肖 瑤，段騰飛

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

近年來，由于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模式識別分類、信號處理、工程優(yōu)化和聯(lián)想記憶等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，使得其穩(wěn)定性等動態(tài)行為被廣泛研究[1-3].在復(fù)雜系統(tǒng)的理論和應(yīng)用中會出現(xiàn)復(fù)值信號的情況，而實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能很好地解決此類問題，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CVNNs)[4，5]便應(yīng)運而生.實際上，CVNN在某種意義上可以看作是對實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RVNN)的擴展，其將RVNN中的狀態(tài)變量、激活函數(shù)和突觸強度矩陣變成了復(fù)值.因此，這種網(wǎng)絡(luò)在許多方面比RVNN具有更復(fù)雜的特征，相應(yīng)的.它能夠解決許多實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法解決的問題[6,7].例如，當一些現(xiàn)實中的應(yīng)用包含復(fù)雜信號時，復(fù)值模型可對復(fù)雜信號的相位和振幅信息同時進行編碼，以減少和簡化信息處理的復(fù)雜性.因此，研究CVNN的動態(tài)行為，特別是穩(wěn)定性和同步性是非常重要的.目前，對復(fù)值遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)取得了一些成果.文獻[8]建立了廣義離散復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，導(dǎo)出了新的檢驗平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的判別條件，在實際應(yīng)用中獲得了更一般的收斂性結(jié)果.文獻[9]使用M-矩陣和線性矩陣不等式的方法，研究了具有時滯的連續(xù)復(fù)值遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到了2種不同復(fù)值激活函數(shù)下全局指數(shù)穩(wěn)定的判據(jù).文獻[10]通過平均脈沖增益和平均脈沖區(qū)間的概念，設(shè)計了一個合適的混合脈沖控制器來確保實現(xiàn)驅(qū)動-響應(yīng)復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之間的指數(shù)同步.

一般來說，由于放大器的開關(guān)速度有限，而且在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NNs) 的硬件實現(xiàn)中，信號的傳輸速度有限，所以時間延遲在NNs 中是不可忽略的.由于時間延遲的存在，在NNs 中可能會出現(xiàn)一些動態(tài)行為，其中包括周期性振蕩、不穩(wěn)定、分叉等[11].基于上述原因，研究延遲NNs 的動力學(xué)特性[12-14]具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.

中立型動力系統(tǒng)是一種演化系統(tǒng)，常被用來描述當前狀態(tài)的變化率取決于過去狀態(tài)的變化率.中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NDNN)是一類涉及過去狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的中立型動力系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)，受控約束操縱器，無損傳輸線，生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域經(jīng)常使用.與其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相比，中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更復(fù)雜的動態(tài)特性.因此引起了許多學(xué)者的關(guān)注，特別是對NDNN 的穩(wěn)定性和同步性的研究.文獻[15]通過構(gòu)造一個新Lyapunov-Krasovskii 泛函，研究了帶有多個時變離散中立型時滯的中立型 Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[16]給出了帶有各種混合時變時滯的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定性的一些簡單新穎的充分條件.文獻[17]通過Lyapunov 穩(wěn)定性理論,利用了LMI分析技巧和矩陣理論，研究了具有隨機擾動和Markov 切換的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步，得出了具有時變時滯和隨機擾動的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步的判據(jù).在各類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中，從數(shù)學(xué)的角度來看，最重要的問題是如何證明解的唯一平衡點的穩(wěn)定性.因此，如何獲得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性條件已成為許多研究者關(guān)注的焦點.此外，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析中，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供一個理想的收斂速度也是必不可少的.因此，研究人員的主要目標是獲得平衡解的指數(shù)穩(wěn)定性條件[18,19].在研究穩(wěn)定性問題時,Lyapunov 穩(wěn)定性理論一直受到人們的關(guān)注[20].然而,Lyapunov 方法存在一些局限性.例如，它不能反映系統(tǒng)的瞬時性，可能對實際系統(tǒng)產(chǎn)生不好的影響，甚至不能使用.此外，分析時變系統(tǒng)的非對稱穩(wěn)定性通常具有挑戰(zhàn)性，因為要找到具有負定導(dǎo)的李亞普諾夫函數(shù)是非常困難的.在現(xiàn)有的大多數(shù)文獻中，NDNN 的穩(wěn)定性研究基本上是構(gòu)造Lyapunov 泛函并由線性矩陣不等式給出的，這在應(yīng)用上就會比較復(fù)雜.

在大多數(shù)論文中，激活函數(shù)均是單變量的，但是復(fù)值的情況可能更加復(fù)雜，需要考慮雙變量的情況.受上述討論啟發(fā)，本文的主要目的是研究具有雙變量激活函數(shù)的復(fù)值時滯NDNNs 的全局指數(shù)穩(wěn)定性，采用了微分代數(shù)不等式方法，給出了更加簡潔的定理結(jié)論.

本文主要創(chuàng)新點如下:

1) 本文建立了具有雙變量激活函數(shù)的復(fù)值時滯中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型;

2) 本文提出了微分代數(shù)不等式方法，不再需要構(gòu)造Lyapunov 泛函，結(jié)果更加簡便有效;

3) 本文利用全局指數(shù)自同步概念來證明全局指數(shù)穩(wěn)定性，同時本文的方法也可以用來研究多種模型的同步性問題.

1 模型與預(yù)備知識

考慮如下中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

(1)

其中，z(t)=[z1(t),z2(t), …,zn(t)]T∈n為復(fù)向量值的神經(jīng)元狀態(tài)，C=diag{c1,c2,…,cn}，ci>0 (i=1,2,…,n)，D=[dij]n×n∈n×n表示實值的時滯連接權(quán)矩陣，A=[aij]n×n∈n×n和B=[bij]n×n∈n×n分別表示不帶有和帶有時滯的反饋連接權(quán)重矩陣，F(xiàn)(z(t))=[F1(z1(t)),F2(z2(t)), …,Fn(zn(t))]T∈n和G(z(t-τ))=[G1(z1(t-τ)),G2(z2(t-τ))， …,Gn(zn(t-τ))]T∈n分別表示無時滯和有時滯的復(fù)向量值激活函數(shù)，τ>0 表示恒定時間延遲，J=[J1,J2,…,Jn]T∈n表示恒定偏置性向量值輸入.

假設(shè)1設(shè)z=α+iβ，其中α,β∈，同時Fi(zi) 以及也可以用它的實部和虛部來表示為：

(2)

(3)

系統(tǒng)(3)的初始條件由下式給出:

x(s)=x0(s),s∈[t0-τ,t0],

想要運用微分代數(shù)不等式方法，還需要對系統(tǒng)再做近一步變換,如下所示:

(4)

定義1若存在M≥1 以及λ>0 使得：

則系統(tǒng)(4)的平衡點 (y*T,x*T)T是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注1在這里，系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(1)是等價的,兩個系統(tǒng)的平衡點的性質(zhì)也是完全一致的.

定義2如果存在兩個常數(shù)M≥1 以及λ>0，使得：

引理1如果Q=[qij]n×n的所有非對角線元素都是非正的，則以下條件彼此等價:

1)Q是一個非奇異M-矩陣(NSMM);

4)Q的逆矩陣Q-1>0 正定.

引理2如果一個矩陣的所有元素都是非負的，我們稱該矩陣為非負矩陣.設(shè)Q∈n×n為非負矩陣，則In-Q是NSMM當且僅當λmax(Q)<1.

引理3設(shè)φ,ψ:[t0-τ,+∞)→[0,+∞).φ(t) 以及ψ(t)分別是連續(xù)可微函數(shù)和連續(xù)函數(shù)，滿足下述條件:

(5)

對于t≥t0，其中a1是任意常數(shù)，a2,b1,b2,c1和c2都是正實數(shù).如果λmax(Λ)<1， 那么當t→+∞時，φ(t)→0和ψ(t)→0成立,其中

(6)

那么

(7)

引理4[21]在下述系統(tǒng)中，系統(tǒng)平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性等價于其全局指數(shù)自同步:

(8)

通過引理4易得以下引理:

引理5系統(tǒng)(4)的全局指數(shù)穩(wěn)定性等價于其全局指數(shù)自同步.

2 主要結(jié)果

令

定理1當假設(shè)1成立，令

證明根據(jù)引理5，我們只需證明系統(tǒng)(4)是全局指數(shù)自同步的.

(9)

(10)

通過(8)和(9),可以得到：

(11)

同理可得:

(12)

令φ(t)=max1≤i≤2n|Yi(t)|和ψ(t)=max1≤k≤2n|Xk(t)|.對于任意固定的t>t0，有i∈{1,2,…,2n} 和k∈{1,2,…,2n}，使得φ(t)=|Yi(t)| 以及ψ(t)=|Xk(t)|.

所以有：

(13)

以及

(14)

通過(13)和(14),可以得到:

(15)

利用引理2可以推出,當λmax(Λ)<1時，Im-Λ是一個NSMM.而通過引理1可知，存在一個常數(shù)δ>0 使得：

(16)

(17)

根據(jù)(17),很容易得到如下矩陣范數(shù)不等式：

(18)

這就意味著,系統(tǒng)(4)是全局指數(shù)自同步的.從而利用引理5,系統(tǒng)(4)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

3 數(shù)值仿真

在本章節(jié),將給出一個數(shù)值算例來驗證上述結(jié)論的正確性.

例 考慮如下二維復(fù)值NDNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(19)

其中

那么，通過文章的定義，可以得到

通過計算，可以得到以下數(shù)值：

取κ=3.83，此時 0<κ≤3.833 4，則有

計算得，λmax(Λ)=0.876 4<1，故根據(jù)定理1可知系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

圖1、圖2、圖3、圖4分別給出了系統(tǒng)的解在以下10種初始狀態(tài)下的動態(tài)曲線.初值1：z1(t)=2.5-2.2i，z2(t)=-0.9+3i; 初值2：z1(t)=1.4+1.6i,z2(t)=3.6-1.4i; 初值3：z1(t)=-3.3-0.7i,z2(t)=4.5+2.8i; 初值4：z1(t)=-0.2+3.4i,z2(t)=2.1-3.5i;初值5：z1(t)=3.6+2.8i,z2(t)=-5.4-0.2i; 初值6：z1(t)=0.7-3.1i,z2(t)=-2.3+2.4i; 初值7：z1(t)=4.1-4.4i,z2(t)=0.3+1.5i; 初值8：z1(t)=-1.9+4.7i,z2(t)=-3.6-2.6i;初值9：z1(t)=-2.7-1.8i,z2(t)=1.4+4.1i;初值10：z1(t)=5.1+5.2i，z2(t)=-5.3-5.4i.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)向量z(t)的實部第1分量α1(t)的軌跡

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)向量z(t)的實部第2分量α2(t)的軌跡

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)向量z(t)的虛部第1分量β1(t) 的軌跡

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)向量z(t)的虛部第2分量β2(t) 的軌跡

4 結(jié)論

本文針對復(fù)值時滯NDNN模型，利用較為新穎的微分代數(shù)不等式方法，不再需要構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，給出了更加簡潔的全局指數(shù)穩(wěn)定性條件，所得的結(jié)論更加廣泛適用.最后,本文提供了一個數(shù)值算例證明了結(jié)論的有效性.本文提出的方法還可以用于解決多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)問題，如DDANNs，NDNNs的多穩(wěn)定性、多同步、周期振蕩、分岔和混沌,以及各種控制問題.