呂恩勝

(河南應(yīng)用技術(shù)職業(yè)學(xué)院機電工程學(xué)院，鄭州 450042)

0 引言

混沌是一種普遍存在的自然現(xiàn)象，研究發(fā)現(xiàn)它對一些系統(tǒng)是有益處的，如混沌動力學(xué)理論應(yīng)用于金融穩(wěn)定[1]、保密通信[2]等領(lǐng)域，取得了顯著效果且有巨大的應(yīng)用前景。因此，研究人員開始關(guān)注混沌的產(chǎn)生，致力于非混沌系統(tǒng)進行混沌反控制的研究，目的是使穩(wěn)定系統(tǒng)混沌化或混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜[3-4]。采用的方法有：時延反饋法[5]、反饋控制法[6]、及脈沖控制法[7]等。反饋控制法應(yīng)用最為廣泛：Chua等[8-9]先后設(shè)計出的經(jīng)典蔡氏電路和憶阻器蔡氏電路，均為典型的三段式反饋控制系統(tǒng)，至今都是非線性電路研究的典范；梅春草等[10]利用相同和不同狀態(tài)變量的反饋控制，能對PMSGS系統(tǒng)產(chǎn)生混沌控制和反控制，提高風(fēng)能利用率；Li等[11]設(shè)計了自適應(yīng)混沌反饋控制(Adaptive Chaos Control，ACC)方法，提高系統(tǒng)的魯棒性和工作效率；劉爽等[12]設(shè)計了一個反饋控制器，對心臟起搏器混沌模型進行控制，使心臟從病態(tài)恢復(fù)到正常生理機能狀態(tài)。

為了使非混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌動力學(xué)行為，文獻[13]對式(1)線性系統(tǒng)進行混沌反控制設(shè)計，原理如式(2)所示。

(1)

(2)

其中，常向量c∈R3，A是3×3的矩陣，B是3×1的矩陣，狀態(tài)變量x=(x,y,z)T∈R3，S(x)為切換平面，控制器u(x)=(Bx+k)，是設(shè)計的核心，k∈R3。矩陣A的特征值為：λ1,2=α±iβ，λ3=-γ，為了使系統(tǒng)式(1)混沌化，要求：α>0，γ>0，根據(jù)Lyapunov第一法知道系統(tǒng)式(1)是不穩(wěn)定的，可得原點是式(1)唯一的平衡點。設(shè)計一個合適的矩陣B，使得A+B是一個穩(wěn)定矩陣，A+B的所有特征值實部都是負值；再設(shè)計一個合適的參數(shù)k，使得(A+B)x+k=0的解位于區(qū)域{x∈R3，S(x)>c}中。使得系統(tǒng)在S(x)切換平面兩側(cè)之間來回跳躍，可得到一個簡單的控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)是分段線性的，是混沌的。

針對文獻[13]提出的混沌反控制系統(tǒng)，文獻[6]也做過研究，設(shè)計的sign(z)較為陡峭，工程中難以實現(xiàn)。為了使它在工程領(lǐng)域中更好地發(fā)揮其應(yīng)用價值，有必要做進一步的研究，設(shè)計出更合適的混沌反控制方案。設(shè)計通用的矩陣A和分段線性狀態(tài)反饋切換控制器，得到新的混沌系統(tǒng)，通過調(diào)節(jié)其系數(shù)可以實現(xiàn)不同的混沌反控制，豐富原系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，新的混沌系統(tǒng)具有更豐富的隨機性及初值敏感性，在圖像加密的應(yīng)用中具有一定的優(yōu)勢。

1 鏡像混沌吸引子設(shè)計

文獻[13]設(shè)計的混沌吸引子位于z=0平面上側(cè)空間，設(shè)計新的u(x)控制器和S(x)切換平面，目的是使生成的混沌吸引子與文獻[13]中的混沌吸引子關(guān)于z=0平面鏡像對稱，設(shè)計的控制器u(x)為

(3)

設(shè)計的切換平面S(x)為

(4)

新的混沌系統(tǒng)為

(5)

2 對稱混沌吸引子設(shè)計

文獻[13]研究的只是一個特例，將系統(tǒng)式(1)、(2)中矩陣A通用化，即

(6)

為了將式(3)和文獻[13]的控制器融合，設(shè)計的u(x)控制器如式(7)所示。

(7)

研究發(fā)現(xiàn)，式(7)控制器u(x)，它的前兩段是分段線性的，但沒有考慮到z=0的情況，為此設(shè)計飽和函數(shù)sat(z)，其中p>0為增益，實現(xiàn)了變量z的連續(xù)性，能將文獻[13]設(shè)計的上吸引子和式(5)的下吸引子連接在一起。當(dāng)m=n>0，e=f>0，d1=d2>0時，式(7)的控制器是關(guān)于z=0平面對稱的。

設(shè)計的sat(z)函數(shù)

(8)

在式(7)的控制器中，當(dāng)z>0時，負值-pz/τ<0迫使軌道進入z<0空間；當(dāng)z<0時，正值-pz/τ>0迫使軌道進入z>0空間。τ<1，τ越小sat(z)函數(shù)越陡峭，軌道切換速度越快，但是物理實現(xiàn)困難，本文τ=0.01。

再次得到的新混沌系統(tǒng)為

(9)

設(shè)a=20，b=20，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=d2=6，p=1，在MATLAB軟件上采用Runge-Kutta方法仿真系統(tǒng)式(9)，得到的對稱混沌吸引子如圖2所示，設(shè)a從0到5變化時，其余參數(shù)不變，圖3表明，該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)(LE)大于零，則此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖1 鏡像混沌吸引子Fig.1 Mirror chaotic attractor

圖2 對稱混沌吸引子Fig.2 Symmetric chaotic attractor

圖3 最大LEFig.3 Maximum LE

3 混沌動力學(xué)行為分析

3.1 定義域

式(7)表示的控制器u(x)，其定義域，可以細分為3個區(qū)

(10)

3.2 對稱性

對于任何參數(shù)，系統(tǒng)式(9)的x,y坐標(biāo)做變換，(x，y，z)→(-x，-y，z)，系統(tǒng)的模型保持不變，且關(guān)于z=0平面是對稱的。

3.3 耗散性

設(shè)定：a>0，c<-2a，m>0，n>0，p>0，在式(10)定義域范圍內(nèi)，式(9)相空間容積V(t)變化率

(11)

可以求得

(12)

V(0)為初始容積

(13)

根據(jù)設(shè)定c<-2a，當(dāng)t→∞時，V(t)=0，系統(tǒng)是耗散且混沌的，系統(tǒng)軌道以指數(shù)速率收縮，最終將限制在R3空間中的一個體積為零的集合上，其混沌動力學(xué)行為被限制在其吸引子上。

3.4 系統(tǒng)平衡點的特性

系統(tǒng)式(9)在平衡點O2(0，0，0)的Jacobi矩陣為

(14)

該Jacobi矩陣的特征方程為

λ3-(2a+c-p/τ)λ2+(2a(c-p/τ)+a2+b2)λ-(a2+b2)(c-p/τ)=0

(15)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)[14]，若式(15)：a<0，-(2a+c-p/τ)>0，(c-p/τ)<0時，系統(tǒng)式(9)在平衡點O2(0，0，0)是漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，又若a=0，c-p/τ<0時，平衡點是系統(tǒng)式(9)的hopf分岔點[15]。

同理：在平衡點O1，當(dāng)(a-m)<0，-(2a+c)>0，c<0時平衡點是漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，又若(a-m)=0，c<0時平衡點是系統(tǒng)式(9)的hopf分岔點；當(dāng)(a-n)<0，-(2a+c)>0，c<0時在平衡點是漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，又若(a-n)=0，c<0時平衡點是系統(tǒng)式(9)的hopf分岔點。

4 參數(shù)變化的動力學(xué)分析

4.1 參數(shù)a變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數(shù)b=20，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數(shù)a變化，系統(tǒng)動力學(xué)行為變化如圖4所示。

結(jié)合修正指數(shù)中相關(guān)性分析結(jié)果和顯著性水平，8個觀測變量中Reason1和Preference1間相關(guān)系數(shù)達到0.51，p<0.001，說明出于會話內(nèi)容本身原因使用英漢混雜和偏好混雜名詞和語氣詞間存在顯著相關(guān)關(guān)系，似乎表明使用者出于表達專業(yè)術(shù)語、保持英文原汁原味、漢語中無對應(yīng)詞，避免漢語可能會出現(xiàn)尷尬禁忌，營造氣氛等原因使用英漢語碼混雜，其混雜詞多為名詞和語氣詞，這一發(fā)現(xiàn)也較為符合語言交流的實際。

仿真相圖的動力學(xué)行為表現(xiàn)為：當(dāng)a<0時，系統(tǒng)軌道衰減振蕩，收斂于一個穩(wěn)定的平衡點；當(dāng)a=0或5時，系統(tǒng)軌道收斂于極限環(huán)；當(dāng)05時，系統(tǒng)軌道發(fā)散。系統(tǒng)仿真結(jié)果與3.4節(jié)理論分析一致，尤其是0

圖4 參數(shù)a作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.4 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameter a

圖5 參數(shù)b作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.5 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameter b

4.2 參數(shù)b變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數(shù)a=2，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數(shù)b變化，系統(tǒng)動力學(xué)行為變化如圖5所示。

仿真相圖的動力學(xué)行為表現(xiàn)為：當(dāng)b=0時，系統(tǒng)存在一個環(huán)；當(dāng)b≠0時，系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)。

4.3 參數(shù)c變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數(shù)a=2，b=20，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數(shù)c變化，系統(tǒng)動力學(xué)行為變化如圖6所示。

圖6 參數(shù)c作用下系統(tǒng)式(9)的相圖Fig.6 Phase diagram of system (9) under the action of parameter c

仿真相圖的動力學(xué)行為表現(xiàn)為：當(dāng)c≥0時，系統(tǒng)發(fā)散；當(dāng)-12≤c<0時，系統(tǒng)軌道衰減振蕩，收斂于一個穩(wěn)定的平衡點；當(dāng)c<-12時，系統(tǒng)是混沌的。

4.4 參數(shù)m、n變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數(shù)a=2，b=20，c=-15，e=f=12，d1=-d2=6，p=1，參數(shù)m，n變化時，系統(tǒng)動力學(xué)行為變化如圖7所示。

圖7 參數(shù)m、n作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.7 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameters m and n

圖8 雙重加密流程圖Fig.8 Flow chart of dual encryption

5 在圖像加密中的應(yīng)用

1997年Fridrich首次將混沌理論引入圖像加密中，由于效率高、操作速度快，伴隨互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，混沌加密成為近些年研究的熱點問題[15-17]?；诒Ｃ馨踩煽康囊?，本研究采用的是雙重加密，加密流程如圖8所示。

5.1 加密原理

讀入明文圖像P，獲取圖像矩陣的行數(shù)M和列數(shù)N，將明文圖像展開成一維向量，記為A，大小為M×N，對向量A的任一點坐標(biāo)位置(1，j)進行如式(17)所示的改進的Arnold變換，得到新的坐標(biāo)(pj，qj)，對像素點(1，j)和(1，qj)交換位置，該算法僅考慮列坐標(biāo)，即不考慮pj的作用。{x0,y0,z0}為初始值,作為密鑰1，利用ode45算法計算混沌系統(tǒng)并迭代2×M×N+800次，去除前800點，得到3個序列{xj,yj,zj}，aj和bj為偽隨機變量{xj}變換得到，如式(16)所示，多次實驗表明，將明文圖像展開成一維向量，再將置亂后的一維向量還原成二維矩陣，比起整行整列操作，效果更好，但運算量更大。

x=mod(floor((x+20)×105),10×max(M,N))+1

a=x(1∶M×N)；b=x(M×N+1∶2×M×N)

(16)

(17)

像素位置置亂加密變換：j=1∶M×N，解密逆變換：j=M×N∶-1∶1。

單一的置亂算法，無論多么復(fù)雜，無法對抗明文的攻擊，因此在置亂后同步擴散算法，設(shè)計的擴散處理為加取模和循環(huán)左移的算法，明文圖像被展開為一維向量Pi，Ci、Si為密文向量。C0為自設(shè)密鑰2，利用ode45算法再次計算混沌系統(tǒng)并迭代M×N+800次，去除前800點，得到3個序列{xi,yi,zi}，Ci、Si為密文向量偽隨機變量{xi}變換得到,如式(18)所示，加密原理如式(19)所示，解密原理如式(20)所示。

L=mod(floor(x×pow2(16))，256)

S=L(1∶M×N)

(18)

Ci=(Ci-1+Si+Pi)mod256；Ci=Ci?LSB3(Ci-1)

(19)

Pi=Ci?RSB3(Ci-1)；Pi=(2×256+Ci-Ci-1+Si)mod256

(20)

像素值置亂加密變換：i=1∶M×N，解密逆變換：i=M×N∶-1∶1。

5.2 仿真實驗結(jié)果

仿真結(jié)果表明：圖10a、圖11和表1表明Lena明文圖像在水平、垂直和對角線3個方向上的相關(guān)系數(shù)接近于1，圖10b、12和表1表明密文圖像的像素均勻分布，其相關(guān)系數(shù)接近于0，該加密算法破壞了明文圖像的相關(guān)特征，表明該加密效果良好。與其他加密方法對比后可知，該加密方案效果更為理想。

圖9 圖像加密解密效果圖Fig.9 Effect drawing of image encryption and decryption

圖10 直方圖Fig.10 Histogram

圖11 明文圖像相鄰像素分布Fig.11 Adjacent pixel distribution of plaintext image

圖12 密文圖像相鄰像素分布Fig.12 Adjacent pixel distribution of ciphertext image

表1 相鄰像素在不同方向上的相關(guān)系數(shù)Tab.1 Correlation coefficients of adjacent pixels in different directions

6 結(jié)論

本文以文獻[13]的混沌系統(tǒng)為研究對象，利用改進的反饋控制器，進一步豐富混沌系統(tǒng)動力學(xué)行為，討論了各參數(shù)對動力學(xué)行為的影響，充分展示了新系統(tǒng)的混沌特性。最后將混沌系統(tǒng)與像素值和像素位置置亂加密算法相結(jié)合，極大地增強了系統(tǒng)加密的安全性。在實際中，刻意產(chǎn)生或強化混沌動力學(xué)行為是一件有意義的事情，利用混沌的優(yōu)點可以在生產(chǎn)中取得更加理想的效果。