于露露，文 鵬，唐勝達(dá)

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006；2.桂林學(xué)院理工學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引言

霧網(wǎng)絡(luò)(Fog Networking，F(xiàn)ogging)或霧計(jì)算(Fog Computing)是由思科(Cisco)在2011年首次提出的[1].霧網(wǎng)絡(luò)或霧計(jì)算能夠?qū)⒂?jì)算需求分層次、分區(qū)域處理，以解決可能出現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)擁塞等現(xiàn)象.相比要把所有數(shù)據(jù)集中運(yùn)輸?shù)酵粋€(gè)中心的云計(jì)算，霧計(jì)算的模式是設(shè)置多個(gè)中心節(jié)點(diǎn)，即運(yùn)用所謂的“霧節(jié)點(diǎn)”來處理數(shù)據(jù)，霧計(jì)算可以將一些并不需要放到云上的數(shù)據(jù)，直接在網(wǎng)絡(luò)邊緣層進(jìn)行處理和存儲(chǔ)，提高數(shù)據(jù)分析處理的效率，降低時(shí)延，減少網(wǎng)絡(luò)傳輸壓力，提升安全性.霧網(wǎng)絡(luò)在人們生活的許多方面都具有重要作用，例如醫(yī)療保健、交通、農(nóng)業(yè)、工業(yè)自動(dòng)化和安全等方面.然而，霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)處理數(shù)據(jù)，需要消耗大量的能源，為了延長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)的壽命，可以考慮能量收集.能量收集(Energy Harvesting，EH)指的是收集環(huán)境中易獲得的能量(如太陽(yáng)能、風(fēng)能、機(jī)械振動(dòng)、溫度變化、磁場(chǎng)等)并將其轉(zhuǎn)化為電能的過程.能量收集使能量來源更豐富，減少對(duì)自然界的碳排放，促進(jìn)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展，同時(shí)能量收集能夠降低成本和提高系統(tǒng)壽命.能量收集在許多方面具有廣泛的應(yīng)用，比如通信方面[2-3]、工業(yè)方面[4-5].

近年來，許多學(xué)者對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能進(jìn)行了研究.TANDO等[6]研究了能量收集通信系統(tǒng)，通過一個(gè)兩階段的虛擬排隊(duì)系統(tǒng)，對(duì)能量到達(dá)過程和等待服務(wù)過程進(jìn)行解耦，得出該虛擬排隊(duì)系統(tǒng)中平均數(shù)據(jù)包延遲，以及由于緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)的溢出而導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失的概率的封閉表達(dá)式.PATIL等[7]研究了能量采集無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳感器節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)傳輸策略，將該系統(tǒng)建模為具有兩個(gè)耦合隊(duì)列的離散時(shí)間排隊(duì)模型，能量獲取過程為伯努利過程，采用策略迭代算法，獲得最優(yōu)的傳輸策略.JIANG等[8]研究了霧網(wǎng)絡(luò)中塑造和監(jiān)管數(shù)據(jù)流量的模型，通過漏桶模型利用Markov控制的流體源，反映了數(shù)據(jù)流量的突發(fā)性特性，推導(dǎo)出數(shù)據(jù)流量的四個(gè)性能指標(biāo).寇名揚(yáng)等[9]研究了能量采集無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，采用兩狀態(tài) Markov調(diào)制的on-off流體模型，描述數(shù)據(jù)和能量到達(dá)的突發(fā)，利用虛擬隊(duì)列刻畫數(shù)據(jù)緩存的占用情況和能量狀態(tài)之間的相關(guān)性，對(duì)虛擬隊(duì)列進(jìn)行排隊(duì)分析，通過譜分析得到丟包率和平均延遲的表達(dá).但是TANDO[6]和PATIL[7]研究的能量到達(dá)過程都是離散的，而能量一般是以電子流的形式收集，離散過程無法刻畫能量收集的實(shí)際情況.JIANG等[8]只對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，沒有考慮能量可收集的情況，但是對(duì)于數(shù)據(jù)的處理，需要大量的能量消耗，傳統(tǒng)的電池已不能滿足大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)據(jù)處理所需求的能量；而且JIANG運(yùn)用的方法都是譜分析，當(dāng)特征值趨于0時(shí)，數(shù)值解會(huì)有很大波動(dòng)，不利于數(shù)值的分析.寇名揚(yáng)等[9]僅考慮了兩狀態(tài)Markov過程控制的流體模型，其求解方式無法推廣到多狀態(tài)求解.

本文主要討論具有能量收集的霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，在霧節(jié)點(diǎn)中推廣了上述對(duì)能量和數(shù)據(jù)的分析，同時(shí)考慮能量收集和數(shù)據(jù)到達(dá)為多種狀態(tài)的情況，基于流體隊(duì)列理論(Stochastic Fluid Queues，SFQ)運(yùn)用矩陣分析方法得出霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)和能量的聯(lián)合分布，以及緩沖區(qū)的溢出和閑置概率.

1 系統(tǒng)建模

本文使用下面的符號(hào)體系，[A]ij表示矩陣A的第(i,j)項(xiàng)元素，Aij表示矩陣A的分塊矩陣.特別地，0、I和1分別表示適當(dāng)維數(shù)的零矩陣(向量)、單位矩陣和單位列向量.

1.1 模型描述

如圖1所示，本文描述具有能量收集的霧網(wǎng)絡(luò)的工作原理：設(shè)備由能量緩沖區(qū)和數(shù)據(jù)緩沖區(qū)構(gòu)成，其處理數(shù)據(jù)的能力受到能量采集速率的影響，數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后被傳輸?shù)浇邮斩?，此處傳輸消耗的能量可以忽略不?jì).為了提高設(shè)備處理數(shù)據(jù)的能力，將能量收集設(shè)備收集的能量盡可能地用于數(shù)據(jù)處理.具體來講，當(dāng)數(shù)據(jù)緩存區(qū)中有數(shù)據(jù)時(shí)，收集到的能量將全部用于數(shù)據(jù)處理；當(dāng)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中沒有數(shù)據(jù)時(shí)，處理數(shù)據(jù)剩余的能量將被保存在能量緩沖區(qū)中，由于數(shù)據(jù)到達(dá)和能量收集的隨機(jī)性，在緩沖區(qū)的大小都有限的情況下，不可避免地會(huì)發(fā)生數(shù)據(jù)丟失或即將收集的能量被丟棄.

圖1 霧節(jié)點(diǎn)工作原理簡(jiǎn)化圖

用隨機(jī)變量X(t)和Y(t)分別表示在t時(shí)刻數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中的數(shù)據(jù)水平和能量緩沖區(qū)中的能量水平.假設(shè)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)和能量緩沖區(qū)的大小分別為BD和BE，則0≤X(t)≤BD和0≤Y(t)≤BE，且滿足：

(i)當(dāng)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空(X(t)=0)時(shí)，能量緩沖區(qū)才有能量緩存(Y(t)>0)，否則到達(dá)的數(shù)據(jù)將立即被儲(chǔ)存在能量緩沖區(qū)中的能量處理.因此有X(t)=0,Y(t)>0.

(ii)類似地，當(dāng)能量緩沖區(qū)為空(Y(t)=0)時(shí)，到達(dá)的數(shù)據(jù)才能被緩存到數(shù)據(jù)緩沖區(qū)(X(t)>0) 中，否則收集的能量將立即被用來處理數(shù)據(jù).即Y(t)=0,X(t)>0.

根據(jù)(i)(ii)顯然有X(t)Y(t)=0.

數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平的變化過程：

(1)

能量緩沖區(qū)中能量水平的變化過程：

(2)

由式(1)和式(2)可知，數(shù)據(jù)緩沖區(qū)內(nèi)緩存的數(shù)據(jù)與能量緩沖區(qū)內(nèi)的能量相關(guān)，不易直接求出X(t)和Y(t)的個(gè)體統(tǒng)計(jì)量，但是可以先找到聯(lián)合概率，然后再得出各自的統(tǒng)計(jì)量.按照ELWALID[10]的方法，通過將X(t)和Y(t)的兩個(gè)緩沖區(qū)組合在一起，即二者的聯(lián)合“虛擬隊(duì)列”，定義V(t)表示虛擬隊(duì)列中的水平容量，S表示狀態(tài)空間，則有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE,

(i)0≤V(t)≤B,B=BD+BE；

(ii)當(dāng)0≤V(t)≤BE時(shí)，有X(t)=0,V(t)=BE-Y(t)；

(iii)當(dāng)BE≤V(t)≤B時(shí)，有Y(t)=0,V(t)=BE+X(t).

因此，可定義虛擬緩沖區(qū)的凈流入速率為

經(jīng)過上述分析，隨后基于SFQ得出虛擬緩沖區(qū)中流體的變化情況，通過得到的V(t)密度函數(shù)，可以分析出數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平和能量緩沖區(qū)中能量水平的變化.

1.2 模型轉(zhuǎn)化

基于上述的分析，將模型轉(zhuǎn)化為SFQ，分析云存儲(chǔ)系統(tǒng)中數(shù)據(jù)和能量的分布特點(diǎn).

將本文模型建模為隨機(jī)過程{V(t),I(t),H(t)}，定義隨機(jī)過程J(t)={I(t),H(t)}，根據(jù)實(shí)際情況，I(t)和H(t)是相互獨(dú)立的CTMC，因而隨機(jī)過程J(t)={I(t),H(t)}也是一個(gè)CTMC，將J(t)作為SFQ的背景過程，其狀態(tài)空間S=SD×SE={1,2,…,mn},其生成元矩陣為T=M⊕N，其中，⊕是Kronecker和.隨機(jī)過程V(t)表示虛擬緩沖區(qū)的水平變化過程，則得到SFM{V(t),J(t)}.

令dJ(t)=λI(t)-rH(t)，不失一般性，假設(shè)λI(t)≠rH(t)，即dJ(t)≠0.則SFM{V(t),J(t)}的凈輸入率矩陣D=Λ⊕-R.由于dJ(t)的不同，狀態(tài)空間S可以分為兩個(gè)不相交的子集：

S=S+∪S-,

(3)

其中，S+={j∈S|dj>0}，S-={j∈S|dj<0}.

根據(jù)(3)，矩陣T和D可以分別寫成分塊形式：

其中，D+=diag{dj>0,j∈S+}，D-=diag{dj<0,j∈S-}.

隨后，本文提出SFQ{V(t),J(t)}的平穩(wěn)分布，進(jìn)而得出一些相關(guān)分析.

1.3平穩(wěn)分布

在SFQ模型中，當(dāng)0

μ=ξ+D+1-ξ-D-1.

(4)

其中，ξ+D+1表示長(zhǎng)期情況下虛擬系統(tǒng)中流體流入的速率，ξ-D-1表示長(zhǎng)期情況下虛擬系統(tǒng)中的流體流出的速率.μ的物理意義代表了長(zhǎng)期的緩沖區(qū)中凈流入率.因此，當(dāng)μ<0時(shí)，V(t)有向下的趨勢(shì)，即能量緩沖區(qū)為滿；當(dāng)μ>0時(shí)，V(t)有向上的趨勢(shì)，即數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為滿的趨勢(shì)，這種情況下，可能導(dǎo)致大量的數(shù)據(jù)溢出(丟失)，所以假設(shè)μ<0，在SFM中存在平穩(wěn)密度[11].

下面對(duì)緩沖區(qū)的邊界進(jìn)行分析：

(i)對(duì)于任意j∈S+，即數(shù)據(jù)到達(dá)速率大于能量收集速率，則數(shù)據(jù)緩沖區(qū)趨于滿(X(t)→BD)，能量緩沖區(qū)容量趨于空(Y(t)→0)，因此，

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→BD+BE=B.

(5)

對(duì)于這些狀態(tài)集，虛擬隊(duì)列為空的概率一定是0，則有

Πj(0)=P[V(t)≤0,J(t)=j]=0，j∈S+.

(ii)對(duì)于任意j∈S-，即能量收集速率大于數(shù)據(jù)到達(dá)速率，則能量緩沖區(qū)趨于滿(Y(t)→BE)，數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中趨于空(X(t)→0)，故有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→0.

(6)

對(duì)于這些狀態(tài)集，虛擬隊(duì)列為滿的概率一定是0，則有

Πj(B)=P[V(t)=B,J(t)=j]=0，j∈S-.

經(jīng)過上述分析，可以得出SFQ{V(t),J(t)}的平穩(wěn)分布和邊界概率，進(jìn)而得出能量緩沖區(qū)能量水平和數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平.

2 系統(tǒng)分析

2.1 背景知識(shí)

定義1 首達(dá)時(shí)(FPT)：

θ=inf{t>0:V(t)=0},ι=inf{t>0:V(t)=B},

其中，θ表示首次到達(dá)水平0的時(shí)刻；ι表示首次到達(dá)水平B的時(shí)刻.

根據(jù)上述首達(dá)時(shí)定義，類似地定義下面首達(dá)概率矩陣[12]：

對(duì)于i∈S+,j∈S+,k∈S-，有

[Ψ]ik=P[θ<∞,J(θ)=k|V(0)=0,J(0)=i]，

同理，對(duì)于i∈S-,k∈S-,j∈S+，有

并且，有矩陣Ψ滿足下面的Riccati方程：

ΨQ-+Ψ+Q++Ψ+ΨQ--+Q+-=0,

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]關(guān)于求解Ψ的算法可以求得Ψ.

(8)

(9)

2.2 主要結(jié)論

(10)

(11)

證明過程類似于文獻(xiàn)[11].

(12)

證明過程類似于文獻(xiàn)[11].

定理3 對(duì)于本文提出的SFQ{V(t),J(t)}，其邊界概率和平穩(wěn)密度函數(shù)為

證明 為了確定α，則有下面事實(shí)成立：

3 數(shù)值解釋

下面運(yùn)用數(shù)值計(jì)算數(shù)據(jù)和能量的聯(lián)合分布，根據(jù)研究結(jié)果來說明緩沖區(qū)大小對(duì)于霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)性能指標(biāo)的影響.

3.1 數(shù)據(jù)設(shè)置

3.2 數(shù)值分析

根據(jù)本文的理論推導(dǎo)得出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，如圖2至圖5所示.

圖2 緩沖區(qū)的平穩(wěn)密度函數(shù)

圖3 緩沖區(qū)的平穩(wěn)分布函數(shù)

圖4 緩沖區(qū)大小與溢出概率的變化趨勢(shì)

圖5 緩沖區(qū)大小與閑置概率的變化趨勢(shì)

圖2和圖3顯示了在聯(lián)合緩沖區(qū)B的大小分別為10、40、60、100時(shí)對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)密度函數(shù)以及分布函數(shù).圖2的橫坐標(biāo)是以聯(lián)合緩沖區(qū)的大小為單位縮小繪制的，可以看出，當(dāng)B=10時(shí)，處于兩端的水平概率密度占比較大，這是由于漂移μ=-0.172 9<0，漂移影響著緩沖區(qū)容量水平變化的整體趨勢(shì).由于μ<0，流體水平整體趨勢(shì)是遞減的，這導(dǎo)致更易觸碰到邊界水平0，有流體的反饋，水平會(huì)上升，但此時(shí)緩沖區(qū)較小，也易接觸上邊界，所以處于兩端的水平概率密度占比較大.隨B的增大，觸碰上邊界B的可能性越來越小，因此處于上邊界的概率密度逐漸減少，其平穩(wěn)密度在區(qū)間(0,B)上的分布幾近于一致，當(dāng)緩沖區(qū)的大小增加時(shí)，處于水平0和水平B的概率質(zhì)量減小.這是由于如果B是無限的，那么隊(duì)列將接近于瞬態(tài)的；在B有限的情況下，平穩(wěn)分布傾向于均勻地分布在整個(gè)狀態(tài)空間上.

圖4和圖5分別顯示了在不同狀態(tài)下緩沖區(qū)大小分別與溢出概率和閑置概率的變化趨勢(shì)圖.根據(jù)式(5)可知，有4個(gè)狀態(tài)下可能發(fā)生溢出，即聯(lián)合緩沖區(qū)為滿，也意味著數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為滿，即會(huì)發(fā)生數(shù)據(jù)溢出(數(shù)據(jù)丟失)，如圖4顯示緩沖區(qū)大小對(duì)于數(shù)據(jù)丟失概率的影響.從圖像可以看出，隨緩沖區(qū)增大，其溢出概率越來越小，這意味著其數(shù)據(jù)丟失的概率越來越小，這是因?yàn)殡S緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)內(nèi)流體的含量幾乎達(dá)不到上界B，達(dá)不到上界B也就不會(huì)發(fā)生數(shù)據(jù)丟失.

根據(jù)式(6)可知，有5個(gè)狀態(tài)下可能發(fā)生閑置，即聯(lián)合緩沖為閑置，意味著能量緩沖區(qū)為滿，即數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空的概率(數(shù)據(jù)到達(dá)直接被能量緩沖區(qū)內(nèi)緩沖的能量所服務(wù))，虛擬緩沖區(qū)為空，也意味著數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空，如圖5展示了在不同狀態(tài)下數(shù)據(jù)緩沖區(qū)閑置的概率，隨著緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)閑置的概率越來越小，最終閑置概率都會(huì)趨于一個(gè)常數(shù).這是因?yàn)樵诰彌_區(qū)中流體量整體趨勢(shì)下降的情況下，隨著緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)中流體的量幾乎達(dá)不到上界B就已返回邊界水平0，上界對(duì)流體水平變化的影響越來越小.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的能量和數(shù)據(jù)同時(shí)進(jìn)行分析，并將能量收集過程和數(shù)據(jù)到達(dá)過程建模為隨機(jī)過程，狀態(tài)空間是多個(gè)狀態(tài)的隨機(jī)過程，根據(jù)矩陣分析方法計(jì)算出緩沖區(qū)水平變化的平穩(wěn)分布以及霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)緩沖區(qū)的溢出概率和閑置概率，分析霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中緩沖區(qū)大小對(duì)于數(shù)據(jù)的影響.在未來的工作中，可將本文提出的模型運(yùn)用于更多通信模型，并應(yīng)用在生產(chǎn)實(shí)踐中；同時(shí)還可以強(qiáng)化系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如加入可支持電網(wǎng)，提供附加的數(shù)據(jù)處理能力，考慮數(shù)據(jù)服務(wù)的重要性等.