劉 杰, 胡太忠, 嚴(yán)繼高

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院統(tǒng)計(jì)與金融系, 合肥 230026； 2.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006)

1 引 言

創(chuàng)新思維能力是知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代下個(gè)體面對競爭挑戰(zhàn)的必備核心能力, 大學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)是實(shí)施科教興國和建設(shè)創(chuàng)新型國家的必然要求.創(chuàng)新思維能力要求大學(xué)生敢于突破常規(guī)思維界限來思考問題, 以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法提出新觀點(diǎn)或新方法, 產(chǎn)生新穎獨(dú)到和有社會意義的思維成果.創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)不僅有利于大學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果和豐富知識體系, 還可為工作就業(yè)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ), 增強(qiáng)大學(xué)生社會競爭力和拓寬職業(yè)發(fā)展通道[1].我國《高等教育法》明確規(guī)定：高等教育的任務(wù)是培養(yǎng)具有“創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”的高級專門人才；麻省理工學(xué)院阿諾教授發(fā)現(xiàn)：曾經(jīng)接受過獨(dú)創(chuàng)性訓(xùn)練的人要比未接受訓(xùn)練的人有更多推展富有價(jià)值的革新的機(jī)會[2].探索如何培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新思維具有重要意義, 文獻(xiàn)[2]提出大學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的路徑包括：思維訓(xùn)練提升大腦活躍度、掌握創(chuàng)新技法拓寬思維、尋找刺激線索切入、思維模型及謀略智慧的應(yīng)用創(chuàng)新等.文獻(xiàn)[3]基于新時(shí)代大學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)存在的主要問題, 提出課堂教學(xué)革新中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、直覺思維和形象思維、逆向思維、類比思維和靈感思維等.文獻(xiàn)[1]和[4]提出具體可采用頭腦風(fēng)暴法、組合技法、列舉法、設(shè)問法等.

在數(shù)理類課程的教學(xué)過程中,文獻(xiàn)[5]提出溫故知新、類比遷移法、總結(jié)思考和一題多解等均有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.文獻(xiàn)[6]以條件極值為例, 提出應(yīng)當(dāng)基于啟發(fā)誘導(dǎo)、問題探究結(jié)合的研究式方式重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)來培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維意識.本文重點(diǎn)關(guān)注一題多解的教學(xué)方法, 強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相關(guān)知識方法, 采用多種思路完成同一問題的求解.該方法通過鞏固學(xué)生核心知識和拓展技能, 形成知識點(diǎn)之間乃至不同課程內(nèi)容之間的交叉融合, 進(jìn)而有助于學(xué)生開闊思維廣度、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣, 達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力的目標(biāo)[7].

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程關(guān)注隨機(jī)現(xiàn)象, 因此相較于其他數(shù)理類課程更加抽象.概率反映隨機(jī)試驗(yàn)中事件發(fā)生的可能性大小, 學(xué)習(xí)概率對人們認(rèn)識自然與社會中隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)揮重要作用, 高校自主招生選拔非常重視對幾何概型等概率知識能力的考察.幾何概率作為古典概型的拓展, 能夠有效刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為不可數(shù)情形下的隨機(jī)事件概率, 為此所采用的差異測度等特征, 對學(xué)生的概率理解和計(jì)算容易帶來誤解和挑戰(zhàn), 例如經(jīng)典的貝特朗奇論問題.幾何概型的概率計(jì)算方法比較靈活, 通?？梢赞D(zhuǎn)化為幾何方法進(jìn)行計(jì)算, 也可借助連續(xù)隨機(jī)變量及其分布密度來計(jì)算, 還可嘗試?yán)秒x散的古典概型來逼近連續(xù)的幾何概型.如何充分利用這種靈活性解題, 在教學(xué)過程中進(jìn)行啟發(fā)思考和對比分析, 達(dá)到提高學(xué)生創(chuàng)新意識與能力的目標(biāo), 是值得我們思考的問題.本文將以一道代表性幾何概型題目的一題多解為切入, 從多種角度啟發(fā)學(xué)思考思考, 激發(fā)和培養(yǎng)其創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力.此外, 通過問卷調(diào)查分析實(shí)際教學(xué)中學(xué)生課后反饋情況, 進(jìn)一步驗(yàn)證了一題多解對幾何概型教學(xué)效果提升和學(xué)生創(chuàng)新意識培養(yǎng)的顯著作用.

2 一道典型幾何概型題目的多角度分析

(某高校2022年度自主招生類選拔考試)在一個(gè)圓周上獨(dú)立隨機(jī)地選取n個(gè)點(diǎn), 求所選出的n個(gè)點(diǎn)恰好落在一個(gè)半圓周上的概率.

圖1 幾何概型例題示意圖

多角度思考與分析由題設(shè)可知此題屬幾何概型的概率求解, 不失一般性可以假設(shè)n個(gè)點(diǎn)互不相同.為計(jì)算所有點(diǎn)都能落在一個(gè)半圓周上的概率, 需要找出能夠覆蓋所有點(diǎn)最短圓弧, 確定此時(shí)圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn), 才能找出對應(yīng)幾何概型的概率條件, 實(shí)現(xiàn)概率求解計(jì)算.可以考慮從多個(gè)角度入手,(i)分別計(jì)算每個(gè)點(diǎn)作為圓弧起點(diǎn)時(shí)的概率, 再求n個(gè)事件并的概率；(ii)在圓周上選定一個(gè)參照點(diǎn), 將圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)位置表示成兩個(gè)隨機(jī)變量, 則問題可轉(zhuǎn)化為求變量極差小于半圓弧長的概率；(iii)隨機(jī)選取點(diǎn)的個(gè)數(shù)n具有一般性, 可嘗試發(fā)掘n取不同值時(shí)的遞歸或迭代關(guān)系,然后由遞歸式求解概率；(iv)將圓周進(jìn)行任意2k>n等分,n個(gè)點(diǎn)選自不同的等分小圓弧上,求所有點(diǎn)都落入同一半圓內(nèi)的概率.為便于計(jì)算和表示, 記隨機(jī)選取的n個(gè)點(diǎn)分別為B1,B2,…,Bn，用Pn表示B1,B2,…,Bn落在一個(gè)半圓周里面的概率.

角度之二：密度積分法為不失一般性,此處假設(shè)圓的半徑為1.在圓周上任意固定一個(gè)點(diǎn)B0，記B′0為圓周上B0的對徑點(diǎn).按順時(shí)針方向記B0與Bk圍成的圓弧長為Xk，則X1,...,Xn獨(dú)立同分布于均勻分布U(0,2π);類似地,按順時(shí)針方向記B′0與Bk圍成的圓弧長為Yk，則Y1,...,Yn獨(dú)立同分布于均勻分布U(0,2π).設(shè)Pn表示B1,B2,...,Bn落在一個(gè)半圓周里面的概率,則“B1,B2,...,Bn落在一個(gè)半圓周里”的事件可以分解為以下兩種情況:

(i)X(n)-X(1)≤π.在此情況下有三種子情形可以發(fā)生:所有點(diǎn)落在B0B′0弧上(按順時(shí)針方向);所有點(diǎn)落在B′0B0弧上;部分點(diǎn)落在B0B′0弧上,部分點(diǎn)落在B′0B0上.此情形下事件對應(yīng)的概率為

(ii)Y(n)-Y(1)≤π，且去掉Y(n)≤π和Y(1)>π兩種子情形.同上可求得此情況下事件對應(yīng)的概率為

故Pn=P1n+P2n=n/2n-1.

圖2 解法3示意圖

接下來討論第n個(gè)點(diǎn)的投放位置, 嘗試建立Pn與前n-1個(gè)點(diǎn)落于半圓周內(nèi)概率Pn-1的迭代關(guān)系.記C′,D′分別為C,D兩點(diǎn)的對徑點(diǎn)(即將C,D兩點(diǎn)分別與圓心連接并延長交圓周), 如果要保證新投放的第n個(gè)點(diǎn)與前面的(n-1)個(gè)點(diǎn)都落在半圓周之內(nèi), 則當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)落在劣弧C′,D′以外,注意到C′,D′形成的劣弧張角為Θn-1，故

Pn=Pn-1×P(B1,…,Bn在半圓周內(nèi)|B1,…,Bn-1在半圓周內(nèi))

=Pn-1×P(Bn落在對應(yīng)劣弧C'D'|B1,…,Bn-1在半圓周內(nèi))

利用初始條件P2=1(即：圓周上隨機(jī)任選2個(gè)點(diǎn)一定在某半圓內(nèi)), 可得Pn=n/2n-1.

角度之四：離散逼近法首先考慮將幾何概型進(jìn)行離散化, 對于n≥3情形,將圓周進(jìn)行2k等分,其中k>n；將分出的2k個(gè)區(qū)域依次編號為1,…,2k，2k個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)2k個(gè)空位, 并在2k個(gè)空位中隨機(jī)獨(dú)立地放置n個(gè)點(diǎn), 故共有(2k)n種放法,即樣本空間大小|Ω|=(2k)n.嘗試借助古典概型計(jì)算n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在k個(gè)相鄰空位的概率, 然后令k趨于無窮,逼近題設(shè)中的幾何概型的概率.

圖3 解法4示意圖

“n個(gè)點(diǎn)落在相鄰的k個(gè)空位”等價(jià)于“間距最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)(按照順時(shí)針方向不妨設(shè)為B1和B2)所落的位置編號間隔小于k”, 為求出所有的放置方法的種數(shù), 接下來分情況進(jìn)行討論.

(i)假設(shè)B1和B2所在區(qū)域編號相差為0(即為同一區(qū)域), 則B1有2kn種可能取法(從n個(gè)點(diǎn)中選有n種可能,從2k個(gè)區(qū)域選擇一個(gè)有2k種選取方法)；B2從余下的n-1個(gè)點(diǎn)中選取放在同一區(qū)域, 有n-1種可能, 余下的n-2個(gè)點(diǎn)放置位置唯一.故在此種情況下, 總放置方法為2kn(n-1)種.

(ii)假設(shè)B1和B2所在區(qū)域編號相差為1(即相鄰), 則B1的放置方法有2kn種；B2的放置方法有n-1種, 放置的區(qū)域是唯一的；余下的n-2個(gè)點(diǎn)放置方法有2n-2種.故在此種情況下, 總的放置方法為2kn(n-1)2n-2種.

(iii)依此類推, 假設(shè)B1和B2所在區(qū)域編號相差為j，其中2

綜合以上所有k+1類情況的結(jié)果,n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在k個(gè)相鄰區(qū)域的放置方法種數(shù)為

|Ωk|=2kn(n-1)(1+2n-2+…+kn-2).

因此根據(jù)古典概型,n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在k個(gè)相鄰區(qū)域的概率為

易見k→∞時(shí),n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在k個(gè)相鄰區(qū)域的概率逼近n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在一個(gè)半圓周上的概率, 即

所以, 題目所求n個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在一個(gè)半圓周上的概率為n/2n-1.

該幾何概型概率題的四種方法思路各異, 通過不同的角度進(jìn)行思考與分析, 可以將問題轉(zhuǎn)化成多種典型方法來求解.方法一基于加法定理, 以n個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為基準(zhǔn), 圍繞關(guān)鍵點(diǎn)“其余點(diǎn)均在該點(diǎn)的順時(shí)針方向的半圓周上”, 進(jìn)行事件分解并互斥性算得最終結(jié)果.方法二是利用密度函數(shù)計(jì)算概率, 在圓周上任意一點(diǎn)為基準(zhǔn), 根據(jù)其余點(diǎn)與該點(diǎn)的距離構(gòu)造隨機(jī)變量, 將問題轉(zhuǎn)換為極差變量小于半圓周的長度.這兩種解法不僅可得到半圓周時(shí)的結(jié)論, 還可拓展至求解“n個(gè)點(diǎn)落在任一張角為θ0的圓周上”的概率問題, 該概率值為n(θ0/2π)n-1，其中θ0∈(0,π](感興趣的讀者可以嘗試計(jì)算).方法三為構(gòu)造遞歸關(guān)系式, 先假設(shè)前n-1個(gè)點(diǎn)B1,…,Bn-1已落在一個(gè)半圓周, 再考慮新投放第n個(gè)點(diǎn)來建立Pn與Pn-1的迭代式.方法四更體現(xiàn)靈活性和創(chuàng)造性, 將圓周離散等分網(wǎng)格化處理, 利用古典概型和大數(shù)律求得結(jié)果.綜上, 該幾何概型問題的多種解法可有效幫助學(xué)生將概率論中的多個(gè)知識點(diǎn)(如隨機(jī)變量、次序統(tǒng)計(jì)量、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、期望等)建立聯(lián)系, 加深學(xué)生對概率知識框架體系的理解, 啟發(fā)創(chuàng)新意識.

3 教學(xué)效果分析

經(jīng)過多學(xué)期平行課堂的教學(xué)實(shí)踐, 概率論與梳理統(tǒng)計(jì)的一題多解教學(xué)方法對激發(fā)培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新意識與能力非常有效.對相關(guān)問題進(jìn)行問卷調(diào)查和統(tǒng)計(jì)分析, 問卷涉及了5個(gè)問題, 分別調(diào)查學(xué)生對幾何概型知識點(diǎn)的理解掌握、多知識點(diǎn)的聯(lián)系建立、啟發(fā)多角度思考、創(chuàng)新思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)效果提升的看法.采集到有效問卷115份, 數(shù)據(jù)分析結(jié)果如圖4所示.

圖4 問卷調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖

問卷調(diào)查結(jié)果顯示, 超過80%的學(xué)生認(rèn)為一題多解對以上教學(xué)效果指標(biāo)的提升程度比較顯著, 其中約40%學(xué)生認(rèn)為非常顯著, 數(shù)據(jù)充分證實(shí)“一題多解”在幾何概型教學(xué)中的重要作用; 進(jìn)一步分析各指標(biāo)間的相關(guān)性, 發(fā)現(xiàn)相關(guān)性系數(shù)大致為0.8, 說明通過一題多解能夠有效建立多角度思路、多知識點(diǎn)聯(lián)系、創(chuàng)新思維形成等方面的相互促進(jìn)機(jī)制.

4 結(jié) 論

本文通過某自主招生測試概率題的一題多解，結(jié)合多種知識點(diǎn)從不同角度進(jìn)行思考與分析，意在激發(fā)與培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新意識與能力.教學(xué)實(shí)踐與問卷調(diào)研分析表明：一題多解一方面推動了課堂教學(xué)的多元化和靈活性、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣, 顯著加強(qiáng)了學(xué)生靈活掌握多個(gè)知識點(diǎn)的縱橫聯(lián)系、提高了核心知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)效果、鍛煉了學(xué)生分析解決問題的思維靈活性; 另一重要方面是激發(fā)和培養(yǎng)創(chuàng)新意識與能力, 這對數(shù)理類課程激發(fā)與培養(yǎng)創(chuàng)新意識與能力有一定的借鑒作用.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.