孔祥武 (江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

試題設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對(duì)一切n∈N*都成立.

(1)若λ=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求λ的值，使數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

“你那種做法好像怪怪的，有問(wèn)題”，數(shù)學(xué)剛考完，數(shù)學(xué)備課組辦公室里就吵了起來(lái).爭(zhēng)論的焦點(diǎn)就是上面這道考題的第二問(wèn).

教師A：“我這樣做，令n=1，得a2=λ+1,令n=2，得a3=(λ+1)2,要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有2a2=a1+a3，解得λ=0.又當(dāng)λ=0時(shí)，a1=a2=a3=1,所以等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式只能是an=1，并且它的前n項(xiàng)和Sn=n，容易檢驗(yàn)證明(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對(duì)任意n∈N*恒成立.”

教師B：“我覺(jué)得這題怪怪的，你那樣做好像太簡(jiǎn)單了，會(huì)不會(huì)有問(wèn)題？”

教師A：“先通過(guò)特殊的前三項(xiàng)逼出λ=0,再檢驗(yàn)一般情況，充分性和必要性都有了,我們以前好多題不也是這么解的?”

教師C：“這種問(wèn)題以前好像也碰到過(guò)，當(dāng)時(shí)你們說(shuō)通過(guò)前幾項(xiàng)特殊情況進(jìn)行計(jì)算、推演，結(jié)果要檢驗(yàn)，到底檢驗(yàn)什么？是檢驗(yàn)(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,還是檢驗(yàn){an}是等差數(shù)列？”

筆者對(duì)這道題也作過(guò)思考，我們不妨把形如上題第二問(wèn)的探索性問(wèn)題稱(chēng)為條件探索性問(wèn)題.它是考試中的常見(jiàn)題型，在立體幾何和數(shù)列中尤為常見(jiàn).到底該如何探究答案，得到答案后又該如何證明，書(shū)寫(xiě)要注意什么？不少學(xué)生感到棘手，部分教師也有困惑.筆者想就本題的爭(zhēng)論內(nèi)容說(shuō)一說(shuō)自己的觀點(diǎn)，談一談此類(lèi)問(wèn)題的解題規(guī)范和教學(xué)建議.

1 審查題意時(shí)不可拘泥于字面理解

條件探索性問(wèn)題一定要注意“審題”，在大多數(shù)情況下是尋找使得結(jié)論成立的充要條件.比如，本題第二問(wèn)是典型的條件探索性問(wèn)題，從字面看，應(yīng)該是尋找使得結(jié)論成立的充分條件.對(duì)本題而言，即由λ=0證明{an}是等差數(shù)列.但考慮到為什么只有λ=0、是否還有其他可能值，所以還得考慮必要性才嚴(yán)謹(jǐn).筆者認(rèn)為此類(lèi)問(wèn)題大多數(shù)情況下是要探求使得結(jié)論成立的充分必要條件，不能完全拘泥于字面理解，否則考試容易吃大虧.

從這個(gè)角度分析，教師A解法的前半部分應(yīng)該是逼出{an}是等差數(shù)列的必要條件λ=0，后半部分應(yīng)該是由λ=0結(jié)合大前提(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1去證明{an}是等差數(shù)列,而不是由{an}是等差數(shù)列去驗(yàn)證(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1成立，所以該解法的后半部分是錯(cuò)誤的.下面筆者給出本題的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法.

標(biāo)準(zhǔn)解法(1)an=2n-1(過(guò)程略).

(2)令n=1，得a2=λ+1.令n=2，得a3=(λ+1)2.要使數(shù)列{an}為等差數(shù)列，必須有 2a2=a1+a2，解得λ=0.

又a1=1,所以an=1(n∈N*).

所以λ=0時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

評(píng)注 上述解法規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，很好地體現(xiàn)了充要條件的兩個(gè)方面，必要性探究與充分性說(shuō)理層次十分清晰.

2 解答問(wèn)題時(shí)要防偷換概念和條件

仔細(xì)反思，我們不禁要問(wèn)，為什么大家會(huì)覺(jué)得教師A的解法似曾相識(shí)，有幾分親切呢？為什么這種錯(cuò)誤也有一定的“市場(chǎng)”呢？這是因?yàn)?，我們一開(kāi)始是從“要使得{an}是等差數(shù)列”入手，本來(lái)是去尋找使得結(jié)論成立的充分條件，不知不覺(jué)偷換概念變成“假設(shè){an}是等差數(shù)列”，進(jìn)而反復(fù)把等差當(dāng)成條件在使用，才得出{an}的通項(xiàng)公式只能為an=1,導(dǎo)致解題偏差.

我們可以將題目重新改造如下，以進(jìn)行對(duì)比分析：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，求λ的值，使得(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對(duì)一切n∈N*都成立.

不難理解，題目表述改變后，教師A的解法就是正確的，可見(jiàn)明確誰(shuí)是大前提、條件、結(jié)論至關(guān)重要.同時(shí)，像標(biāo)準(zhǔn)解法那樣，有層次地嚴(yán)格分成兩步(必要性探索和充分性證明)，解題思路會(huì)更加清晰明了.

3 探索求證時(shí)也可利用充要條件

既然大多數(shù)情況下，解答時(shí)既要完成必要性探究又要完成充分性說(shuō)理，可不可以將兩者合二為一？

筆者在批閱試卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生想到如下的第二問(wèn)解法.

所以當(dāng)λ=0時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

這種解法對(duì)不對(duì)？按照我們先前的觀點(diǎn)，這種解法只是由等差條件推得λ=0，歷經(jīng)艱辛卻只是完成了一半，仍然沒(méi)有修成正果，未免可惜.事實(shí)上，上述解法思路合理自然，只是表達(dá)欠妥，我們可以把第一句話“假設(shè){an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d”稍作調(diào)整，改為：{an}是等差數(shù)列，等價(jià)于an=1+(n-1)d.這種解法的推導(dǎo)過(guò)程是結(jié)合大前提條件的恒等變形，過(guò)程是等價(jià)的，運(yùn)算是可逆的，可視為“λ=0”等價(jià)于“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”.

由此可見(jiàn)，善用充要條件、多用恒等變形、結(jié)合定義以算代證，可以理解為是將充分性和必要性合二為一了.雖然沒(méi)有像標(biāo)準(zhǔn)解法那樣很清晰地分成兩步，也應(yīng)該算作是正確的解答.這種以算代證的處理方法在用建系來(lái)處理的立體幾何探索性問(wèn)題和解析幾何探索性問(wèn)題時(shí)更為常見(jiàn)，它們的處理方式是如出一轍的.

4 書(shū)寫(xiě)規(guī)范要參照既定的習(xí)慣

在立體幾何中條件探索性問(wèn)題的書(shū)寫(xiě)規(guī)范常常稍有差別，需要引起關(guān)注.比如我們經(jīng)常碰到的形如“在線段MN上是否存在一點(diǎn)A，使得AB∥平面DEF”這樣的問(wèn)題.我們分為兩種情況來(lái) 考慮：①若不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A,書(shū)寫(xiě)時(shí)只要假設(shè)存在點(diǎn)A，推出矛盾，即能說(shuō)明點(diǎn)A不存在，這實(shí)質(zhì)是利用反證法來(lái)證明.②若存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A，通常這樣的點(diǎn)也是唯一的.我們注意到參考解答常常省略了必要性探求過(guò)程，而直接給出了充分性的證明,即由點(diǎn)A的位置直接推導(dǎo)AB∥平面DEF.像本文試題中的問(wèn)題就需要體現(xiàn)必要性探究，而此處卻省略了,這里面多少有些約定俗成的味道.也正是這種不一致造成了很多教師與學(xué)生的困惑.筆者以為,在解答條件探索性問(wèn)題時(shí)要參考既定的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，注意不同的命題場(chǎng)景.

條件探索性問(wèn)題，想說(shuō)愛(ài)你不容易，方向倘若一搞反，多花力氣也枉然.在參與命制試題時(shí)要注意題意的清晰表達(dá)，譬如條件探索性問(wèn)題也可以根據(jù)情況說(shuō)成“求使得命題q成立的一個(gè)充分條件(或充要條件)”，指向明確，避免玩文字游戲，防止造成不必要的誤解，以致引起考試不公平.