福建省上杭縣第一中學(xué) (364200)

黃武猷

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主旋律，精心設(shè)計(jì)例題對(duì)提高課堂教學(xué)效果有著直接的影響，尤其在復(fù)習(xí)課中表現(xiàn)更加明顯.但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，不少教師在章末復(fù)習(xí)課、高三一輪復(fù)習(xí)課、二輪復(fù)習(xí)課等不同階段均采用同一高考題或模擬考題作為課堂教學(xué)的例題，并且未作任何的修改，這種“拿來主義”的做法引起了筆者的一些思考.

一、考題與例題的功能差異

考題是側(cè)重于對(duì)特定的知識(shí)點(diǎn)、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)思想方法或突出某個(gè)學(xué)科素養(yǎng)的考查，往往是“片面性”的數(shù)學(xué)問題.例題主要是為了幫助學(xué)習(xí)者復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，掌握利用知識(shí)解決問題的方法，起到查缺補(bǔ)漏和提升應(yīng)用能力的作用，具有相對(duì)的“完備性”.因此，考題不等同于例題，不同階段的復(fù)習(xí)課例題應(yīng)慎重選擇各類考題，有必要根據(jù)復(fù)習(xí)目標(biāo)對(duì)其適當(dāng)改編再使用，才能讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)更有價(jià)值.

二、變考題為例題的路徑

1.變換呈現(xiàn)方式

案例1O是拋物線y2=4x的頂點(diǎn)，A,B是拋物線上的兩點(diǎn)，若OA⊥OB，證明直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn).

該題是2021年龍巖市高二上學(xué)期期末質(zhì)檢題，先利用垂直關(guān)系假設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線后再求出直線AB的斜率，寫出其直線方程便可知它恒過定點(diǎn)(4,0).但作為復(fù)習(xí)課的例題，僅單純地這樣講解，其教學(xué)功效顯然不足，若能對(duì)問題進(jìn)行多樣化的呈現(xiàn)，能讓學(xué)生“既見樹木，又見森林”.

變式1O是拋物線y2=2px的頂點(diǎn)，A,B是拋物線上的兩點(diǎn)，若OA⊥OB，證明直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn).

變式2O是拋物線y2=2px的頂點(diǎn)，A,B是拋物線上的兩點(diǎn)，若kOA·kOB=m，證明直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn).

變式3Q(x0,y0)是拋物線y2=2px上的一點(diǎn)，A,B是拋物線上不同于Q的兩點(diǎn)，若QA⊥QB，證明直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn).

以上通過逐次弱化的方式將原考題的條件進(jìn)行變化，但求解的思路和方法卻與原考題相同，這種同型異構(gòu)的例題呈現(xiàn)方式，有利于促進(jìn)學(xué)生更好地探索一般性的解題方法，形成一類問題的求解經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思考能力，真正實(shí)現(xiàn)“授人以漁”.

2.拓展求解方法

過點(diǎn)(0,2)的直線l與圓O：x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，則△OAB面積的最大值為，此時(shí)直線的斜率k=.

3.滲透數(shù)學(xué)思想

案例3 函數(shù)f(x)=ax3+3x-1，若?x∈[1,2]使f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)的a取值范圍是.

其它條件不變，將“x∈[1,2]”改為“x∈[-2,2]”.

改編前的考題突出基本方法的考查，但沒有突顯分類討論思想的應(yīng)用和不同解法之間的比較，顯得“蘊(yùn)味”不足.改編后的例題，囊括了分離參數(shù)法的各種可能，使求解的方法更具一般性，能讓學(xué)生知曉“離而求之和分而求之”是處理含參數(shù)不等式問題的兩種基本策略，開拓了學(xué)生的思維視野，滲透了分類與分步的數(shù)學(xué)思想，這樣的例題教學(xué)才能讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課收獲更多.

4.延伸問題背景

案例4 奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2]，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)=2x-1，函數(shù)g(x)=x2-2x+m.若對(duì)于?x1∈[-2,2]，?x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

這是2021年杭州市高三一模檢測(cè)題，首先根據(jù)條件可求得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-3,3]，g(x)的值域?yàn)閇m-1,m+8]，則問題等價(jià)于[-3,3]?[m-1,m+8]，從而得m∈[-5,-2].該考題只考查了含參任意、存在性問題中的一種情況，若作為復(fù)習(xí)課例題就此講完，不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.為了完善學(xué)生的認(rèn)知，可將部分條件改編如下(其它條件不變)：

變式1 若對(duì)于?x1∈[-2,2]，存在唯一x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式2 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式3 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x)=f(x)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式4 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式5 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式6 若?x1∈[-2,2]，總?x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式7 若?x∈[-2,2]，使得g(x)

變式8 若?m∈[0,2]，都有g(shù)(x)>0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

波利亞說過：好問題如同采“蘑菇”一樣，找到一個(gè)之后，在它附近很可能就有好幾個(gè).上述做法就遵循了這一規(guī)律，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，借題發(fā)揮，深入挖掘其結(jié)構(gòu)背景，圍繞問題本質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由欤寣W(xué)生在變化之中比較各個(gè)例題的不同與聯(lián)系，明辨不等式與等式有解、恒成立、能成立，及任意與存在這些易錯(cuò)易混問題，拓寬了例題的教學(xué)功能，達(dá)到了以點(diǎn)帶面，觸類旁通的目的，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和廣闊性大有好處.

5.增設(shè)對(duì)比問題

此題是2021年三明市高三聯(lián)考試題，它要求考生準(zhǔn)確理解“函數(shù)f(x)為增函數(shù)”與“f′(x)與0”的大小之間的關(guān)系.其中，f′(x)是否可以取0是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).作為填空題，掩蓋了學(xué)生是否掌握這一知識(shí)的真實(shí)性.若將該題作為復(fù)習(xí)課例題使用，有必要將其改編：

A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

(2)若函數(shù)f(x)=x3-2x2-mx在[1,2]上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

高效課堂是一個(gè)永恒的話題.對(duì)考題、例題的研究不僅能造就高效的復(fù)習(xí)課，也練就了學(xué)生思考的速度、深度、效度和靈活度，還成就了教師個(gè)人的專業(yè)發(fā)展.