李品鈞

(湛江幼兒師范專科學校信息科學系 廣東 湛江 524037)

對于大學物理初學者而言，從高中物理過渡到大學物理，因其科研能力培養(yǎng)的指向變得更加明顯，對學生的歸納思維、形象思維、發(fā)散思維提出了幾乎是階躍式的要求.如何讓學生從“溫故”到“知新”再進一步到“創(chuàng)新”，是大學物理教學最重要的任務之一．完成這一任務需要教師具有“以舊引新”“以小見大”的指引功夫，其支撐點有二：循序漸進的教學手段和淵博的物理學知識．

下面以“江中竹排”這一問題為例展開論述，對相對運動的基本概念進行介紹和延伸(課程結構按圖1所示的思路展開)，通過調(diào)動學生的歸納思維、形象思維和發(fā)散思維，對基本概念在深度、廣度和趣味性等方面進行拓展，實現(xiàn)學生科學素質(zhì)的提高.

圖1 相對運動教學設計思路

1 引入問題 引導學生歸納概括 抽取問題實質(zhì)

“小小竹排江中游，巍巍青山兩岸走……”這句極富畫面感和動態(tài)感的歌詞非常形象地道出了以不同景物作為參照系所帶來的不同物理情景的主觀判斷，以至于被中學物理教材選用為輔助理解素材.由竹排問題可知，選用的參考系不同，對物體的運動狀態(tài)就會得到完全不同的判斷.竹排上的人認為自己不動而青山在動(因為他選擇了竹排作為參考系)，岸上的人認為青山不動而竹排在游(因為他選用了江岸作為參考系)，相對于不同的參考系，物體的運動狀態(tài)(速度)就不同，因而就有了相對速度的概念.接下來很自然的問題是：同一物體在不同參考系中的速度之間有什么聯(lián)系？下面假設人在竹排上行走，如果用v人排表示人相對竹排的運動速度，v排岸表示竹排相對江岸的運動速度，那么人相對于江岸的速度滿足如下疊加關系

v人岸=v人排+v排岸

(1)

可以對此式進行歸納和推廣成為下面的形式

van=va1+v12+v23+…+v(n-1)n

(2)

其中的van表示物體a相對物體n的速度，其余以此類推.特別要注意的是，等式右邊各項的下標排列規(guī)律：前一項下標中的末位與后一項下標中的首位要相同，否者等式不成立.舉個特例，上述竹排上的人身上有一只昆蟲以相對人的速度v蟲人在爬行.那么可知，蟲子相對于江岸的運動速度為

v蟲岸=v蟲人+v人排+v排岸

(3)

上述歸納公式形式簡單，在具體的解題應用中體現(xiàn)出較大的便利性.

2 設置趣味演示實驗 調(diào)動學生形象思維分析問題

教師于課堂上選擇適當位置，雙手抱住一個籃球和一個乒乓球，讓乒乓球緊貼在籃球的頂端，提示學生注意觀察，接著釋放兩球.

現(xiàn)象：兩球同步降落，著地以后反彈，發(fā)現(xiàn)兩球反彈之后，籃球的反彈高度比初始高度明顯降低，但乒乓球的反彈速度大大增加，甚至以較大的速度撞到了教室天花板，學生對此表現(xiàn)出極大的興趣.此時教師可以引導學生對問題作如下的分析.

如圖2所示，將大、小球體系的著地反彈過程進行分解.為便于敘述，我們將大球用大寫字母A表示，小球用B表示，教室用C表示.在圖2(a)中，大球著地后開始反彈，由于碰撞總需要一定的時間傳遞，所以小球的反彈必然在大球反彈之后.于是大球反彈之后的瞬間，小球仍以原速降落.此時假想我們(觀察者)就靜止在教室里，觀察到的現(xiàn)象是：大球以著地前瞬間速率v反彈，即

vAC=v

而小球仍以速率v下降(即將與大球碰撞)即

vBC=-v

這時，假想我們縮小為一個“蟻人”進入大球中但未與大球接觸[因而不會影響體系的運動狀態(tài)，見圖2(b)].由于我們身處大球之中，感官上必然選擇大球作為參考系，此時我們觀察到的小球速度實際上就是小球相對于大球的運動速度，利用前面總結出來的公式，可得這個速度為

vBA=vBC+vCA

式中vCA是教室相對大球的運動速度，現(xiàn)選擇豎直向上為正方向，則

vCA=-vAC=-v

同時可得

vBA=-v+(-v)=-2v

圖2 小球的彈弓效應

動能正比于速度的平方，由此可見小球在碰撞之后動能是碰撞之前的9倍，反彈高度大大增加也就不奇怪了.

3 調(diào)動學生歸納思維 對問題進行抽象提煉

教師引導學生調(diào)動抽象思維對上述現(xiàn)象進行歸納總結：

(1)兩體碰撞(相互作用)問題.

(2)質(zhì)量懸殊.

(3)相互作用力為保守力.

簡而言之就是：在兩個質(zhì)量懸殊物體的彈性碰撞過程中，小質(zhì)量物體在碰撞之后可以獲得相當可觀的速度(動能)增量.物理學家把這種現(xiàn)象形象地稱之為“彈弓效應”[1]，由于其加速作用的奇特性(不需要人為做功或燃燒燃料)，引起了人們極大的興趣，也成為物理教學工作者常常討論的話題[2-4].

4 運用發(fā)散思維 注重實際應用 激發(fā)學生的科學探索熱情

4.1 引力彈弓的加速原理簡析

教師提出設問：能否利用彈弓效應在相關的工程之中對物體加速從而節(jié)省能源？然后引導學生進行對照分析：在航天飛行中，飛船略過某行星時，完全滿足第3節(jié)所述的3個條件.

(1)飛船掠過行星可以看作是一次無接觸的碰撞.

(2)飛行器與行星的質(zhì)量相差懸殊(懸殊程度甚至遠遠超過乒乓球和籃球之間的質(zhì)量差).

(3)飛行器與行星之間的作用力是萬有引力，萬有引力是保守力.

既然3個條件完全滿足，那么前面所設問題的答案就當然是肯定的.在航天領域，人們管這種加速方式為“引力彈弓”或“引力推進”.航天史上的“旅行者號(1和2)”“伽利略號”“卡西尼-惠更斯號”等航天飛行器都用到了引力彈弓的加速機制.從普通尺度兩體問題的加速作用到航天領域中的飛船加速應用，這種天馬行空般的想象力以及從猜想到理論計算再到工程上的實際應用，使得物理學這一門自然科學能夠像一門藝術一樣給人們以極妙的美感，而精通這門藝術的“藝術家”們正是那些頂尖的物理學家以及工程師們.前面提到的“旅行者1、2”號姊妹宇宙飛船堪稱這些藝術品中的絕美之作，它們巧妙地利用了據(jù)說要175年才能出現(xiàn)一次的4顆外星(木星、土星、天王星和海王星)的“行星連珠”現(xiàn)象，逐次地利用彈弓原理進行加速，向著太陽系的外圍進發(fā).1989年，旅行者2號成為首次越過海王星的航天飛船.2012年，旅行者1號越過了星際空間邊界，同年，旅行者2號則已位于太陽系的外圍[5].

旅行者號具體的軌跡和速度計算是一項浩大而復雜的工程，為了能向具有中學物理基礎的學生介紹這一工作，我們必須將模型簡化.這部分工作分以下幾步進行.

(1)選定研究對象與過程，以圖3中1986年1月24日旅行者2號飛越天王星為素材，適當簡化作為例題以供教學訓練.

(2)提示學生利用網(wǎng)絡資源獲取素材，從百度百科或NASA官網(wǎng)上可以查到(本文引用的是百度百科的數(shù)據(jù))，天王星的質(zhì)量為8.681 0×1025kg(取自百度百科“天王星”條目[6])，而旅行者號飛船的質(zhì)量為721.9 kg(取自百度百科“旅行者號”條目[7]).前者質(zhì)量為后者質(zhì)量的1 023倍.滿足前面第3節(jié)總結的特征(2).

(3)從百度百科“天王星”條目[6]查得天王星的繞日公轉(zhuǎn)速度為24 607 km/h，折合約7 000 m/s.從1992年出版的較為權威的百科全書[8]查得旅行者2號飛離太陽系的平均速度約為14.9 km/s(被加速幾次之后的數(shù)值).作為例題，我們將旅行者2號的入射速率取為10 000 m/s.從圖3我們可以看到，由于天王星的引力偏轉(zhuǎn)作用，旅行者2號越過天王星以后，飛行軌跡與天王星的公轉(zhuǎn)方向的夾角變小了.仍然出于只是作為例題訓練的考量，入射角和出射角我們不取實際值，大約估計之后分別取60°和45°.基于上面的設定之后，組織學生分組討論或獨立求解飛船的出射速度和速度增量，驗證彈弓效應的加速作用.隨后，教師給出如下的分析指引.

圖3 旅行者號飛行軌跡(圖片來源：參考文獻[5])

圖4 入射前后飛行器在兩個參考系中的速度矢量關系

vvs=vvu+vus

(4)

或

(5)

把|vvs|=10 000 m/s、vus=7 000 m/s代入算得

又由△OAC的余弦定理可得

(6)

4.2 減速彈弓與維速彈弓

在中學物理階段，我們按照傳統(tǒng)的方法，習慣性地會將飛船在日心系中的速度稱為絕對速度，將天王星中心在日心系內(nèi)的速度(也就是天王星的公轉(zhuǎn)速度)稱為牽連速度，而將飛船在天心系中的速度稱為相對速度.我們常將式(1)和式(4)概括性地陳述為：

絕對速度=相對速度+牽連速度

利用這個陳述，學生很容易通過圖4搞懂彈弓效應的加速機制，通過認真觀察圖4我們可以總結出如下的規(guī)律：所謂的彈弓效應，就是在相互作用過程的前后，牽連速度不變，相對速度大小也不變，而它們之間的夾角由大變小(兩者的方向更接近了)，從而使得它們的矢量和(也就是絕對速度)的數(shù)值變大了[2].這個規(guī)律概括出來以后，發(fā)散思維立即又可以派上用場了，有沒有可能經(jīng)過彈弓效應之后速率不變或反而減小的情況？當然有可能！

從上面概括的規(guī)律可知，如果飛船的出射方向與行星的公轉(zhuǎn)方向之間的夾角大于入射方向與公轉(zhuǎn)方向之間的夾角(這種情況下，飛行器繞行星飛了大半圈折回出射，見圖4中物理量帶兩撇的情況，其中∠OAD>∠OAB)，那么從日心系看來，飛船的出射速率就會小于入射速率(即|vvs″|<|vvs|)，這時候引力彈弓就成了“減速彈弓”，減速彈弓在航天航空領域也大有可為，當我們發(fā)送一個探測器進入某個行星的引力范圍時，如果不加以減速的話，由于保守力的性質(zhì)，最終飛行器還會逃逸離開，這樣探測器就沒辦法對行星繞行觀測了.這種情況，如果該行星有衛(wèi)星的話，我們就可以設定好探測器飛行方向與該衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)方向的夾角，用該衛(wèi)星對探測器起到減速的彈弓效應，使探測器減速從而被行星的引力捕獲，繼而實現(xiàn)繞星飛行.

至于“維速彈弓”，其實我們早已司空見慣.正如伽利略的杰出著作《關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》中所述：

“……把你和一些朋友關在一條大船甲板下的主艙里，再讓你們帶上幾只蒼蠅、蝴蝶和其他小飛蟲……使船以任何速度前進，只要運動是勻速的，你會發(fā)現(xiàn)……蝴蝶和蒼蠅會在艙內(nèi)隨便地到處飛行，它們也絕不會向船尾集中，并不因為它們可能長時間留在空中，脫離了船的運動，為趕上船的運動顯出累的樣子……”

這里的勻速運動的船艙，就是能使蒼蠅、蝴蝶和其他小飛蟲維持速度而不自知的“維速彈弓”.常見的類似例子還有：在夏秋之交的黃昏時分，當我們漫步在草地上或者湖邊的時候，總有一群類似蚊子的小飛蟲在我們頭頂上盤旋飛舞，這群小飛蟲可以跟著我們的步伐飛行幾公里而沒有疲憊的樣子，原理跟上面的情形也大致相同.

4.3 彈弓效應與氣體的功能關系

我們知道，對于一個封閉氣缸，如果施力推動活塞壓縮氣體，則氣缸內(nèi)的氣體溫度會上升，反之，如果任由氣體對活塞施力而向外膨脹，則氣體溫度會下降.通常我們用功能原理說明這一現(xiàn)象.但是，如果運用“彈弓效應”來解釋這個現(xiàn)象，卻可以得到畫面感極強的解說效果.這需要調(diào)動我們的發(fā)散思維和概括思維.首先是發(fā)散思維，我們前面介紹了“彈弓效應”的常規(guī)尺度和天體尺度的應用，那么，在微觀尺度是不是也有它的用武之地？這是利用發(fā)散思維自然會考慮到的.其次，還需要進一步調(diào)動歸納思維對彈弓效應的加速機制進行抽象概括.

根據(jù)4.2中的歸納我們知道，如果兩質(zhì)量懸殊物體在保守力作用下相對速度(小質(zhì)量物體在大質(zhì)量物體質(zhì)心系內(nèi)的速度)與牽連速度(大質(zhì)量物體在實驗室系內(nèi)的速度)之間的夾角由大變小，那么相互作用結束之后小質(zhì)量物體的絕對速度將變大，反之將變小.這時我們可以考慮兩種碰撞過程：“迎頭碰”和“追尾碰”.在迎頭碰中，兩物體碰撞之前的速度方向相反(夾角為180°)，碰撞以后速度方向相同(夾角為零)，故小質(zhì)量物體的速率將變大(如前面小球的彈弓效應演示實驗).而在追尾碰中，情況卻恰恰相反，所以碰撞之后小質(zhì)量物體的絕對速率會變慢.

誠如前面所說，用“迎頭碰”和“追尾碰”的觀點可以解釋前面提到的做功改變汽缸中氣體溫度的動態(tài)機制.施力壓縮活塞時，活塞與內(nèi)部氣體分子之間發(fā)生的碰撞為“迎頭碰”，這時氣體分子的動能會增加，因而溫度會升高；相反，當活塞被往外抽離時，氣體分子由于擴散作用會追隨活塞往外運動，因而發(fā)生的碰撞為“追尾碰”，這時氣體分子的動能會減少，因而溫度會降低[9].

5 總結與拓展

本教學設計從竹排問題出發(fā)，引出相對速度的概念，應用歸納思維，得出了研究對象在不同參考系中的速度變換公式(實際上就是伽利略變換).在此基礎上應用形象思維可以較為簡易地解釋小球的彈弓效應，隨后以彈弓效應為核心，運用發(fā)散思維對幾個有趣的問題展開了分析討論.我們發(fā)現(xiàn)，簡單的物理原理，只要教師積極調(diào)動學生的各種有效的思維方式，就可以使得課堂的深度、廣度和趣味性得到保證.對于有一定基礎的大學物理學習者，文中提到的幾種思維方法仍有用武之地，可以用上面的原理來解釋沖浪中的加速機制、光和聲波的多普勒效應、磁力彈弓、宇宙射線的加速機制等等[9].而彈弓效應的加速原理，除了用到本文中所提的伽利略變換以外，也可以用洛倫茲變換矩陣作用于四維動量而得到[10]，其法簡潔而優(yōu)美.另外還可以用經(jīng)典力學中的哈密頓量與能量之間的關系得到[11].