謝東東，金曉清,，蔣志楨，錢厚鵬，李 璞,2

(1.重慶大學(xué) a.航空航天學(xué)院；b. 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，深圳 518055)

工程材料的綜合性能與航空航天、新能源汽車、集成電路、機(jī)械工程、建筑工程等高新技術(shù)和民生產(chǎn)業(yè)的發(fā)展密切相關(guān)，材料中存在的雜質(zhì)或者夾雜往往會(huì)改變其宏微觀力學(xué)性能，從而影響工程結(jié)構(gòu)和零部件的可靠性及使用壽命。Mura[1]將諸如熱膨脹、相變、塑性應(yīng)變和初始應(yīng)變等非彈性形變統(tǒng)稱為本征應(yīng)變，基體材料中包含的具有本征應(yīng)變的子區(qū)域則稱為夾雜。夾雜問題的研究可廣泛應(yīng)用于多個(gè)物理力學(xué)領(lǐng)域。如熱失效是半導(dǎo)體研發(fā)中重點(diǎn)關(guān)注的問題，芯片在封裝測(cè)試過程中由于材料熱膨脹系數(shù)的不匹配會(huì)導(dǎo)致芯片出現(xiàn)翹曲[2]、分層失效[3]等現(xiàn)象而影響集成電路的性能。合金在熔煉過程中通常會(huì)析出夾雜物[4]，而夾雜物的存在有時(shí)也可以提高材料的力學(xué)性能，例如在面心立方結(jié)構(gòu)FeCoNiCr高熵合金中加入Ti和Al，產(chǎn)生的納米級(jí)共格析出相能夠顯著增強(qiáng)合金強(qiáng)度[5]。

工程材料中夾雜的形狀通常是不規(guī)則的，其彈性場的解析解往往不易求解，對(duì)于一些特定形狀的夾雜，國內(nèi)外力學(xué)工作者已經(jīng)進(jìn)行了大量深入的研究。夾雜問題的突破性工作是始于Eshelby[6]對(duì)全空間橢球形夾雜的彈性場的研究，發(fā)現(xiàn)在均勻本征應(yīng)變作用下橢球內(nèi)部的彈性場是均勻分布的，還開創(chuàng)性地提出了等效夾雜方法。Chiu[7]利用伽遼金矢量法給出了全空間長方體夾雜的位移梯度的三重傅里葉積分表達(dá)式，進(jìn)一步可以根據(jù)幾何方程和胡克定律求出應(yīng)變場和應(yīng)力場，隨后又基于鏡像法研究了半空間長方體夾雜的應(yīng)力場和表面位移場[8]，半空間夾雜問題相對(duì)來說更具有工程實(shí)際意義，而由于涉及到自由表面的影響，求解過程更加復(fù)雜。

對(duì)于平面問題，Chiu[9]利用傅里葉變換法，得到了全平面矩形夾雜在平面應(yīng)力情況下應(yīng)力場的表達(dá)式。Hu[10]將三維半空間退化到平面應(yīng)變的情況，推導(dǎo)了半平面矩形熱夾雜外場的應(yīng)力場。Ru[11]利用保角變換和解析延拓的方法得到了全平面和半平面任意形狀?yuàn)A雜的解析解。Jin等[12]基于矩形夾雜解[9]推導(dǎo)了平面夾雜問題的應(yīng)力格林函數(shù)，利用格林函數(shù)將應(yīng)力內(nèi)外場統(tǒng)一表示成面積積分的形式，由于量子線與基體的晶格錯(cuò)配可以用平面應(yīng)變條件下的靜水夾雜模型等效，還指出了其方法在量子線結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，對(duì)于均勻分布的本征應(yīng)變夾雜問題，可以利用格林定理將應(yīng)力場轉(zhuǎn)化成圍道積分。Jin等[13-14]基于全空間橢球夾雜的結(jié)果，通過三維退化的方法，推導(dǎo)了全平面橢圓形夾雜的應(yīng)力場、應(yīng)變場和位移場。Li等[15]利用格林函數(shù)法推導(dǎo)了平面任意多邊形夾雜的位移解，并可將其應(yīng)用于線性分布本征應(yīng)變的夾雜問題，與經(jīng)典的Eshelby橢球夾雜[6]不同，多邊形夾雜的內(nèi)外場位移解可以表示成統(tǒng)一的形式。

1 記號(hào)方法

在平面夾雜問題中，為了求解任意形狀?yuàn)A雜所產(chǎn)生的彈性場，通常可以將任意形狀的夾雜離散成大小均勻的矩形單元，通過疊加每個(gè)矩形單元所產(chǎn)生的彈性場得到最終的夾雜解。半平面夾雜解可以從三維半空間夾雜問題退化得到，對(duì)于半空間問題中夾雜所引起的位移場和應(yīng)力場可以采用鏡像法或直接通過使用勢(shì)函數(shù)和伽遼金矢量法求得[16]。

(1)

(2)

圖1 半平面矩形夾雜示意圖Fig. 1 Schematic diagram of rectangular inclusion in half-plane

與全平面對(duì)應(yīng)的卷積積分可以表示為

(3)

(4)

考慮如下變量代換

(5)

使用變量代換，并交換積分上下限后，式(3)(4)可以寫成如下表達(dá)形式

(6)

(7)

其中

(8)

如果格林函數(shù)G1(ξ1,ξ3)的原函數(shù)為Γ1(ξ1,ξ3)，就可以求得式(6)中的積分函數(shù)的顯式表達(dá)形式

(9)

上述式子中括號(hào)里的變量分別表示矩形的4個(gè)角點(diǎn)指向響應(yīng)點(diǎn)的向量的分量，根據(jù)金曉清等[17]所引入的記號(hào)方法，式(9)可以寫成

g1=Γ1(x,z)|[x0,z0;Δx,Δz]。

(10)

同樣地，如果Γ2(ξ1,ξ3)是格林函數(shù)G2(ξ1,ξ3)的原函數(shù)，則式(7)的積分結(jié)果為

(11)

采用上述記號(hào)方法，與鏡像夾雜相關(guān)的響應(yīng)解g2可以表示成如下形式

g2=Γ2(x,z)|[x0,-z0;Δx,Δz]。

(12)

式(10)和式(12)中所采用的記號(hào)方法包含了計(jì)算場點(diǎn)(x,z)處響應(yīng)所需的全部必要信息，即矩形激勵(lì)區(qū)域的中心坐標(biāo)(x0,z0)，矩形邊長Δx，Δz，響應(yīng)解g1和g2分別是由場點(diǎn)坐標(biāo)、矩形中點(diǎn)坐標(biāo)、矩形邊長所組成的4個(gè)積分上下限在響應(yīng)原函數(shù)Γ1(x,z)和Γ2(x,z)上的代數(shù)和。該記號(hào)方法直觀簡潔地表達(dá)了響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的卷積性質(zhì)，以及響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)鏡像點(diǎn)沿z軸方向分量之間的自相關(guān)性質(zhì)，在采用半解析數(shù)值算法求解任意形狀?yuàn)A雜問題時(shí)可以結(jié)合快速傅里葉算法進(jìn)行加速計(jì)算。

2 半平面夾雜問題的基本單元解

采用數(shù)值離散方法求解任意形狀?yuàn)A雜問題時(shí)一般可以通過將計(jì)算域離散成大小均勻的矩形單元，然后疊加每個(gè)矩形夾雜單元所產(chǎn)生彈性場求出最終的數(shù)值解，因此有必要研究單個(gè)矩形夾雜產(chǎn)生的位移、應(yīng)力場，也即半平面夾雜問題的基本單元解。

半平面夾雜問題中位移場的基本單元解的矩陣表達(dá)形式如下：

(13)

其中，位移影響系數(shù)Wikl與位移響應(yīng)原函數(shù)wikl之間的關(guān)系可以用引入的記號(hào)方法表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

半平面夾雜問題中應(yīng)力的基本單元解的矩陣形式可以表示為

(19)

影響系數(shù)Tijkl與應(yīng)力響應(yīng)原函數(shù)tijkl之間的關(guān)系可以表示為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3 半平面任意形狀?yuàn)A雜數(shù)值算法

對(duì)于半平面夾雜問題，采用有限元法計(jì)算時(shí)需要在一個(gè)半無限域上進(jìn)行網(wǎng)格離散，也即計(jì)算域尺寸需要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于夾雜尺寸，而且還需在夾雜邊界周圍細(xì)化網(wǎng)格才能滿足計(jì)算精度?；谏弦还?jié)中求得半平面夾雜的基本單元解，只需將包含任意形狀?yuàn)A雜的矩形有限計(jì)算域離散成Nx×Nz個(gè)大小均勻的矩形網(wǎng)格單元，計(jì)算域的中心為(x0,z0)，邊長分別為2a，2b。激勵(lì)場單元和響應(yīng)場單元中點(diǎn)的位置編號(hào)分別定義為(m′,n′)和(m,n)。為了避免在運(yùn)算過程中進(jìn)行坐標(biāo)變換增加計(jì)算量，矩形單元的邊分別平行于對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸，邊長分別為Δx，Δz，如圖2所示。

圖2 半平面任意形狀?yuàn)A雜矩形單元離散示意圖Fig. 2 Schematic diagram of discrete rectangular element of arbitrarily shaped inclusion in half-plane

以位移解為例，通過疊加離散后的矩形單元解，就可以得到任意形狀?yuàn)A雜位移場的數(shù)值解，如式(25)所示。應(yīng)力解可以通過同樣的離散方法求得。

(25)

圖3 半平面六邊形/圓形夾雜模型示意圖 Fig. 3 Schematic diagram of hexagon/circular inclusion model in half-plane

表1 半平面六邊形/圓形夾雜模型參數(shù)

圖4 位移數(shù)值解和有限元解對(duì)比結(jié)果Fig. 4 Verification of the displacement numerical solutions with FEM results

4 結(jié) 論

1)通過將長方體夾雜的一個(gè)維度無限延展的極限算法，推導(dǎo)了平面應(yīng)變問題中二維半平面矩形夾雜的位移、應(yīng)力場的基本單元解。與經(jīng)典的Eshelby橢球夾雜解相比，矩形夾雜內(nèi)外彈性場的解析解可以寫成統(tǒng)一的形式。進(jìn)一步還可以通過平面應(yīng)變和平面應(yīng)力的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將文中提出的基本單元解應(yīng)用到平面應(yīng)力情況。

2)以位移解為例，通過矩形單元離散任意形狀?yuàn)A雜，推導(dǎo)了半平面任意形狀?yuàn)A雜位移場的數(shù)值解形式，將提出的基本單元解應(yīng)用于求解半平面夾雜問題彈性場的數(shù)值解。

3)以半平面正六邊形和圓形夾雜為例，將本文中的數(shù)值方法與有限元軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的矩形基本單元解及數(shù)值算法的正確性。