馬斌捷，周書濤，洪良友，梁吉鵬，王麗霞

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京，100076）

0 引 言

等直梁振動響應(yīng)問題統(tǒng)一模型最一般化的邊界條件為兩端有不同附加質(zhì)量和彈簧約束，包括帶不同附加質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、不同剛度的線性和轉(zhuǎn)動彈簧，總共含有8個影響參數(shù)。由于該模型邊界條件的復(fù)雜性，其特征方程具有復(fù)雜的四階行列式，內(nèi)含的8個影響參數(shù)各不相等，使得振型函數(shù)得不到簡化，不易獲得等直梁振動特性和響應(yīng)的解析解。當(dāng)?shù)戎绷旱亩瞬考s束為零和無窮大時，邊界條件可以簡化為簡支、固支和自由3種。等直梁兩端的這3種邊界總共有9種排列、6種組合。此時，等直梁振動問題特征方程中的端部約束參數(shù)可以消除，簡化為三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的組合方程，振型函數(shù)和廣義質(zhì)量的待定系數(shù)可以簡化或者變?yōu)榱悖瑥亩傻玫叫问捷^為簡潔的等直梁振動特征方程及振動響應(yīng)解析解。

在采用理論分析方法獲得梁振動響應(yīng)解析解方面的研究相對較少。Li[1]考慮兩端支座橫向和轉(zhuǎn)動激勵，得到了受軸向力作用Euler Bernoulli梁的動態(tài)響應(yīng)解析解。Li和Ren[2]采用Galerkin截斷法和模態(tài)疊加法，解析研究了受三向移動載荷作用水平曲梁垂向、扭向、徑向和軸向的動態(tài)響應(yīng)。Yu等[3]基于模態(tài)疊加法和Euler Bernoulli梁理論，給出了放置在粘彈性地基上、在任意激勵作用下雙截面梁撓度、速度、加速度、彎矩和剪力的顯式解析表達(dá)式，并在集中、沖擊2種載荷下驗證了梁振動響應(yīng)的解析解與數(shù)值解。上述文獻(xiàn)均未進(jìn)一步給出廣義質(zhì)量的解析表達(dá)式。馬斌捷等[4]提出了可顯著簡化廣義質(zhì)量計算難度的特征變換方法，解決了端部帶約束懸臂梁振動響應(yīng)的解析求解問題，并指出該方法可用于解析求解各種邊界條件和端部約束（包括平動與轉(zhuǎn)動的質(zhì)量與彈性約束）等直梁的廣義質(zhì)量，奠定了解析求解等直梁振動響應(yīng)的基礎(chǔ)。

有鑒于此，本文采用特征變換方法，基于非歸一化的簡潔振型函數(shù)形式，獲得了6種邊界條件下等直梁廣義質(zhì)量的解析結(jié)果。針對不同載荷分布，給出了各種響應(yīng)參數(shù)動態(tài)放大系數(shù)的解析表達(dá)式和計算曲線。此外，基于廣義質(zhì)量解析解推導(dǎo)了模態(tài)有效質(zhì)量的解析算式，充實了振動理論的方法和內(nèi)容。

1 等直梁的模態(tài)特性和廣義質(zhì)量

各種邊界條件等直梁（見圖1）的橫向彎曲振動微分方程為[5]

圖1 等直梁振動響應(yīng)示意 Fig.1 Vibration Response Sketch of Uniform-section Straight Beam

式中 0 x L≤≤；E，I，S，ρ，L分別為梁的材料彈性模量、橫截面軸慣性矩、密度、截面面積和長度；f (x, t)為梁單位長度上作用的分布力。在自由振動時f (x, t)=0，式（1）可以簡化為

等直梁兩端的簡支、固支和自由邊界條件共有9種排列、6種組合，可以分為3種對稱（兩端簡支、兩端固支、兩端自由）和3種不對稱（簡支-固支、簡支-自由、固支-自由）邊界。Ginsberg[6]給出了等直梁這6種邊界的模態(tài)特性。其中，兩端簡支等直梁的特征方程為

模態(tài)疊加法是獲取梁振動響應(yīng)的基本方法。在特征值和振型函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，計算各階振型對應(yīng)的廣義質(zhì)量和廣義力，可以得到各階廣義位移響應(yīng)，再結(jié)合振型函數(shù)（含雙曲函數(shù)和三角函數(shù)）可獲得物理位移響應(yīng)。振動響應(yīng)解析分析的基礎(chǔ)是廣義質(zhì)量和廣義力有解析表達(dá)式。由于雙曲函數(shù)與線性函數(shù)的乘積以及三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積均有解析積分式，因而各種邊界條件下集中力、均布力和線性分布力存在廣義力的解析表達(dá)式。然而等直梁廣義質(zhì)量以往只有兩端簡支邊界條件下有解析表達(dá)式，馬斌捷等[4]采用特征變換方法給出了端部帶約束懸臂梁廣義質(zhì)量的解析表達(dá)式。本文采用特征變換方法進(jìn)一步給出6種邊界條件等直梁廣義質(zhì)量的解析表達(dá)式。

特征變換方法的核心是引入特征值條件kn= mnωn2，將各階廣義質(zhì)量拆分為50%的廣義剛度除以固有頻率平方與50%的廣義質(zhì)量之和，利用振型函數(shù)與振型曲率函數(shù)的平方和，抵消多項反號函數(shù)，從而顯著簡化廣義質(zhì)量積分的解析求解過程。

等直梁第n階廣義質(zhì)量 nm和廣義剛度nk分別為

式中 m，k分別為梁的質(zhì)量和剛度，m = ρSL，k = EI /L3；φn(θ)，φn(θ)分別為振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)。按照特征變換法將廣義質(zhì)量 nm的表達(dá)式改寫為[4]

根據(jù)式（10），采用簡潔振型表達(dá)式，本文得到了含簡支（兩端簡支、簡支-固支、簡支-自由）邊界等直梁的振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)表達(dá)式分別為

不含簡支（懸臂、兩端固支、兩端自由）邊界等直梁的振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)表達(dá)式分別為

由此可以進(jìn)一步得到等直梁廣義質(zhì)量的解析表達(dá)式。含簡支邊界等直梁廣義質(zhì)量系數(shù)的表達(dá)式為

將相應(yīng)含簡支邊界條件的特征方程和振型 系數(shù)代入式（15），可得到：

由式（16）可得：兩端簡支梁的廣義質(zhì)量系數(shù)為0.5；簡支-固支和簡支-自由梁的廣義質(zhì)量系數(shù)為0.4996(1)n=、0.5(1)n＞，均非常接近0.5。

對于3種不含簡支邊界等直梁，其廣義質(zhì)量系數(shù)的表達(dá)式為

將相應(yīng)不含簡支邊界梁的特征方程和振型系數(shù)代入式（17），可得到：

由此可以看出，采用特征變換方法推導(dǎo)得到的含簡支梁的廣義質(zhì)量系數(shù)基本為0.5，不含簡支梁的廣義質(zhì)量系數(shù)均為0.25，結(jié)果非常簡潔。

上述廣義質(zhì)量解析解的獲得，解決了獲取等直梁振動響應(yīng)解析解的關(guān)鍵問題。

由特征值條件，等直梁的各階廣義剛度nk可寫為

式中nγ，nα分別為廣義剛度系數(shù)和廣義質(zhì)量系數(shù)，γn=，與αn成正比。

2 廣義力和動態(tài)響應(yīng)放大系數(shù)

等直梁上作用的單頻線分布壓力()p x對應(yīng)的廣義力nF為

式中 δn為廣義力系數(shù)，為合力。對于作用在梁上 xO= ζL (0 ≤ζ ≤1)處的集中力Q sin(ωt)、作用在全梁上的均布力(Q /L) sin(ωt)和線性分布力 (2Q /L2)x sin(ωt)，對應(yīng)的廣義力系數(shù)分別為

雙曲函數(shù)與線性函數(shù)的乘積以及三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積均有解析積分式[7,8]，因而可以得到均布力和線性分布力廣義力的解析積分結(jié)果。計算結(jié)果顯示：

a）對于兩端自由梁，均布力和線性分布力對應(yīng)的廣義力只能產(chǎn)生剛體平動和轉(zhuǎn)動，不會引起振動響應(yīng)；對于簡支-自由梁，線性分布力對應(yīng)的廣義力只能產(chǎn)生剛體轉(zhuǎn)動，也不會引起振動響應(yīng)。

b）集中力的廣義力系數(shù)不隨階次增大而產(chǎn)生有規(guī)律的變化；均布力的廣義力系數(shù)隨階次增大而降低，大致與特征值成反比；線性力的廣義力系數(shù)隨階次增大而降低，變化趨勢介于與特征值成反比和與特征值平方成反比之間。

c）對稱邊界條件下，偶數(shù)階中部（ /2x L= ）振型曲率為零，使得中部截面彎矩響應(yīng)也為零；對稱載荷的偶數(shù)階廣義力均為零；偶數(shù)階廣義力需要施加非對稱載荷；線性力與均布力的中部響應(yīng)動態(tài)放大系數(shù)相同。

d）線性力的高階廣義力較低，集中力的高階廣義力較大，施加不對稱集中力易激勵出偶數(shù)階高階振動響應(yīng)。

e）在0.3 L和0.7 L處作用的集中力能產(chǎn)生除10 n階次的廣義力，可產(chǎn)生較多階次的響應(yīng)。

單頻外力激勵下位移響應(yīng)(,)w x t的表達(dá)式為：

速度(,)v x t和加速度(,)a x t響應(yīng)的表達(dá)式分別為：

彎矩(,)M x t可通過對位移(,)w x t兩次微分得到：

定義梁的靜態(tài)位移為/Q k，考慮模態(tài)阻尼比ξ的動態(tài)位移放大系數(shù)βw(x,λ)為

定義梁的準(zhǔn)靜態(tài)加速度為/Q m，加速度放大系數(shù)βa(x,λ)為

定義梁的靜態(tài)彎矩為QL，動態(tài)彎矩放大系數(shù)βM(x,λ)為

式（29）～（32）即為6種邊界條件等直梁振動響應(yīng)解析解的表達(dá)式。位移、速度和加速度的放大系數(shù)之間依次多一項無量綱因子（頻率）2λ，因此其高頻分量依次增大。而速度放大系數(shù)與彎矩放大系數(shù)的變化趨勢相同，只是空間分布函數(shù)將振型改為振型曲率。

比較式（30）～（32）可知，在諧振頻率處速度與動態(tài)彎矩的放大系數(shù)βv(x,λ)和 βM(x,λ)的變化規(guī)律相同。

圖2給出了在阻尼比為ξ=0.01時4種響應(yīng)參數(shù)動態(tài)放大系數(shù)的解析計算曲線，部分邊界條件梁給出了兩個截面的彎矩響應(yīng)。由圖2可以看出：加速度放大系數(shù)aβ的響應(yīng)峰值變化相對平緩，高階與低階響應(yīng)量級上沒有差別；位移放大系數(shù)wβ的響應(yīng)峰值下降較快；速度放大系數(shù)vβ響應(yīng)峰值的變化介于兩者之間，響應(yīng)峰值隨頻率而下降。這3種參數(shù)響應(yīng)曲線的交點(diǎn)位于一階頻率之前，曲線間距在交點(diǎn)后逐漸增大。根部彎矩放大系數(shù)Mβ的變化規(guī)律接近速度放大系數(shù)vβ，在響應(yīng)峰值處基本一致，但在反共振谷的差別最大。在載荷分析中只考慮一階彎矩載荷通常是不夠的。等直梁無附加約束時的載荷分析階次與速度相同，有附加約束時的載荷分析階次與加速度相同[4]。

等直梁的動、靜態(tài)響應(yīng)存在內(nèi)在聯(lián)系。兩者對于靜平衡邊界條件有一致性，可通過靜態(tài)位移和靜態(tài)截面彎矩對相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行確認(rèn)。對于4種靜平衡邊界（兩端簡支、簡支-固支、固支-自由、兩端固支）梁，分別在中部和端部施加集中力、均布力和線性分布力，得到的動態(tài)位移和彎矩響應(yīng)曲線（圖2b、圖2d與集中力對應(yīng)）在頻率趨于零時與靜態(tài)響應(yīng)數(shù)值一致，說明了振動響應(yīng)推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

圖2 六種邊界條件等直梁的動態(tài)響應(yīng)放大系數(shù)曲線 Fig.2 Dynamic Response Amplification Coefficient Curves for Uniform-section Straight Beam with Six Boundary Conditions

續(xù)圖2

圖2 只給出了部分集中力載荷形式和不同位置處的動態(tài)響應(yīng)曲線。對于兩端簡支和兩端固支梁，由于在中部施加集中力不能激勵出偶數(shù)階模態(tài)，只用于比較靜、動態(tài)響應(yīng)。

3 等直梁的有效質(zhì)量

模態(tài)有效質(zhì)量反映結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛體模態(tài)和彈性模態(tài)的耦合作用，代表基礎(chǔ)激勵下各階模態(tài)的動力學(xué)質(zhì)量與響應(yīng)，也是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一種動特性[9]。

等直梁的有效質(zhì)量目前還沒有解析表達(dá)式，其原因仍在于廣義質(zhì)量的解析表達(dá)式未得到。因此可在本文推導(dǎo)出的廣義質(zhì)量解析表達(dá)式的基礎(chǔ)上，給出各種邊界條件等直梁有效質(zhì)量的解析表達(dá)式。第n階有效質(zhì)量的計算公式為[10,11]：

式中 mn為第1節(jié)中已得到的第n 階 廣 義 質(zhì)量，mn= αnm； mrn為第n階彈性模態(tài)與剛體平動模態(tài)的參與質(zhì)量， mrn= mnr。第n階參與質(zhì)量的表達(dá)式為

式中 δnU為第2節(jié)得到的均布力廣義力 系數(shù)，由上述結(jié)果導(dǎo)出的有效質(zhì)量 Mne為

式中 αne為有效質(zhì)量系數(shù)，

由相應(yīng)邊界條件的廣義質(zhì)量系數(shù)和均布力廣義力系數(shù)，得到了6種邊界條件等直梁的有效質(zhì)量系數(shù)（見表1）。各階廣義質(zhì)量系數(shù)的數(shù)值基本恒定（分別為0.5和0.25），有效質(zhì)量系數(shù)與均布力廣義力的平方成正比。由于均布力的廣義力隨階次增大而降低，因此有效質(zhì)量系數(shù)收斂到零的速度更快，高階有效質(zhì)量更小，對振動響應(yīng)和特性分析的影響也更小。從表1可以看出：

表1 六種邊界等直梁的有效質(zhì)量 Tab.1 Effective Masses for Uniform-section Straight Beam with Six Boundary Conditions

a）兩端自由梁沒有有效質(zhì)量。簡支-自由梁的第1階有效質(zhì)量僅為總質(zhì)量的14%，前10階有效質(zhì)量之和僅為總質(zhì)量的23%。兩端簡支梁的低階有效質(zhì)量最大。

b）對稱邊界條件梁的偶數(shù)階有效質(zhì)量均為零。由此可知自由邊界條件結(jié)構(gòu)（空中飛行的飛機(jī)、火箭和導(dǎo)彈）的有效質(zhì)量為零，不能采用基礎(chǔ)激勵方式進(jìn)行動響應(yīng)試驗，只能采用力激勵方式；邊界約束結(jié)構(gòu)可采用基礎(chǔ)激勵方式研究其動響應(yīng)。

4 結(jié) 論

本文基于特征變換方法和簡潔振型函數(shù)，推導(dǎo)了兩類邊界條件等直梁（有、無簡支邊界）的廣義質(zhì)量解析解，獲得了集中力、均布力和線性分布力激勵下4種響應(yīng)參數(shù)（位移、速度、加速度、動態(tài)彎矩）動態(tài)放大系數(shù)的解析解和曲線，并進(jìn)一步得到了不同邊界條件等直梁的有效質(zhì)量，豐富了等直梁模態(tài)特性中廣義質(zhì)量、動態(tài)響應(yīng)與有效質(zhì)量解析解的研究成果。本文的主要研究成果如下：

a）3種含簡支邊界梁的各階廣義質(zhì)量系數(shù)基本為0.5，另外3種不含簡支邊界梁的各階廣義質(zhì)量系數(shù)均為0.25。

b）等直梁動態(tài)彎矩高頻分量的衰減程度與速度同階，低于位移的衰減程度。在載荷分析中只考慮一階彎矩載荷通常是不夠的，分析階次應(yīng)介于與速度與加速度分析階次之間。

c）等直梁有效質(zhì)量與均布力廣義力系數(shù)相關(guān)，自由梁沒有有效質(zhì)量，簡支梁的有效質(zhì)量最大。對稱邊界條件梁的偶數(shù)階有效質(zhì)量均為零。

在等直梁未約束自由度的邊界中，再增加有限約束后，也可獲得其振動響應(yīng)的解析解。例如，懸臂梁自由端帶質(zhì)量和彈簧約束的振動響應(yīng)解析解已采用特征變換方法給出[4]。等直梁含自由或簡支邊界增加約束（各種質(zhì)量和彈簧，包括轉(zhuǎn)動慣量和角彈簧）后的振動響應(yīng)解析解也可能獲得，限制條件是附加約束數(shù)量不超過2個，可以在質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和線、角彈簧約束中選擇。等直梁邊界含3個及以上約束時的振動響應(yīng)解析解能否得到，需要進(jìn)行探索與研究。

對于與梁振動同為四階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動方程的板振動問題，板結(jié)構(gòu)增加了一維空間變量，為二維振動問題。對矩形板而言，在每個方向均包含2項三角函數(shù)與2項雙曲函數(shù)，其振動響應(yīng)通解為16項三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之積的和[5]。對于圓形板，又增加了貝塞爾函數(shù)，問題進(jìn)一步復(fù)雜化。由于板結(jié)構(gòu)振動問題特征方程和廣義質(zhì)量的表達(dá)式非常復(fù)雜，采用特征變換方法也不易求解該問題的振動響應(yīng)解析解。板結(jié)構(gòu)除四邊簡支時有振動響應(yīng)解析解外，其它邊界時均沒有解析解。