■吳思佳龔輝

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)以應(yīng)試為目的的現(xiàn)象仍然存在，教與學(xué)的目標(biāo)緊緊圍繞“解題”展開，基本不談“欣賞”二字。數(shù)學(xué)的美是多方面的，有外在的形式美，也有內(nèi)在的邏輯美、理性美等。在日常教學(xué)中，教師可以嘗試從理性美的視角深入挖掘教材，巧妙運(yùn)用素材，通過不斷地引發(fā)學(xué)生思辨來(lái)引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯美，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的理性精神。下面，筆者以蘇科版數(shù)學(xué)七（下）“證明”為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美，感悟理性精神。

一、學(xué)情、教材分析

七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，已初步了解線段、角、三角形等簡(jiǎn)單圖形的一些性質(zhì)。由于大多數(shù)性質(zhì)是通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的，學(xué)生會(huì)受直觀判斷的影響，認(rèn)為合情推理猜測(cè)得來(lái)的結(jié)論是正確的，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神和科學(xué)的思維態(tài)度。本節(jié)課是引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)向理性分析發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。教材內(nèi)容雖然不多，但它對(duì)于學(xué)生深刻地理解推理證明的必要性，發(fā)展推理意識(shí)，把握說(shuō)理的基本方法、形成縝密的邏輯思維是非常重要的。

二、教學(xué)目標(biāo)

知曉觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等是認(rèn)識(shí)事物的有效手段，經(jīng)歷一些觀察、操作活動(dòng)，并能對(duì)獲得的數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行驗(yàn)證；體驗(yàn)直觀判斷不一定正確，從而能嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用已有的知識(shí)和方法尋求證據(jù)，給出證明，感受推理證明的必要性；感受數(shù)學(xué)思考的合理性和嚴(yán)密性，在猜想和證實(shí)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，增強(qiáng)理性精神和推理意識(shí)。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，并能通過不同的方式進(jìn)行證明。難點(diǎn)：從數(shù)學(xué)角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法驗(yàn)證結(jié)論，給出證明。

四、教學(xué)片段

1.創(chuàng)設(shè)情境

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察下面幾個(gè)活動(dòng)并思考。

（1）取一只空玻璃杯，斜放一根筷子，慢慢向杯中注水，觀察筷子發(fā)生了什么變化。

（2）你在生活中見過海市蜃樓嗎？

（3）圖1中，線段AB和CD長(zhǎng)度相等嗎？

圖1

（4）圖2中，兩個(gè)陰影部分的圓一樣大嗎？

圖2

（5）觀察圖3，AB和CD是直線嗎？它們有什么特殊關(guān)系呢？

圖3

（6）圖4中有曲線嗎？請(qǐng)把圖5中編號(hào)相同的點(diǎn)用線段連接起來(lái)。

圖4

圖5

學(xué)生觀察并討論。

師：人們常說(shuō)“耳聽為虛，眼見為實(shí)”，可“眼見”真的為“實(shí)”嗎？

生1：不一定。

師：剛才的例子告訴大家什么道理？生2：觀察得到的結(jié)論不一定可靠。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過選取生活中的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題，開展“量一量”“比一比”等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的思維沖突，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷“眼見不一定為實(shí)”的過程，初步感受驗(yàn)證的必要性。

2.動(dòng)手實(shí)驗(yàn)

活動(dòng)1：奇妙的小道

師：如圖6，學(xué)校的一條長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形草坪中間有條1m寬的筆直小道，為了增加美感，現(xiàn)計(jì)劃改為寬恒為1m的彎曲小道（如圖7）。這兩條小道的面積相等嗎？

圖6

圖7

生3：圖7面積更大。因?yàn)閺澚酥缶€變長(zhǎng)，挖掉的面積會(huì)更多。

師：下結(jié)論要言之有理，你能驗(yàn)證嗎？

生4：圖6中小道的面積是bm2，圖7中小道的面積卻不怎么好求。

師：那怎么求出圖7中小道的面積？請(qǐng)大家動(dòng)手操作、研究一下。

生5：圖6中小路的面積是bm2，圖7中，可以把小道旁邊的兩部分平移到一起（一邊操作，一邊解釋），所以小道的面積是ab-（a-1）bm2。

師：回答得很棒！可以平移左右兩個(gè)不規(guī)則圖形，把它們拼成一個(gè)整體，化簡(jiǎn)后兩個(gè)代數(shù)式是一樣的，都是bm2，由此證明兩條小路的面積是一樣的，這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。

設(shè)計(jì)意圖：教師讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作（平移）和計(jì)算的過程，運(yùn)用數(shù)學(xué)說(shuō)理的方法來(lái)解決生活中的問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。這里用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，這是本節(jié)課的一個(gè)意外收獲。

活動(dòng)2：魔術(shù)的秘密

師：圖8是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖9重新拼合。這4塊紙片恰好能拼成一個(gè)長(zhǎng)為13，寬為5的長(zhǎng)方形嗎？請(qǐng)大家用實(shí)驗(yàn)手冊(cè)上的紙片驗(yàn)證。

圖8

圖9

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下拼圖。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為能拼在一起，只有少數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑。

生6：我覺得是不能拼成的，因?yàn)槊娣e不一樣。圖8中的面積是64，圖9中的面積是65，面積增大了，不能拼在一起。

師：對(duì)。老師用幾何畫板演示一下（通過幾何畫板的演示和放大，學(xué)生看到圖9中間有一條縫隙）。至于中間為什么會(huì)有一道縫，等大家到了九年級(jí)就能用說(shuō)理的方式說(shuō)明了。

設(shè)計(jì)意圖：該活動(dòng)給學(xué)生充分的時(shí)間和動(dòng)手的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中進(jìn)一步提出問題并產(chǎn)生思考。教師借助幾何畫板的演示，讓學(xué)生的思維活動(dòng)從直觀感知上升到思辨推理，體會(huì)到實(shí)驗(yàn)操作得出的結(jié)論不一定正確，進(jìn)一步感知了證明的必要性，培養(yǎng)了理性精神，同時(shí)也激發(fā)了探究新知的欲望。

3.計(jì)算猜想

活動(dòng)3：探索代數(shù)式的值

師：已知代數(shù)式x2-2x+2，請(qǐng)回答下列問題。

（1）完成表1。

表1

（2）換幾個(gè)數(shù)再試試，大膽提出你的猜想。

結(jié)論1：代數(shù)式x2-2x+2的值都是偶數(shù)。

結(jié)論2：代數(shù)式x2-2x+2的值都是正數(shù)。

師：以上結(jié)論正確嗎？

生7：結(jié)論1不正確。當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式x2-2x+2的值為1。1是奇數(shù)，不是偶數(shù)。

師：所以，當(dāng)說(shuō)明一個(gè)結(jié)論不正確時(shí)，我們只要舉出反例即可。那結(jié)論2呢？

生8：結(jié)論2是正確的。我代入了好幾個(gè)x，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是正數(shù)。

師：你代入了幾個(gè)數(shù)？你能保證代入下一個(gè)后結(jié)果還是正的嗎？

生9：不能。

師：有限個(gè)數(shù)只能用來(lái)猜想。數(shù)學(xué)要“大膽猜想，小心求證”，你能說(shuō)說(shuō)這里的理由嗎？

生10：我們可以通過配方得到（x-1）2+1，所以結(jié)果都是大于或等于1的，自然都是正數(shù)了。

師：說(shuō)得太棒了。

設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般是一種常見的解決數(shù)學(xué)問題的方法，但這并不能從根本上解決問題，所以學(xué)生就產(chǎn)生了如何證明的欲望。本題包含兩層意思：一是要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論正確，需要經(jīng)過嚴(yán)密的推理論證，特別是用字母表示變量時(shí)；二是要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，只需要舉一個(gè)反例。學(xué)生在操作交流中提升對(duì)歸納猜想、合情推理的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，既獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，又掌握了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有助于發(fā)展勇于探索的創(chuàng)新精神。

活動(dòng)4：數(shù)學(xué)史料

教師介紹費(fèi)馬數(shù)和歐拉的故事（故事略）。

學(xué)生交流討論學(xué)習(xí)感想。

設(shè)計(jì)意圖：通過費(fèi)馬數(shù)和歐拉的故事，再次說(shuō)明只憑感覺或只靠對(duì)部分例子的研究來(lái)判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確是不夠的，合乎邏輯的推理證明是必要的。同時(shí)也用數(shù)學(xué)史提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

五、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。數(shù)學(xué)課不僅要再現(xiàn)生活數(shù)學(xué)的美麗圖景，還要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)“數(shù)”的海洋。教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入細(xì)致的觀察分析，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和直覺思維能力，同時(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng)可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在教學(xué)過程中，我們既要重視直觀教具的使用，還要盡可能地讓學(xué)生多參加實(shí)踐操作活動(dòng)。動(dòng)手剪、拼的過程是探索理性精神的引子，目的是讓學(xué)生自然而然地產(chǎn)生深入研究的欲望，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美和應(yīng)用美，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)美的文化價(jià)值。

這就要求教師在今后的教學(xué)中，學(xué)會(huì)用欣賞的眼光去審視數(shù)學(xué)知識(shí)，深入挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美，并運(yùn)用巧妙的手段寓美于教，讓學(xué)生懷美而學(xué)，喚起學(xué)生的審美欲望，使學(xué)生在汲取知識(shí)的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的美學(xué)價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)自我反思和勇于探索的理性精神。