樊華羽,李典,郝海兵,梁益華

(中國航空工業(yè)集團西安航空計算技術研究所,陜西 西安 710065)

航空科學技術的快速發(fā)展對飛行器氣動力優(yōu)化設計技術提出了更高的需求。借助各種優(yōu)化算法，可以實現(xiàn)翼型、翼身組合體甚至全機減阻降噪設計與分析，為各種新型的飛行器研制提供支撐。

氣動力優(yōu)化設計[1]的關鍵技術之一就是優(yōu)化算法。根據(jù)優(yōu)化機制和行為的不同，這些優(yōu)化算法可以分為兩類：經(jīng)典優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法。相比之下，以粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[2]和差分演化算法(differential evolution algorithm,DE)[3]為代表的智能優(yōu)化算法由于良好的并行效率、全局性以及魯棒性，得到了更多的關注。其中，PSO算法簡潔易行、參數(shù)少、優(yōu)化能力強，是氣動優(yōu)化領域廣泛使用的算法之一。然而，該算法依然存在固有的缺陷，在進化后期，算法側重于開采能力，容易陷入局部極值點，收斂速度慢，精度較差。為此，研究人員進行了一系列的研究工作并相繼提出了多個改進的PSO算法。文獻[4]針對PSO算法容易陷入早熟的缺點，對PSO算法引入田口算法思想，進行多目標優(yōu)化，取得較好效果，但其是對單波束和半功率寬度進行優(yōu)化，而沒有用在多波束賦形方向，且該算法優(yōu)化目標數(shù)較少。魏法等[5]從自適應操作粒子結構以及采用反梯度加權的方式平衡粒子群優(yōu)化算法的全局搜索與局部搜索能力，通過對陣列相位、幅度優(yōu)化實現(xiàn)低旁瓣、窄波束寬度和高增益效果。明振興等[6]通過粒子群算法中的慣性權重線性化，使用余弦函數(shù)改進算法中的學習因子，使算法能夠兼顧全局與局部尋優(yōu)性能，并將改進后的粒子群算法應用于LED光源陣列的優(yōu)化。周飛紅[7]對粒子群算法引入爆炸因子，讓粒子群能夠通過爆炸的方式增強搜索能力，有利于算法跳出局部最優(yōu)解，提高算法的搜索能力。李真等[8]將粒子群優(yōu)化算法結合灰狼算法，根據(jù)自然界中的優(yōu)勝劣汰法則，對每代種群中的最差粒子進行進化，提高粒子群算法的優(yōu)化性能。綜上所述，無論何種改進的PSO算法，出發(fā)點都是如何在提高算法收斂速度的同時提高全局收斂性，避免算法陷入局部最優(yōu)，但是這些算法的調(diào)參方法和應用能力各有優(yōu)劣。

本文針對飛行器氣動優(yōu)化設計中廣泛使用的PSO算法的不足之處開展改進研究。在綜合分析各種改進算法的基礎上，提出了一種基于Alpha-stable動態(tài)變異的新型粒子群優(yōu)化算法，使用多個測試函數(shù)對該算法的低、中、高維設計變量下的尋優(yōu)能力進行了分析，最終將其應用到實際的氣動優(yōu)化領域，分析研究了RAE2822二維翼型的減阻設計。

1 基于Alpha-stable變異的粒子群算法

在粒子群優(yōu)化算法中，粒子通過(1)～(2)式來更新自己的位置與速度。

(1)

(2)

式中:i=1,2,…,N;j=1,2,…,n;x表示粒子所在位置;v表示粒子速度；ω為慣性權重因子，是一個在[0.4,0.9]之間動態(tài)變化的參數(shù)，它決定了粒子繼承當前速度的程度，常見的動態(tài)變化策略主要有線性遞減與線性微分等；c1,c2為學習因子，主要用來調(diào)節(jié)粒子群步長的參數(shù)；r1,r2為(0,1)之間的隨機數(shù)；下標i和j表示第i個粒子和第j維；上標t為進化代數(shù)。

1.1 Alpha-stable分布的概率密度函數(shù)

概率密度函數(shù)是常用且極為重要的表示函數(shù)分布的工具，圖像中一般表現(xiàn)為尾端趨近于冪律分布，頭端偏離冪律分布。由于Alpha-stable分布的概率密度函數(shù)是存在且連續(xù)的，所以可以用Alpha-stable分布的特征函數(shù)的連續(xù)傅里葉變換來定義

(3)

式中:sign(t)是t的符號;φ表示為

(4)

在Alpha stable分布中有3個特例:

1) 當α=2,β=0時，表示高斯分布，其概率密度函數(shù)為

2) 當α=1,β=0時表示柯西分布，其概率密度函數(shù)為

3) 當α=0.5,β=1時表示Levy分布，其概率密度函數(shù)為

圖1 高斯分布、柯西分布和Levy分布的概率密度函數(shù)圖

除了高斯分布、柯西分布分布Levy分布以外，一般的穩(wěn)定密度函數(shù)沒有已知的封閉表達式，且其他任何穩(wěn)定分布的密度函數(shù)都不太可能有封閉表達式。Zolotarev的研究表明[9]，僅在極少數(shù)情況下，可以用某些特殊函數(shù)表示。

將Alpha-stable分布X∈Sα(0,1,0)在α∈(0,2]內(nèi)選擇6個不同的α得到如圖2所示的變化圖。此時β=0，密度函數(shù)呈現(xiàn)關于0的對稱分布。

在Alpha-stable分布中，圖2a)呈現(xiàn)出鐘型的對稱穩(wěn)定分布，可以看出當α減小時，函數(shù)圖形會呈現(xiàn)3種變化：峰值變高、峰值兩側的區(qū)域變低、尾部變重。在圖2b)中可以了解當α減小時尾部概率是如何增加的。通過改變穩(wěn)定性系數(shù)α的大小，就可以改變成不同的Alpha-stable分布。

圖2 函數(shù)圖

1.2 穩(wěn)定性系數(shù)α的變化策略與分析

由于粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)，通常在粒子群算法中加入一個確定的變異因子以避免過早陷入局部最優(yōu)。本文選擇通過Alpha-stable分布產(chǎn)生的隨機數(shù)對粒子群算法中的個體進行變異操作。不同的穩(wěn)定性系數(shù)α的變化過程決定不同的變異策略，本節(jié)通過測試函數(shù)來驗證3種不同的變異策略下ASPSO優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力。設置1為前期加速的上凸二階函數(shù)型變異策略，設置2為無加速一階函數(shù)型變異策略，設置3為后期加速的下凹二階函數(shù)型變異策略，3種不同的變異策略趨勢見圖3。

圖3 不同設置的Alpha變化策略

通過7種標準測試函數(shù)在30維下的函數(shù)測試結果來比較哪種變異策略更具有優(yōu)勢。算法的種群規(guī)模均取100。慣性權重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。穩(wěn)定性系數(shù)α的取值從1增加到2。所有算法的加速常數(shù)c1=c2=15。分別用3種算法搜索運行30次，每次運行迭代1 000次，統(tǒng)計30次優(yōu)化的平均目標函數(shù)值和搜索到的最小目標函數(shù)值。

表1 不同變化策略下的測試函數(shù)結果對比

通過表1可以看出3種設置下的Alpha變化策略對粒子群優(yōu)化算法的影響。一開始都是使用較小的α值，此時的變異方式為柯西變異，此種變異方式能夠幫助提高粒子群優(yōu)化算法的全局搜索能力，隨著α值逐漸增大到2，變異方式也從柯西變異變化為傳統(tǒng)的高斯變異，此種變異方式能夠提高算法末期的搜索精度。那么表1中可以明確看出在設置1與設置2下，由于α值的增速過大，Alpha-stable變異過快地從柯西變異過渡為高斯變異，即過快地從尋找全局最優(yōu)轉(zhuǎn)換為局部尋優(yōu)，不能較為優(yōu)秀地幫助粒子群完成優(yōu)化任務?？偟膩碚f，3種不同的設置方式下都能夠得到較優(yōu)秀的測試結果。其中測試結果差異較大的函數(shù)為Rosenbrock函數(shù)和Griewank函數(shù)。Rosenbrock函數(shù)是病態(tài)的，在極值周圍梯度極小。Griewank函數(shù)是典型的非線性多模態(tài)函數(shù)，具有大量的局部極小值點。正是因為這2個函數(shù)本身的特點，對較為激進的變異策略較敏感，使得設置1和設置2情況下的測試結果沒有設置3的數(shù)值優(yōu)秀。設置3的變異策略在開始階段使用較小的α值，采用變異能力較強的柯西變異增強了粒子群算法在初始階段的的全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)；隨著算法進程α值逐漸增大，最終增大為2，此時的變異方式為傳統(tǒng)的高斯變異，提升算法末期的局部搜索能力，增強算法的搜索精度。通過動態(tài)調(diào)整Alpha-stable函數(shù)的穩(wěn)定性系數(shù)α，完成變異范圍以及幅度的變化，從而使優(yōu)化算法能在搜索最優(yōu)解時具有更好的精度以及全局搜索能力。最終選擇設置3作為本文優(yōu)化算法中的變異策略，穩(wěn)定性系數(shù)α的變化過程見圖4，本文命名在此變異策略下的粒子群算法為基于Alpha-stable分布的粒子群算法(ASPSO)。

圖4 α值的變化過程

2 算法驗證

2.1 低維優(yōu)化問題尋優(yōu)能力檢驗

在低維優(yōu)化問題的尋優(yōu)能力檢驗中，3個優(yōu)化算法的參數(shù)設定為：設計變量為30維，種群規(guī)模均取為100?；綪SO算法的慣性權重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。ASPSO算法的穩(wěn)定性系數(shù)α的取值從1增加到2，變異策略為1.2節(jié)中所驗證的設置3下凹型曲線。所有算法的加速常數(shù)c1=c2=1.5。分別用3種算法搜索運行30次，每次運行迭代1 000次，統(tǒng)計30次優(yōu)化的平均目標函數(shù)值和搜索到的最小目標函數(shù)值。

表2顯示了在低維優(yōu)化問題上7個測試函數(shù)的檢驗結果?？梢钥闯?，不論是這7個測試結果的均值還是標準差，本文建立的ASPSO算法都是要優(yōu)于其他2種算法。為了更突出地顯示ASPSO優(yōu)化算法的優(yōu)化性能，在圖5中，顯示了3種優(yōu)化算法在30維下的Rastrigin函數(shù)全局最優(yōu)值收斂曲線?？梢院苊黠@地看出ASPSO算法甚至能在大量正弦拐點排列很深的局部最優(yōu)點前提下直接搜索到最優(yōu)解0，顯示了其具有的優(yōu)化性能。綜合來說，在低維優(yōu)化問題中，ASPSO優(yōu)化算法優(yōu)于DE算法以及PSO優(yōu)化算法。

表2 低維優(yōu)化問題計算效果對比

圖5 3種算法在Rastrigin函數(shù)的低維優(yōu)化全局收斂圖

2.2 中、高維優(yōu)化問題尋優(yōu)能力檢驗

將設計變量分別擴展到60和100維，其他參數(shù)不變，測試3種算法在中、高維問題中的尋優(yōu)能力。具體參數(shù)設置跟低維優(yōu)化問題時相同，每種算法進行30次優(yōu)化，每次進行1 000次迭代，最后統(tǒng)計得到這30次優(yōu)化結果的平均目標函數(shù)值與最小函數(shù)值。

Rastrigin函數(shù)60維設計變量優(yōu)化問題的全局收斂曲線見圖6。7個函數(shù)的均值和標準差結果見表3。Rosenbrock函數(shù)的100維高維問題的收斂曲線見圖7，7個函數(shù)的均值和標準差值統(tǒng)計結果見表4?？梢钥闯鲭S著維數(shù)的增加，3種算法的尋優(yōu)精度都不同程度地降低，尤其是在高維優(yōu)化問題中，尋優(yōu)精度下降得很厲害。但是相比來看，在調(diào)用目標函數(shù)次數(shù)相同的情況下，ASPSO在平均值和標準差上都反映出了更高的精度，收斂效果更好，表明了其對于中、高維問題的較好適應能力。

圖6 3種算法在Rastrigin函數(shù)的中維優(yōu)化全局收斂圖

圖7 3種算法在Rosenbrock函數(shù)的高維優(yōu)化全局收斂圖

表3 中維優(yōu)化問題計算結果對比

表4 高維優(yōu)化問題計算效果對比

綜上來看，無論是對低維還是中高維問題，相比基本PSO算法和DE算法，ASPSO算法都能夠以更快的收斂速度、穩(wěn)定性和魯棒性獲得單峰及多峰函數(shù)更高精度的最優(yōu)解。同時還能夠發(fā)現(xiàn)，以較為難以得到結果的Rosenbrock函數(shù)為例，在處理同一個函數(shù)不同維度的最優(yōu)問題時，DE算法的性能相對較差，都無法尋優(yōu)。而對比PSO與ASPSO算法，可以看出，中高維尋優(yōu)中PSO算法有明顯的性能下降，而ASPSO則體現(xiàn)了更為優(yōu)秀的魯棒性。所以相比其他2種算法，ASPSO是一種更加穩(wěn)定且高效的全局優(yōu)化算法。

2.3 多種PSO算法性能對比

為了能夠更為全面地驗證ASPSO優(yōu)化算法的性能與優(yōu)勢，本節(jié)將選擇多個先進PSO改進算法與ASPSO優(yōu)化算法進行對比實驗。本節(jié)選取的算法有：PSO-DAC(PSO based on dynamic acceleration coefficients)[10]、NDPSO(a normal distribution decay inertial weight PSO)[11]、EXPPSO(exponential decay weight PSO)[12]、SCVPSO(self-conclusion and self-adaptive variation PSD)[13]。PSO-DAC算法是基于動態(tài)加速因子的改進粒子群優(yōu)化算法，通過引入動態(tài)的加速因子，改善粒子群算法的收斂速度及精度。NDPSO算法以正態(tài)分布曲線作為慣性權重的衰減策略曲線，引入控制因子對粒子的位置進行改善，使NDPSO算法能夠在優(yōu)化過程中很好地平衡全局搜索與局部搜索能力。EXPPSO算法在速度更新方程中引入約束因子，并對慣性系數(shù)采用指數(shù)衰減模式，使算法能夠兼顧優(yōu)秀的全局以及局部搜索能力。SCVPSO算法采用動態(tài)慣性權重、反向搜索以及引入新的參數(shù)SCR(self-conclusion rate)等方法綜合性地提高粒子群的優(yōu)化性能。本驗證環(huán)節(jié)的算法參數(shù)設置為：設計變量為30維，種群規(guī)模均取為100。非特殊算法的慣性權重在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。其余的采用其特有的慣性權重遞減方式。所有算法的加速常數(shù)及ASPSO算法中的穩(wěn)定性系數(shù)變化策略保持不變。為了全面驗證算法的性能，驗證算法選擇單峰測試函數(shù)與多峰測試函數(shù)各3個。測試結果見表5?？梢钥闯鱿啾绕渌倪M型PSO算法，ASPSO算法具有更為優(yōu)秀的性能。

表5 多種改進PSO算法性能對比

3 優(yōu)化算例分析

3.1 優(yōu)化模型及參數(shù)化方法

為了更好地分析ASPSO算法在實際應用中的優(yōu)化效果，選擇對RAE2822翼型進行工程應用減阻優(yōu)化。以其在Ma=0.73,α=2.79°,Re=6.5×106時的阻力最小為目標進行氣動外形優(yōu)化設計[14]，約束條件是優(yōu)化后的翼型升力系數(shù)不小于原始翼型的升力系數(shù)值，并且翼型的最大厚度不減小，同時俯仰力矩不惡化。綜上，可得到優(yōu)化設計的數(shù)學模型：

式中：X為設計變量；Cd表示翼型的阻力系數(shù);Cm表示翼型的力矩系數(shù);Cl表示翼型的升力系數(shù);cmax代表翼型的最大厚度,帶上標*的符號表示原始翼型的氣動數(shù)據(jù)。

針對RAE2822翼型，本節(jié)選用的是結合六階Bernstein多項式型函數(shù)的CST方法作為翼型參數(shù)化方法。對翼型上下面各取6個(共12個)設計參數(shù)作為本次優(yōu)化過程中的設計變量。

3.2 優(yōu)化結果及分析

采用基本PSO算法與ASPSO算法2種方法對單點跨聲速優(yōu)化設計進行優(yōu)化，比較2種方法的優(yōu)化效果。2種優(yōu)化算法的種群大小均為25，迭代步數(shù)為39，慣性權重w在[0.4,0.9]之間隨代數(shù)線性遞減。加速系數(shù)c1=c2=15。穩(wěn)定性系數(shù)α變化范圍為1.0至2.0。

圖8 減阻優(yōu)化過程 圖9 優(yōu)化前后翼型剖面形狀對比圖10 優(yōu)化前后壓力分布對比

圖8顯示了2種優(yōu)化算法的減阻優(yōu)化過程，可以很明顯看出ASPSO的優(yōu)化程度與效率都優(yōu)于基本PSO算法，ASPSO算法在第10次迭代時就能接近最終優(yōu)化結果附近。在優(yōu)化結果上來看，相比PSO算法，ASPSO算法能在保證優(yōu)化程度上擁有更快的收斂速度。表6展示了2種優(yōu)化算法的優(yōu)化結果與原始翼型的氣動參數(shù)對比，結果表明2種優(yōu)化算法已滿足基本的優(yōu)化需求。圖9與圖10為優(yōu)化前后的翼型的剖面形狀以及壓力分布。結合圖9與圖10可知，機翼的最大厚度后移，同時上表面翼面頂點的移動也使得優(yōu)化后的翼型上翼面更加飽滿，翼面激波有明顯減緩，優(yōu)化后的上翼面壓力分布明顯比原始翼型更加柔和。綜合來看，針對RAE2822跨聲速翼型的減阻優(yōu)化，其結果顯示波阻顯著降低，升阻比有明顯提高。相比于基本PSO優(yōu)化算法，ASPSO算法有更優(yōu)秀的適應性。在同樣的種群數(shù)量和優(yōu)化代數(shù)下，ASPSO算法具有更快的收斂速度以及更強的全局優(yōu)化能力，優(yōu)化結果也更理想。

表6 優(yōu)化前后的氣動參數(shù)對比

4 結 論

本文針對粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)等缺點，通過Alpha stable分布產(chǎn)生的隨機數(shù)對其進行變異操作，以實現(xiàn)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化性能的提高。通過測試函數(shù)驗證了3種不同的α值變異策略對于粒子群優(yōu)化算法的影響。選擇了其中較優(yōu)的變異策略參與進粒子群優(yōu)化算法當中，使得算法在優(yōu)化初始階段能夠更好地擺脫局部最優(yōu)，在算法末期提高算法精度。

在多個測試函數(shù)驗證環(huán)節(jié)中，選擇了DE、PSO以及ASPSO 3種優(yōu)化算法在低維以及中、高維優(yōu)化問題中進行對比驗證，結果表明ASPSO算法在單目標優(yōu)化中優(yōu)于DE及PSO算法。為了更進一步驗證算法性能，橫向?qū)Ρ榷喾N改進策略下的PSO優(yōu)化算法性能，選取了多種先進改進型PSO優(yōu)化算法參與標準測試函數(shù)驗證過程，結果表明ASPSO優(yōu)化算法仍具有相當?shù)膬?yōu)越性。綜上所述，函數(shù)測試結果表明運用Alpha stable分布對PSO算法進行的變異過程的ASPSO優(yōu)化算法具有優(yōu)秀的性能。

最后，通過對RAE2822翼型進行工程應用減阻優(yōu)化來驗證ASPSO算法在工程應用上優(yōu)于傳統(tǒng)PSO算法。相比PSO算法，ASPSO算法的優(yōu)化結果具有更好的力學特性，翼面波阻明顯降低，ASPSO算法的優(yōu)化結果擁有更好的氣動性能。