田學(xué)剛，王少英

無窮大的和與差等價(jià)代換定理及應(yīng)用

田學(xué)剛，王少英

（濱州學(xué)院 理學(xué)院，山東 濱州 256603）

研究自變量趨于有限值情形下無窮大的和與差等價(jià)代換問題．利用泰勒公式刻畫出任意２個(gè)無窮大的和與差，當(dāng)２個(gè)無窮大等價(jià)時(shí)，給出它們差的等價(jià)代換定理；當(dāng)２個(gè)無窮大負(fù)等價(jià)時(shí)，給出它們和的等價(jià)代換定理．結(jié)合具體實(shí)例探討等價(jià)代換定理在解決含無窮大和差的復(fù)雜未定式極限中的應(yīng)用．

無窮大；等價(jià)；泰勒公式

極限是高等數(shù)學(xué)的主要工具，熟練掌握求極限的方法對(duì)理工科學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)非常重要，同時(shí)極限的計(jì)算也是碩士研究生考試的重點(diǎn)內(nèi)容[1]．關(guān)于無窮大的比較及等價(jià)代換引起了國內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[2-4]給出無窮大比較的定義，提出了無窮大階的概念，在２個(gè)無窮大非負(fù)等價(jià)（非等價(jià)）時(shí)利用極限運(yùn)算法則研究了２個(gè)無窮大和（差）的等價(jià)代換，并推廣到有限個(gè)無窮大的情況．孫衛(wèi)衛(wèi)[5]等在研究無窮大和差代換的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了冪指函數(shù)中的等價(jià)無窮大代換問題，給出了其在冪指函數(shù)的實(shí)例應(yīng)用．李紅菊[6]等利用極限運(yùn)算法則研究了一類分子是無窮大差的分式未定式，得到了無窮大的差能代換的充分條件．李海霞[7]等討論了幾個(gè)常見無窮大階的比較，重點(diǎn)給出了在極限計(jì)算、判定方程有根等方面的應(yīng)用．張燕[8]等通過舉例說明了２個(gè)相互等價(jià)的無窮大的差不一定是無窮大．王禧宏[9]和孟獻(xiàn)青[10]討論了利用無窮大和無窮小的關(guān)系求極限的方法．這些成果豐富了無窮大代換定理，為更好地求極限奠定了基礎(chǔ)．目前，尚未解決的問題是２個(gè)相互等價(jià)的無窮大的差是否還是無窮大，２個(gè)相互等價(jià)的無窮大的差如何替換，以前的主要研究方法是極限運(yùn)算法則和初等變形，本文利用無窮大和無窮小的關(guān)系、泰勒公式等技巧研究２個(gè)無窮大和與差的代換問題，給出尋找等價(jià)無窮大的方法和應(yīng)用實(shí)例．

1　主要結(jié)果及證明

定理２的證明方法與定理1類似．

同理可以證明結(jié)論（2）． 證畢．

2　實(shí)例應(yīng)用

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M]．7版 北京：高等教育出版社，2014：52-55．

[2] 王梅英，陸偉東．無窮小與無窮大的階在極限運(yùn)算及判級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用[J]．南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，4（2）：73-76．

[3] 劉桂仙，劉慶升．求極限的等價(jià)無窮大代換[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：51-52．

[4] 張傳芳．再談關(guān)于無窮大量的等價(jià)性問題[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（5）：5-6，9．

[5] 孫衛(wèi)衛(wèi)，孫建英．等價(jià)無窮大在未定式計(jì)算中的應(yīng)用[J]．哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)版學(xué)報(bào)，2014，30（3）：69-72．

[6] 李紅菊，丁?。P(guān)于等價(jià)無窮大量代換求極限的補(bǔ)充[J]．長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25（10）：46-50．

[7] 李海霞，聶東明．無窮大的比較及應(yīng)用[J]．山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，33（10）：131-132．

[8] 張燕，程翔宇．無窮大相減極限問題求解[J]．安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，18（1）：68-70．

[9] 王禧宏．?dāng)?shù)列及函數(shù)極限不存在、無界及有關(guān)無窮大問題的討論[J]．高等數(shù)學(xué)研究，1998（3）：25-26．

[10] 孟獻(xiàn)青．幾類常見函數(shù)的極限計(jì)算方法[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，36（6）：33-36．

Equivalent substitution theorem of sum and difference of infinity and its application

TIAN Xuegang，WANG Shaoying

（School of Science，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

The equivalent substitution of the sum and difference of infinity was studied when the independent variable tends to finite value．The sum and difference of any two infinities are firstly characterized by Taylor formula，and then the equivalent substitution theorem of their difference is given when two infinities are equivalent，and meanwhile the equivalent substitution theorem of their sum is provided when two infinities are negatively equivalent．Finally，some specific examples are given to show the application of equivalent substitution theorem in the calculation of complex indefinite form limit with infinite sum and difference．

infinity；equivalence；Taylor formula

1007-9831（2022）11-0026-06

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.005

2022-04-13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61703050）——網(wǎng)絡(luò)化隨機(jī)系統(tǒng)的事件觸發(fā)濾波與故障檢測(cè)；濱州學(xué)院重點(diǎn)教改項(xiàng)目（BYJYZD201808）——新工科下基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的高等數(shù)學(xué)模塊化分層教學(xué)研究與實(shí)踐；濱州學(xué)院教改項(xiàng)目（BYJYYB201733）——基于專業(yè)服務(wù)的應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程改革研究與實(shí)踐

田學(xué)剛（1980-），男，山東鄒平人，講師，碩士，從事泛函分析和控制理論研究．E-mail：xuegangtian@163.com