高峰，陽光武，肖守訥，肖緋雄

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

0 引言

在軌道交通領域，車輛在運行時，會受到各種由于軌道不平順而產生的隨機載荷譜的影響。隨著我國鐵路大提速，軌道車輛的運行環(huán)境越來越惡劣，輪軌之間的振動變得更加強烈，結構件受到的多軸隨機振動載荷急劇增加，因此在隨機激勵下產生的多軸疲勞問題就越來越受到重視。

針對多軸問題，目前都是將多軸等效成單軸，再通過單軸的方法予以解決。等效過程分為兩種，一種是在時域內進行等效，另一種則是在頻域內等效。時域具有表達周期性載荷方便的特點，但其若想完整地表達加載歷程，必須要有完整的信號數據。若設備復雜且運行時間長，數據處理就會耗時又繁瑣。而頻域的理論就很好地避免了這個問題。在頻域內應用多軸疲勞準則將多軸應力功率譜或應變功率譜等效為單軸應力或應變功率譜，再通過單軸疲勞理論里疲勞公式中的統(tǒng)計參數從而得到結構件的疲勞壽命。該方法計算量小，耗時短，在工程應用中更具有適用性。

目前針對頻域疲勞主要有3種分析方法，分別是應力不變量法、能量法和臨界平面法[1-4]。應力不變量法中最準確的就是CRISTOFORI等提出的PbP(projection by projection)法[5]，雖然該方法全面地考慮各個應力分量對疲勞壽命的影響，但由于該方法參數過多且難于獲得，并不太適用于實際工程問題。能量法認為塑性功的累積最終導致了結構的破壞，而臨界平面法確定了臨界損傷平面的位置且疲勞破壞面的物理意義明確，因此被廣泛認為是解決多軸疲勞問題的有效方法。臨界平面法最重要的就是確定臨界平面，本文通過編寫損傷累積法確定臨界平面位置的相關程序，再通過等效的應力功率譜結合Miner線性損傷累積理論和Dirlik經驗公式求得結構的預期壽命[6]，并通過時域瞬態(tài)分析和對比數據，驗證該方法的準確性。

1 理論分析

1.1 基于臨界平面的應力準則

20世紀80年代末，MACHA E[7]首先在頻域內提出了基于臨界平面法的多軸疲勞失效準則。這些準則在多軸隨機載荷下的一般形式可由式(1)表示。

σeq(t)={σij(t),P,C}

(1)

式中：σij(t)為應力或應變分量；P為定義臨界平面所需的參數；C為材料參數。

基于臨界平面上的應力準則分為以下3種，分別是基于臨界平面上的最大正應力準則、基于臨界平面上的最大剪應力準則、基于臨界平面上的最大正應力和剪應力準則[8]。

本文采用基于臨界平面上的最大正應力和剪應力準則，即臨界平面由最大剪應力作用的兩個平面中一個的平均位置決定(B=1,K≠0)。則等效應力計算公式如式(2)所示。

(2)

式中：σij(t)，(i,j=x,y,z)為應力分量；ln、mn、nn(n=1,2,3)為應力主軸的方向余弦；K為材料參數。

9個主應力軸的方向余弦ln、mn、nn可由3個歐拉角來表示。歐拉角是用來確定剛體定點轉動后剛體位置的3個角參量，由自轉角φ、章動角θ、進動角ψ表示。歐拉角的定義如圖1所示。圖中Oxyz為固定的直角坐標系，O為原點，Ox′y′z′為固連剛體的直角坐標系。剛體先繞固定坐標系中的z′軸逆時針轉動φ，再繞固連的x′軸即圖中的N軸逆時針轉動θ，最后繞z′軸逆時針轉動ψ。

圖1 歐拉角的定義

經過變換，ln、mn、nn與歐拉角(θ、ψ、φ)可由式(3)表示[9]。

(3)

1.2 基于損傷累積法確定臨界平面壽命

在確定載荷的情況下，損傷累積法是通過概率密度函數計算空間中各個平面的累積損傷，累積損傷最大的平面即壽命最小的平面為臨界平面[10]。

基于臨界平面上的最大正應力和剪應力準則，可設a1,a2,a3,a4,a5,a6，其形式如式(4)所示。

(4)

結合式(4)可將式(2)改寫成式(5)：

(5)

應力功率譜矩陣如式(6)所示。

(6)

等效的應力功率譜密度可由式(7)表示。

(7)

式中：Gkk(f)為應力分量σ(t)的自功率譜密度函數；Gkl(f)為應力分量σ(t)的互功率譜密度函數。

將得到的等效應力功率譜通過式(8)求各階譜矩：

(8)

再通過Dirlik給出的Dirlik經驗公式得到式(9)應力幅值概率密度函數p(S)：

(9)

應力幅值S在區(qū)間(S-dSi,S+dSi)的概率P(Si)為

P(Si)=p(Si)dS

(10)

則時間T內應力幅值落在區(qū)間(Si-dS,Si+dS)的次數ni為

ni=VpTp(Si)dS

(11)

進而可得在區(qū)間(Si-dS,Si+dS)內結構所受的損傷量為

(12)

最后根據Miner線性疲勞損傷累積理論，總損傷由式(13)表示。當總損傷為1時結構達到破壞，結構的壽命T可由式(14)表示。

(13)

(14)

1.3 分析流程

通過有限元軟件隨機振動分析可得危險點各應力分量的功率譜，將之代入上述方法的程序中，最終求得結構壽命。具體流程如圖2所示。

圖2 基于損傷累積法確定臨界平面流程圖

2 有限元仿真分析

2.1 有限元模型概述

模型由1個3 mm厚的6061-T4板和2個50×20×10 mm的Q235配重塊組成。其具體尺寸如圖3-圖4所示。板材彈性模量E=69 000 MPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2 750 kg/m3。配重塊彈性模量E=210 000 MPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3。S-N曲線根據EN1999-1-3中鋁合金母材71-7，其材料參數k=7,C=1.8×1019。

圖3 試件俯視圖

圖4 試件有限元模型

將板材方形部分進行固支約束，通過模態(tài)分析得到試件的1階垂彎頻率為29.32 Hz，1階側彎為98.46 Hz，1階扭轉為126.9 Hz。

2.2 頻域隨機振動分析

在板材方型部分通過rigid單元連接大質量點，對其在x、y、z3個方向上施加相同固定幅值的限帶白噪聲激勵。為驗證功率譜幅值以及遠離共振頻率的頻率區(qū)間是否對結構損傷產生影響，設置以下3個工況。其中工況1的截斷頻率為10～150 Hz，幅值為0.010g2Hz；工況2的截斷頻率為10～150 Hz，幅值為0.008g2Hz；工況3的截斷頻率為10～200 Hz，幅值為0.008g2Hz。頻域內的激勵信號如圖5-圖7所示。

圖5 工況1加速度功率譜密度曲線

圖6 工況2加速度功率譜密度曲線

圖7 工況3加速度功率譜密度曲線

單軸累加需要分別計算結構在各方向上受到激勵時的功率譜密度。各工況各軸向激勵下的應力功率譜如圖8-圖10所示。

圖8 工況1各單軸激勵下應力功率譜密度曲線

圖9 工況2各單軸激勵下應力功率譜密度曲線

圖10 工況3各單軸激勵下應力功率譜密度曲線

多軸同步通過臨界平面應力準則將危險點各應力分量的功率譜轉換成等效應力功率譜。同時得到了臨界平面3個歐拉旋轉角(θ，ψ，φ)，分別為4.59°、48.13°及120.33°。表1為3種工況下等效應力功率譜的各階譜矩，圖11-圖13為3種工況下的等效應力功率譜。

表1 3種工況下各階譜矩

圖11 工況1等效應力功率譜密度曲線

圖12 工況2等效應力功率譜密度曲線

圖13 工況3 等效應力功率譜密度曲線

2.3 分析結果對比

時域激勵是將白噪聲激勵通過逆傅里葉變換得到，因白噪聲頻譜對應無限多種隨機時間序列樣本，故選取多次時間序列由瞬態(tài)分析法求平均值。表2對比了單軸線性累加法、臨界平面法和時域法得到的3種工況下模型的疲勞壽命結果。圖14給出了3種工況下模型在3種計算方法下的疲勞壽命結果對比。

表2 3種工況下模型3種方法計算的疲勞壽命結果

圖14 3種工況下模型3種方法計算的疲勞壽命結果對比

由結果對比可知，在3種工況下，時域的損傷最大，其次是臨界平面法，而單軸累積法計算的損傷比前兩種方法小很多。且幅值的變化會對結果產生很大的影響，遠離共振頻率的頻率區(qū)間依舊會對結構產生一定的損傷。在工程中，一般通過時域分析得到的壽命較為準確。故將時域分析得到的壽命作為標準，可知臨界平面法與時域分析得到的壽命誤差在8%以內，比單軸累積法計算的誤差小得多。分析臨界平面法的誤差有以下兩點：

1)本文程序基于復化梯形公式求解的數值積分，可能存在一定的誤差；

2)本文編寫程序中旋轉歐拉角的角度步長根據文獻[11]選取的0.01 rad，其精度會對結果產生一定影響。這個旋轉的角度越小精度越高，但隨著步長縮小10倍，計算時間會增加103倍。

3 結語

軌道車輛及其設備運行時間長，受載情況復雜，通過時域瞬態(tài)分析預測壽命并不太適用。目前，對于工程上的多軸問題，大都采用提高輸入激勵譜，分別計算三軸向損傷再線性累加，但該方法并不能反映各軸向間激勵的影響。針對上述問題，本文提出通過采用損傷累積法求臨界平面的頻域法，給出了實現(xiàn)該方法的具體流程，并與時域分析得到的壽命進行對比，誤差遠小于單軸累加法。該方法易于編程，明確了損傷平面的位置，給軌道車輛及其零部件壽命預測提供了參考。