王國(guó)良，狄心瑩

（遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

鋰離子電池作為電源系統(tǒng)的重要組成部件，其具有小巧輕便、環(huán)保節(jié)能、高續(xù)航能力等優(yōu)點(diǎn)[1]，被廣泛應(yīng)用于各大領(lǐng)域。為了促進(jìn)新能源技術(shù)的發(fā)展，對(duì)鋰離子電池的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)研究至關(guān)重要。以往對(duì)鋰離子電池充放電過程的研究中發(fā)現(xiàn)，隨著電池的使用時(shí)間和充放電循環(huán)次數(shù)的增加，其容量在不斷減小[2]。為了避免對(duì)重要設(shè)備造成永久性損壞，必須對(duì)電池容量進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而保證電池在使用期間處于健康狀態(tài)[3]。

鋰離子電池的剩余壽命預(yù)測(cè)可分為基于概率統(tǒng)計(jì)分布、模型驅(qū)動(dòng)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)測(cè)方法[4]。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)作為概率統(tǒng)計(jì)理論的主要預(yù)測(cè)方法，其結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)（SVM）[5]等學(xué)習(xí)方法，通過建立輸入和輸出變量之間的模型來(lái)預(yù)測(cè)鋰離子電池的剩余壽命。解冰[6]建立基于最小二乘支持向量機(jī)模型，引入遺傳退火算法提高了預(yù)測(cè)精度。王瀛洲等[7]利用蟻獅優(yōu)化和支持向量回歸的方法提高了電池壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。倪裕隆[8]改進(jìn)了蟻獅優(yōu)化算法，為SVM方法提供最優(yōu)參數(shù)，進(jìn)一步提高了其預(yù)測(cè)精度。但是，支持向量機(jī)須選用滿足一定約束條件的核函數(shù)，預(yù)測(cè)結(jié)果為無(wú)概率性表現(xiàn)形式，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)，預(yù)測(cè)值為稀疏性的點(diǎn)估計(jì)值。引入貝葉斯思想后，彌補(bǔ)了該不足。但是，通常基于RVM相關(guān)的鋰離子電池壽命預(yù)測(cè)方法只考慮單一變量的輸入輸出關(guān)系，對(duì)多變量輸入與輸出不能直接建立關(guān)系模型。對(duì)單一特征因素變量分別預(yù)測(cè)并加權(quán)融合得到的預(yù)測(cè)值，雖然在一定程度上提高了預(yù)測(cè)精度，但效果不夠明顯且步驟冗余。針對(duì)這一問題，本文提出了基于主元分析的特征因素變量加權(quán)的RVM鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)方法，該方法的普適性更廣，對(duì)鋰離子電池的壽命預(yù)測(cè)精度更高。

1 基本原理和算法

基于相關(guān)向量機(jī)的鋰離子電池壽命預(yù)測(cè)模型數(shù)據(jù)處理方法，對(duì)單一特征變量預(yù)測(cè)輸出值加權(quán)和基于PCA的特征因素變量加權(quán)融合構(gòu)建得到預(yù)測(cè)輸出值。首先，對(duì)不同特征變量，通過相關(guān)向量機(jī)得到相應(yīng)預(yù)測(cè)模型，考慮輸出的各預(yù)測(cè)值向量之間線性相關(guān)性得到相應(yīng)權(quán)值。然后，基于PCA思想，直接將不同特征變量對(duì)電池壽命衰減的影響程度作為給出權(quán)值的重要依據(jù)。

1.1 PCA的數(shù)學(xué)意義

假設(shè)對(duì)系統(tǒng)的n個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行m次獨(dú)立采樣，則系統(tǒng)可以由一個(gè)n×m維的隨機(jī)矩陣G∈Rm×n描述。

式中，gi,j為采樣數(shù)據(jù)變量，i=1,…,m;j=1,…,n。

由于所采集的數(shù)據(jù)中包含不同量綱，為消除帶有不同量綱的數(shù)據(jù)所組成的數(shù)據(jù)矩陣對(duì)PCA的運(yùn)行結(jié)果有所影響，先對(duì)G進(jìn)行歸一化處理，去除系統(tǒng)數(shù)據(jù)的量綱。

1.1.1 歸一化處理 通過式（2）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

式中，為對(duì)向量Gi歸一化處理后的得到的新數(shù)據(jù)向量；μi和σi分別為Gi的均值和方差。通過處理，可得隨機(jī)矩陣

隨機(jī)矩陣可以分解為n個(gè)向量的外積之和，即：

式中，Um×n=[u1,u2,…,un]為得分矩陣，由得分主元ui∈Rm×1構(gòu) 成；Vn×n=[v1,v2,…,vn]為 負(fù) 荷 矩陣，由負(fù)荷向量vi∈Rn×1構(gòu)成，且由矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣給出。

1.1.2 特征值與特征向量 記上述隨機(jī)矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣為ΣGˉ，則：

對(duì)式（5）求解：

式中，λi為特征值；I為特征向量。

求解后可以分別得到協(xié)方差矩陣ΣGˉ的特征值λi(i=1,…,n)及相對(duì)應(yīng)的特征向量vi(i=1,…,n)。通常假設(shè)n個(gè)特征值都不相等，并且有λ1＞λ2＞λ3＞…＞λn。為證明式（4）成立，兩邊同乘以vi得：

1.1.3 確定主成分個(gè)數(shù) 一般情況下，設(shè)主成分個(gè)數(shù)為k(k≤n)，且k滿足：

求得k，那么矩陣則可表示為：

式中，?為主成分空間（主元空間）為殘差空間。

在現(xiàn)代工業(yè)控制研究中，PCA常與其他方法結(jié)合應(yīng)用于各領(lǐng)域控制系統(tǒng)的在線故障檢測(cè)問題研究[9-10]及其他方面的數(shù)據(jù)分析中。T2和SPE是PCA中兩個(gè)常用的性能指標(biāo)，用于故障診斷。

1.2 相關(guān)向量機(jī)

相關(guān)向量機(jī)（RVM）[11]是在SVM的基礎(chǔ)上做相應(yīng)的改進(jìn)，由E.M.Tipping[12]在2001年提出的。

假設(shè)存在訓(xùn)練樣本集{xk,yk},(k=1,2,…,n),其中xk為輸入向量，yk為輸出向量，并認(rèn)為yk是關(guān)于xk的函數(shù)?(xk)的輸出，即：

式中，εk為方差σ2的高斯噪聲，服從均值為0。常見的?(xk)形式為：

式中，ω=(ω1,ω2,…,ωn)為權(quán)重向量；K(x,xi)為核函數(shù)；ω0為偏差[13]。E.M.Tipping從貝葉斯理論的角度出發(fā)，認(rèn)為ω服從先驗(yàn)分布，即

可以得到權(quán)重向量的后驗(yàn)分布：

式中，Σ為后驗(yàn)分布方差；μ為后驗(yàn)分布均值；y為訓(xùn)練 樣 本 的 輸 出 量；A=diag(θ1,θ2,…,θn)，Φ=[?(x1),…,?(xn)]T為設(shè)計(jì)矩陣，?(x)=[1,K(x,x1),…,K(x,xn)]T。超參數(shù)的θ和方差σ2優(yōu)化可以通過式（17）和式（18）實(shí)現(xiàn)。

選取RBF核函數(shù)[14]，該核函數(shù)具有使特征輸入和輸出樣本呈現(xiàn)非線性的能力，僅在測(cè)試數(shù)據(jù)點(diǎn)的附近較小領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生影響，非線性逼近能力很強(qiáng)，其表達(dá)式為：

式中，r為核函數(shù)的參數(shù)。r越小，RBF對(duì)原數(shù)據(jù)的影響范圍越小。

1.3 基于PCA特征因素變量加權(quán)建構(gòu)概述

1.3.1 單因素變量RVM預(yù)測(cè)值的加權(quán)處理 根據(jù)RVM理論基礎(chǔ)，分別對(duì)可能影響鋰離子電池容量的不同特征變量測(cè)量值與電池容量真實(shí)值建立RVM模型，得到所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)輸出y*。由于電池容量的變化非單獨(dú)某個(gè)特征變量引起，不同y*和實(shí)際容量存在相應(yīng)的線性關(guān)系：

式中，y*1,y*2,…,y*n分別對(duì)應(yīng)n個(gè)特征變量；x1,x2,…,xn為RVM模型下的預(yù)測(cè)容量值；Y*為預(yù)測(cè)值線性融合向量，由預(yù)測(cè)值線性融合所得；ti為相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，由向量相關(guān)系數(shù)給出：

式中，ρy*y為表征電池容量預(yù)測(cè)值向量y*與真實(shí)值向量y之間線性關(guān)系的緊密程度指標(biāo)(||ρ≤1),其絕對(duì)值決定二者之間的緊密程度，cov(·)為協(xié)方差為標(biāo)準(zhǔn)差。|ρy*y|較大，說明y*與y的線性相關(guān)程度較強(qiáng)；|ρy*y|較小，說明y*與y的線性相關(guān)程度較弱；|ρy*y|=0，則說明y*與y不相關(guān)。。

1.3.2 基于PCA的特征變量加權(quán)建構(gòu)方法 根據(jù)PCA的數(shù)學(xué)意義可知，對(duì)采樣特征變量原始數(shù)據(jù)矩陣G歸一化去量綱處理后得到矩陣Gˉ，通過Gˉ求取協(xié)方差矩陣ΣGˉ，并計(jì)算該協(xié)方差矩陣特征值及與之對(duì)應(yīng)的特征向量，可以找到表征變量主要特征的主元向量ui(i=1,2,…,m)。特征值決定主元的重要程度。

式中，ri為權(quán)重系數(shù)由協(xié)方差矩陣特征值給出：

該協(xié)方差矩陣特征值同樣決定主元的重要程度，即主元向量對(duì)原變量向量的覆蓋程度。因此，可以得到相關(guān)主元的權(quán)重系數(shù)，從而得到各特征因素變量加權(quán)構(gòu)建以后的特征變量。將此變量作為鋰離子電池在線剩余壽命預(yù)測(cè)相關(guān)向量機(jī)的輸入，與真實(shí)電容值建立相應(yīng)預(yù)測(cè)模型。對(duì)新采集的電池?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行PCA分析，并對(duì)處理后的特征變量通過相關(guān)向量機(jī)進(jìn)行在線預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)結(jié)果。具體流程如圖1所示。

圖1 PCA加權(quán)特征建構(gòu)電池壽命預(yù)測(cè)流程

2 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提出的預(yù)測(cè)值加權(quán)構(gòu)建及特征因素變量加權(quán)構(gòu)建方法的性能，證明兩種方法的有效性，選取B7型號(hào)鋰離子電池實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，采用兩種方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。對(duì)已有的相關(guān)研究分析發(fā)現(xiàn)，鋰離子電池在線運(yùn)行存在不完全充放電的現(xiàn)象，因此需將數(shù)據(jù)中鋰離子電池不完全充放電時(shí)數(shù)據(jù)全部剔除，對(duì)鋰離子電池進(jìn)行在線剩余壽命預(yù)測(cè)方法的研究才具有一定意義。等壓升充電時(shí)間間隔、等流降充電時(shí)間間隔和等壓降放電時(shí)間間隔三個(gè)特征因素變量可作為主要相關(guān)向量機(jī)建立模型的輸入。提取可測(cè)量特征因素變量后，根據(jù)已有容量數(shù)據(jù)，通過相關(guān)向量機(jī)（RVM）建立特征因素變量與電池容量的關(guān)系模型；將在線采集的特征變量數(shù)據(jù)向量作為輸入，輸出得到相應(yīng)的容量預(yù)測(cè)值向量。充電時(shí)，電壓從2.7 V上升到4.2 V所需時(shí)間作為特征因素變量x1，即x1為等壓升充電時(shí)間間隔；電流從1.5 A下降到0.3 A所需時(shí)間作為特征因素變量x2，即x2為等流降充電時(shí)間間隔。放電時(shí)，電壓從3.7 V下降到2.7 V所需時(shí)間作為特征因素變量x3，即x3為等壓降放電時(shí)間間隔。

綜上，提取等壓升充電時(shí)間間隔等三個(gè)特征因素變量及相應(yīng)的電池容量數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)所用數(shù)據(jù)均采用NASA公布的B7號(hào)鋰離子電池的164組充放電循環(huán)真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)。

2.1 預(yù)測(cè)值加權(quán)構(gòu)建

分別利用B7號(hào)鋰離子電池的三個(gè)特征因素變量x1、x2、x3進(jìn)行預(yù)測(cè)，所得預(yù)測(cè)值由相關(guān)系數(shù)線性融合所得值與融合前的三組單一變量預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，其中選取前100組建模數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，用于建立預(yù)測(cè)模型。模擬建模完成后，采集的新產(chǎn)生64組數(shù)據(jù)設(shè)為動(dòng)態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于在線預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)起點(diǎn)為101。

單一變量及預(yù)測(cè)值加權(quán)建構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2所示。預(yù)測(cè)輸出Y*由預(yù)測(cè)值線性融合所得。預(yù)測(cè)值從101循環(huán)開始，64組預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果為對(duì)不同單一特征因素變量預(yù)測(cè)結(jié)果線性擬合得到的加權(quán)預(yù)測(cè)值，考慮了多個(gè)特征因素變量對(duì)電池容量衰減的影響。對(duì)比單一特征因素變量建立的預(yù)測(cè)模型機(jī)制，由數(shù)學(xué)增長(zhǎng)率算法計(jì)算得擬合程度分別比單個(gè)特征變量的預(yù)測(cè)值擬合程度提高2.3%、0.4%、0.7%，在一定程度上增加了其預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)值更加接近容量真實(shí)值，對(duì)提高鋰離子電池在線壽命的預(yù)測(cè)性能具有一定意義。

圖2 單一變量及預(yù)測(cè)值加權(quán)建構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果

單一變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測(cè)效果如表1所示。

表1 單一變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測(cè)效果

2.2 基于PCA的特征因素變量加權(quán)建構(gòu)

基于PCA的特征因素變量加權(quán)建構(gòu)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)分析，采用B7號(hào)鋰離子電池164組充放電循環(huán)真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。其中，選取前100組中3個(gè)特征因素變量數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，經(jīng)PCA分析用于相關(guān)向量機(jī)建立電池壽命預(yù)測(cè)模型，得到其相應(yīng)核函數(shù)參數(shù)，即通用程序里可調(diào)節(jié)參數(shù)a=3，J=1.8；取后64組設(shè)為動(dòng)態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于電池壽命的在線預(yù)測(cè)。在線壽命預(yù)測(cè)過程如下：

預(yù)測(cè)建模確定相關(guān)向量機(jī)核函數(shù)參數(shù)后，開始進(jìn)行在線預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)；讀取第101組數(shù)據(jù)中3個(gè)變量值為第一組測(cè)量值，將所構(gòu)成的1×3維向量型矩陣作為PCA的輸入得到加權(quán)建構(gòu)特征變量值，由相關(guān)向量機(jī)得到對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)電池容量值；繼而讀取第102組數(shù)據(jù),重復(fù)上述運(yùn)算步驟，得到對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)值；以此類推，分析計(jì)算第103，104，…，164組數(shù)據(jù)，依次得到相應(yīng)電容的預(yù)測(cè)值，進(jìn)而完成鋰離子電池的在線壽命預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)。

基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建預(yù)測(cè)結(jié)果

由PCA加權(quán)構(gòu)建所得特征變量作為輸入得到的電池容量預(yù)測(cè)值，避免忽略多個(gè)特征變量輸入對(duì)鋰離子電池容量衰減的影響，從根本上解決了多個(gè)不同特征因素變量對(duì)電池容量衰減影響程度不同而導(dǎo)致存在預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度差異的現(xiàn)象，擬合程度較比單個(gè)特征變量的預(yù)測(cè)值擬合程度分別提高2.3%、0.7%、0.9%，在一定程度上提高了其預(yù)測(cè)精度，使預(yù)測(cè)值更加接近容量真實(shí)值，有效地提高了鋰離子電池壽命的在線預(yù)測(cè)性能。

PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測(cè)效果如表2所示。其中，X*為PCA加權(quán)建構(gòu)所得特征變量。

表2 PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測(cè)效果

2.3 兩種建構(gòu)方法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

預(yù)測(cè)值加權(quán)構(gòu)建與基于PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法對(duì)鋰離子電池容量預(yù)測(cè)結(jié)果（見圖4）。

圖4 兩種預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

從圖4可以看出，與單一變量加權(quán)構(gòu)建方法相比基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測(cè)效果更好。

3 結(jié)論

多個(gè)單一變量預(yù)測(cè)值加權(quán)線性融合的方法，雖考慮到多個(gè)特征因素變量對(duì)電池容量衰減的影響，在一定程度上增加了預(yù)測(cè)精度，但僅適用于變量少的相關(guān)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)研究，普適性低。由PCA加權(quán)構(gòu)建所得特征變量的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，可避免不同特征變量對(duì)鋰離子電池容量衰減的影響，同時(shí)從根本上解決因多個(gè)不同特征因素變量對(duì)電池容量衰減影響程度不同而存在預(yù)測(cè)精度差異的現(xiàn)象，增加其預(yù)測(cè)精度，使預(yù)測(cè)值更加接近容量真實(shí)值，普適性更高。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提變量加權(quán)建構(gòu)處理方法的預(yù)測(cè)結(jié)果與電池真實(shí)容量值擬合程度更好，證明所提方法的可行性和有效性。