部為零，勢阱的深度V0=10 eV，勢阱的寬度2a=2 nm，利用PhET仿真平臺，計算得到的前3個本征態(tài)(束縛態(tài))的能量本征值En、波函數(shù)Ψn和概率密度|Ψn|2的分布(包括勢阱兩側(cè)的超越方程)如表1所示．當(dāng)E

表1 前3個本征態(tài)的En、Ψn和|Ψn|2

保持勢阱的深度(V0=10 eV)和粒子的質(zhì)量(me)不變，改變方勢阱的寬度(從0.8 nm增加到2.2 nm)，能量E4、E5和兩者的能量差如圖2所示．

圖2 En隨勢阱寬度的變化

可以發(fā)現(xiàn)，隨著勢阱寬度的增加，能量本征值隨之減少，能級間能量差值也逐漸降低，體現(xiàn)出量子尺寸效應(yīng)；發(fā)出光的頻率減小，對應(yīng)波長增大，即出現(xiàn)紅移效應(yīng)．同時，隨著方勢阱寬度的增加，能級數(shù)量逐漸增多．

不同勢阱寬度情況下波函數(shù)Ψn和概率密度|Ψn|2的分布如表2所示．隨著方勢阱寬度的增加，Ψn和|Ψn|2的寬度也隨之增加，且始終比方勢阱寬度略寬，說明勢阱外仍有概率分布；在確定寬度下，高能級概率分布躍出勢阱的比低能級概率分布躍出勢阱的要多．從式(1)來看：當(dāng)|x|≥a時，波函數(shù)是呈指數(shù)衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；高能級對應(yīng)的β取值較小，衰減得要慢一些．

表2 Ψn和|Ψn|2隨勢阱寬度的變化

續(xù)表2

保持勢阱的寬度(2a=2 nm)不變，改變方勢阱的深度(從5 eV增加到15 eV)，電子的質(zhì)量設(shè)為me，第5個本征態(tài)的E5、Ψ5和|Ψ5|2如表3所示．隨著勢阱深度的增加，能級的數(shù)量不斷增加．由式(1)可知V0的增加會引起r的增加，通過圖解法求解結(jié)果來看r越大對應(yīng)能級數(shù)越多；此外，隨著勢阱深度的增加，每一能級對應(yīng)能量值呈上升趨勢，但是存在極限值(無限深勢阱的束縛態(tài)能級En)．Ψn和|Ψn|2的寬度逐漸減小，但始終比無限深方勢阱寬度略寬．在確定寬度下，第5個本征態(tài)的概率分布躍出勢阱的比例隨勢阱深度的增加而減小；在無限深的情況下，勢阱外和阱壁處粒子(電子)存在的概率為零．從式(1)來看：當(dāng)|x|≥a時，波函數(shù)是呈指數(shù)衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；增加勢阱深度V0使得β值增大，衰減得要快一些．

表3 E5、Ψ5和|Ψ5|2隨勢阱高度的變化

保持勢阱的寬度(2a=2 nm)和深度(10 eV)不變，改變方勢阱中粒子(電子)的有效質(zhì)量μ，第5個本征態(tài)的E5(加粗能級)、Ψ5和|Ψ5|2如表4所示．隨著粒子質(zhì)量的增加，能級的數(shù)量不斷增加．由式(1)可知粒子有效質(zhì)量μ的增加會引起r的增加，通過圖解法求解結(jié)果來看r越大對應(yīng)能級數(shù)越多．此外，隨著粒子質(zhì)量的增加，每一能級對應(yīng)能量值呈下降趨勢；Ψn和|Ψn|2的寬度略有減小，但始終比方勢阱寬度略寬．在確定勢阱寬度和深度下，第5個本征態(tài)的概率分布躍出勢阱的比例隨粒子有效質(zhì)量μ的增加而減??；從式(1)來看，當(dāng)|x|≥a時，波函數(shù)是呈指數(shù)衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；增加粒子有效質(zhì)量μ使得β值增大，衰減得要更快．

表4 En、Ψ5和|Ψ5|2隨粒子質(zhì)量的變化

3 有限深多勢阱

對于N個有限深勢阱中微觀粒子的束縛態(tài)能級和波函數(shù)，可以從定態(tài)薛定諤方程出發(fā)，由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件導(dǎo)出波函數(shù)中待定系數(shù)滿足的(4N-2)元線性方程組．由線性方程組系數(shù)行列式等于零的超越方程計算出微觀粒子的能級，通過計算線性方程組的基礎(chǔ)解系求得束縛定態(tài)波函數(shù)[12]．每增加1個勢阱，定態(tài)波函數(shù)的求解區(qū)間增加2個：波函數(shù)增加兩端，確定能級的齊次線性方程組增加4個未知量[13]．

3.1 有限深多勢阱的能級

假設(shè)微觀粒子為電子，質(zhì)量為me=9.1×10-31kg，勢阱的底部為零，勢阱的深度V0=20 eV，勢阱的寬度2a=0.5 nm，而中間勢壘寬度d=0.1 nm，利用PhET仿真平臺，計算得到的單個勢阱到3個勢阱的電子能級圖如表5所示．與單勢阱相比，雙勢阱的能級都是兩兩成對出現(xiàn)的，而三勢阱的能級都是三三出現(xiàn)的．以n=4的能級為例，單勢阱的能量值為16.33 eV，雙勢阱的能量值分別為15.82 eV和17.18 eV，三勢阱的能量值分別為15.45 eV,16.25 eV和17.56 eV，四勢阱的能量值分別為15.41 eV,15.91 eV,16.84 eV和17.81 eV．

表5 多個勢阱的能級En

續(xù)表5

圖3繪制了1～5個對稱勢阱的能級圖．

圖3 En隨勢阱數(shù)量的變化

可以看出，隨著N的增加，原來的單勢阱能級被分裂為N條，其中最小的能級低于原能級，最高的能級高于原能級；且隨著N的增加，能級分裂的寬度逐漸增大．值得注意的是，原來的一個能級分裂成為的N條新能級并不是等間隔的；當(dāng)量子阱數(shù)目N越大，能級間隙越??；隨著量子阱數(shù)目N的進(jìn)一步增加，最終可形成能帶．

當(dāng)N=5時，保持勢阱的寬度(2a=0.5 nm)和高度(20 eV)不變，改變中間勢壘的寬度d，前4個本征態(tài)的能級圖和En的數(shù)值如表6所示．隨著勢壘寬度的增加，能級分裂的條數(shù)不變，但是能級分裂的間隔越來越?。詎=4為例，E4能級在d分別為0.05 nm，0.10 nm和0.20 nm時，對應(yīng)的最高能級和最低能級差分別為4.54 eV，2.50 eV和0.86 eV．隨著中間勢壘寬度的進(jìn)一步增加，最終能級分裂現(xiàn)象消失，能級分布與單勢阱的相同．

表6 概率隨中間勢壘寬度d的變化

3.2 有限深多勢阱本征態(tài)下的概率分布

無論是單勢阱還是多勢阱問題，定態(tài)的波函數(shù)都是以勢阱中心(x=0)為對稱軸的奇偶函數(shù)．其中，基態(tài)為偶函數(shù)，隨著能級的升高，定態(tài)波函數(shù)的奇偶性輪流呈現(xiàn)．限于篇幅，本文只給出單勢阱至三勢阱的前幾個本征態(tài)的概率密度|Ψn|2的圖形，如表7所示．與一維單勢阱相比，雙勢阱前6個本征態(tài)的|Ψn|2分別對應(yīng)單勢阱的前3個本征態(tài)；成對能級對應(yīng)的概率密度|Ψn|2相似，存在峰位的數(shù)量相同，主要差別在于中央波谷處幅度高低不同；雙勢阱的|Ψn|2關(guān)于中心(x=0)對稱分布，隨著能級增加，每一組簡并能級比上一組簡并能級增加2個峰位．此外與單勢阱|Ψn|2類似，勢阱寬度越大，每個能級 |Ψn|2的峰變寬；勢阱深度越高，每個能級|Ψn|2的峰變得更尖銳，峰寬變窄(表7未給出)．

表7 |Ψn|2隨勢阱個數(shù)N的變化

與一維單勢阱相比，三勢阱前9個本征態(tài)對應(yīng)的|Ψn|2分別對應(yīng)單勢阱的前3個本征態(tài)．與雙勢阱有所不同的是，三重能級中最高能級和最低能級對應(yīng)的概率密度|Ψn|2相似，存在峰位的數(shù)量相同，主要差別在于中央波峰(或波谷)處幅度高低不同；但是，中間能級的峰位數(shù)量和中央波峰(或波谷)處幅度高低與最高能級和最低能級存在顯著不同．此外，不同三勢阱的|Ψn|2也是關(guān)于中心(x=0)對稱分布，隨著能級增加，每一組簡并能級比上一組簡并能級增加3個峰位．此外，與單勢阱|Ψn|2類似，勢阱寬度越大，每個能級 |Ψn|2的峰變寬；勢阱深度越高，每個能級|Ψn|2的峰變得更尖銳，峰寬變窄．

4 教學(xué)過程

采用線上線下混合式、翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)形式開展線上預(yù)習(xí)、虛擬仿真實(shí)驗和課堂展示，在增加學(xué)生線上線下課堂參與度的同時增加學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的思考，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)．

4.1 課前預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，教師給出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)以及注意事項，學(xué)生根據(jù)教師給出的學(xué)習(xí)單進(jìn)行線上視頻學(xué)習(xí)和虛擬仿真，以小組學(xué)習(xí)的方式，每位學(xué)生負(fù)責(zé)相應(yīng)的任務(wù)點(diǎn)，準(zhǔn)備在翻轉(zhuǎn)課堂上，以“教師”的角色進(jìn)行備課和內(nèi)容講授．本節(jié)給出的學(xué)習(xí)單提綱如下：

(1)有限深單勢阱

1)給出前3個本征態(tài)(束縛態(tài))的能量本征值En、波函數(shù)Ψn和概率密度|Ψn|2的分布(包括勢阱兩側(cè)的超越方程)，驗證課上的理論推導(dǎo)結(jié)果．

2)改變方勢阱的寬度，并描述En的變化(最好定量)，解釋量子尺寸效應(yīng)．

3)改變方勢阱的寬度，并描述Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

4)改變方勢阱的深度，并描述En、Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

5)改變粒子的質(zhì)量，并描述En、Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

6)保持方勢阱的深度(V0)不變，當(dāng)阱內(nèi)的勢能U(x)分別大于、等于或小于零時，其En、Ψn和|Ψn|2的變化有哪些？解釋這些變化．

(2)有限深多勢阱

1)與一維單勢阱相比，描述束縛態(tài)的能級(En)結(jié)構(gòu)發(fā)生了哪些變化？

2)與一維單勢阱相比，描述束縛態(tài)的Ψn和|Ψn|2發(fā)生了哪些變化？

3)改變寬度和深度，束縛態(tài)的能量本征值(En)發(fā)生了哪些變化？

4)改變寬度和深度，束縛態(tài)下Ψn和|Ψn|2發(fā)生了哪些變化．

以問題為導(dǎo)向的小組學(xué)習(xí)更能激發(fā)學(xué)生對實(shí)驗的興趣，以更開放、更靈活的方式強(qiáng)化學(xué)生對量子物理有限深勢阱問題的探究與思考，增加學(xué)生對于教學(xué)內(nèi)容的思考量．

4.2 翻轉(zhuǎn)課堂

教學(xué)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師更多地扮演一個“主持人”的角色．學(xué)生根據(jù)自己的備課內(nèi)容，結(jié)合PPT對授課內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的講解．PhET虛擬仿真平臺把抽象的科學(xué)概念(能級、能帶)和不可見的微觀事實(shí)(如波函數(shù)、概率)可視化，同時提供了增強(qiáng)理解的動態(tài)化模型；學(xué)生在授課過程中可以現(xiàn)場演示并解釋實(shí)驗結(jié)果，體驗直觀、逼真的實(shí)驗過程；也可以基于查閱的文獻(xiàn)，結(jié)合微分方程的求解結(jié)果進(jìn)行分析．教師的職責(zé)主要是對學(xué)生講解過程中漏掉的內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充，對學(xué)生講不透的內(nèi)容進(jìn)行解析，對需要重點(diǎn)理解和需要拓展的知識點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，以及最后答學(xué)生問．最終達(dá)到抽象與形象、理論與實(shí)驗相結(jié)合的目的．

4.3 課后

在課后教師鼓勵學(xué)生跨組交流，查閱文獻(xiàn)，進(jìn)一步完善小組任務(wù)；最終，以小組為單位提交一篇研究報告．總之，基于學(xué)習(xí)單預(yù)習(xí)、虛擬仿真、小組討論、翻轉(zhuǎn)課堂、教師講授、提交報告等形式，有效提高了學(xué)生的參與度和課堂教學(xué)質(zhì)量．

5 結(jié)論

本文借助PhET虛擬仿真平臺，對一維有限深勢阱問題進(jìn)行了可視化研究，并將一維有限深方勢阱結(jié)論拓展到多勢阱情況，強(qiáng)調(diào)了量子力學(xué)教學(xué)中有限深勢阱問題的重要意義．通過圖形和視頻，形象地給出了一維有限深勢阱的能級結(jié)構(gòu)和粒子在阱內(nèi)的概率分布，使得學(xué)生能夠直觀理解能量量子化的形成以及延伸出對一維光子晶體、超晶格、固體能帶復(fù)雜量子力學(xué)體系的理解，從而為學(xué)習(xí)和應(yīng)用量子理論體系建立一個牢固可靠的認(rèn)知基礎(chǔ)．