福建省福州市江南水都小學 胡錦平

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）闡明了數(shù)學思想方法之于數(shù)學學習的重要性，并將數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學學科三大思想方法之一。建構(gòu)主義數(shù)學學習核心觀點指明，數(shù)學學習是學生遷移已有數(shù)學經(jīng)驗，把握數(shù)學本質(zhì)而主動建構(gòu)的活動，“數(shù)”與“形”是數(shù)學本質(zhì)的具體體現(xiàn)。因此，有效地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法實施小學數(shù)學教學，可以在把握“數(shù)”與“形”關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生自覺遷移學習經(jīng)驗，深入探尋數(shù)學知識的幾何意義和代數(shù)意義，使學生在統(tǒng)一形象思維和邏輯思維的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，加深對數(shù)學知識的理解，同時發(fā)展數(shù)學學習能力。

一、在小學數(shù)學課堂中實施數(shù)形結(jié)合教學的必要性

（一）增強學生數(shù)學學習興趣

小學數(shù)學教材中知識的邏輯性與抽象性特征比較強，要想讓學生精準理解、認知數(shù)學概念，需要學生具備較強的邏輯思維能力。而小學生自身的邏輯思維、認知素養(yǎng)有待增強，抽象、枯燥的數(shù)學概念很容易降低、打擊學生探索數(shù)學知識的熱情，數(shù)學課堂活動效率比較低。因此，通過開展數(shù)形結(jié)合教學活動，能夠借助于數(shù)、形把抽象難懂的數(shù)學概念清晰化展示出來，提升學生自身的數(shù)學認知水平、理解能力。比如，在講解、探究“分數(shù)的意義”數(shù)學課程知識期間，如果只是簡單闡述“分數(shù)是把整數(shù)1平均分為若干份”，學生只能記憶、背誦這句話，但是對于“整數(shù)1”缺乏深層次的認知。因此，教師可以采用“圖形涂色”的形式，實現(xiàn)數(shù)形的結(jié)合，讓學生明白“整數(shù)1”代表的是一個整體，并不是自然數(shù)1，讓抽象、復(fù)雜的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為直觀化的圖形，這樣學生更容易認知、理解，從而更加積極地參與數(shù)學課程活動。

（二）增強學生的數(shù)學學習能力

在小學數(shù)學課程中實施數(shù)形結(jié)合教學，能夠提高學生的數(shù)學學習能力，豐富學生的數(shù)學情感，讓學生更為自主地參與探究活動，對所學數(shù)學知識、概念、公式有更深刻的理解。數(shù)學主要是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門課程，在數(shù)學課堂活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠指導(dǎo)、幫助學生解決數(shù)學問題，讓復(fù)雜的數(shù)學問題簡單化。借助于數(shù)學圖形來替代復(fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系，能讓學生從中掌握更多的數(shù)學解題技巧和學習技巧，發(fā)展學生多項數(shù)學學科能力，如直觀思維、抽象思維等，促使學生綜合發(fā)展與成長。另外，在運用數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法期間，能夠展示出數(shù)學圖形中的直觀美，讓學生借助理論知識解決社會生活問題，實現(xiàn)數(shù)學課程知識和生活的融合、關(guān)聯(lián)；能夠讓學生感知到探索、學習數(shù)學課程知識的意義，進而端正自己的學習態(tài)度。

二、在小學數(shù)學課堂中運用數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)狀

（一）重視技巧、輕視方法

在當前的小學數(shù)學課程活動中，教師意識到了實施數(shù)形結(jié)合教學的意義、必要性，但是在具體落實期間，存在重視技巧、輕視方法的現(xiàn)象，無法展示出數(shù)形結(jié)合的教育價值和意義。出現(xiàn)以上現(xiàn)象的原因在于教師受到應(yīng)試教育理念的影響，依然重視重復(fù)刷題、練習，忽視了讓學生自主學習、自主探究。同時，學生的知識認知處于一種螺旋上升的狀態(tài)之中，但是教師習慣于把數(shù)學課程知識直接展示給學生，忽視了利用數(shù)形結(jié)合思想、方法深度解析數(shù)學課程知識構(gòu)成和形成的過程，無法發(fā)展學生數(shù)學邏輯思維。

（二）學生運用數(shù)形結(jié)合不夠熟練

通過實際調(diào)查能夠發(fā)現(xiàn)，當前很多學生會利用數(shù)形結(jié)合思想、方法來解決數(shù)學問題，但是對于數(shù)形結(jié)合的運用不夠熟練，缺乏獨立作圖的意識、能力。在解決復(fù)雜的數(shù)學問題期間，學生會嘗試用作圖的方式來解決問題，以此來梳理題意、思路，但是對于“數(shù)”和“形”的認知處于一種割裂狀態(tài)中，無法靈活轉(zhuǎn)換“數(shù)”和“形”，其發(fā)散思維能力有待提升。同時，部分學生存在惰性心理，認為運用數(shù)形結(jié)合方法、思想會浪費大量的做題時間，依然會選擇用“笨方法”來解決問題，以至于無法掌握運用數(shù)形結(jié)合的技巧和方法。

三、小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合教學策略

（一）以形助數(shù)，直觀認知

以形助數(shù)是指利用直觀的“形”引導(dǎo)學生探究抽象的“數(shù)”，使學生直觀地掌握“數(shù)”的教學活動。在實施數(shù)形結(jié)合教學的時候，筆者以“數(shù)”為指導(dǎo)，挖掘“形”，并應(yīng)用多樣策略將“形”展現(xiàn)給學生，驅(qū)動他們直觀地探究“數(shù)”。

1.引入實物，直觀感受“數(shù)”

眾所周知，空間觀念是學生參與數(shù)學教學必須具備的能力。在空間觀念的作用下，學生可以實現(xiàn)事物特征與幾何圖形的相互作用，深入掌握數(shù)學內(nèi)容。幾何圖形具有直觀性，便于學生在形象思維的作用下，對其建立直觀認知，由此認識數(shù)學表象，為深入地理解數(shù)學做好準備。對此，在實施數(shù)形結(jié)合教學的時候，筆者根據(jù)“數(shù)”內(nèi)容，挖掘有關(guān)實物資源，將其展現(xiàn)給學生，輔助學生建立“數(shù)”的表象。

以“長度單位”教學為例，引導(dǎo)學生在腦海中建立1cm、1dm、1m的表象是使他們理解長度單位內(nèi)容的關(guān)鍵。在實施課堂教學的時候，教師利用長度為1cm、1dm、1m的木棒，引導(dǎo)學生觀察，在腦海中建立表象。接著進行測量，獲得具體數(shù)據(jù)，借此準確地將長度單位與實際事物的長度建立聯(lián)系，直觀認知長度單位，為深入探究做好準備。

2.引入線段圖，直觀理解問題

數(shù)形結(jié)合思想方法最為顯著的特點是化復(fù)雜為簡單，而直觀的圖形是化抽象為簡單的支撐。線段圖是數(shù)學直觀圖形的重要組成部分，是直觀展現(xiàn)抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的工具。數(shù)學問題是數(shù)學學科的重要內(nèi)容，是學生理解數(shù)學內(nèi)容的載體。在實施數(shù)形結(jié)合教學的時候，筆者以數(shù)學問題為基礎(chǔ)引入線段圖，引導(dǎo)學生通過畫線段圖，直觀地展現(xiàn)問題條件，進而獲取解題思路，順利地解決問題，理解數(shù)學內(nèi)容。

以“植樹問題”教學為例，教師在課堂上呈現(xiàn)如此問題：“園林局準備在一條長100m的小路一側(cè)種樹，每棵樹之間相隔5m。在兩端都要種樹的情況下，請問這條小路上一共會種多少棵樹？”在解決這個問題的時候，大部分學生會在兩端都栽樹的條件上犯難。基于此，教師鼓勵他們根據(jù)問題條件繪畫出線段圖，而且學生發(fā)現(xiàn)100m這個數(shù)據(jù)太大了，進而引發(fā)了從簡單數(shù)據(jù)入手的需求，部分學生以20m為例，畫出如圖1所示線段圖。

在線段圖的作用下，學生進行形象思維，發(fā)現(xiàn)兩端都栽樹的特點：當兩端都栽樹的情況下，栽樹的數(shù)量比間隔數(shù)多一。教師肯定學生的發(fā)現(xiàn)，同時鼓勵他們利用此發(fā)現(xiàn)建立數(shù)學模型，并應(yīng)用數(shù)學模型解決課前的問題。實踐表明，學生輕松地沿著正確思路解決了數(shù)學問題，加深了對“植樹問題”的理解。立足學生的問題解決情況，教師改變問題條件：“如果是只一端栽樹或者兩端都不栽樹的時候呢？”進而引導(dǎo)學生繼續(xù)利用線段圖解決問題，建構(gòu)并完善數(shù)學模型。如此做法，不僅使學生獲取了解決“植樹問題”的方法，提高了問題解決的能力，同時還使他們切實感受到了數(shù)形結(jié)合的魅力。

（二）以數(shù)解形，準確理解

以數(shù)解形是指利用具體的代數(shù)知識解決抽象的幾何問題?！皵?shù)”具有形式化的特點，可以“直觀”地展現(xiàn)研究對象的表征，進而使學生準確地理解。在具體落實、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合理念期間，教師可以通過展示“數(shù)”來鼓勵、引導(dǎo)學生探究“形”，從中來感知知識邏輯結(jié)構(gòu)的奇妙之處。

1.利用數(shù)的具體特征，全面滲透數(shù)學模型思想

在新課標之中具體表明，模型思想屬于需要重點研究的思想方法。通過運用、滲透模型思想，能夠用簡練的數(shù)學語言概括生活、社會問題，展示出最完整、清晰的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型“直觀”地呈現(xiàn)了現(xiàn)實問題的表征和關(guān)系，便于學生準確理解數(shù)學問題。因此，在實施數(shù)學教學的時候，筆者根據(jù)教學需要滲透模型思想。

以“長方體體積”的教學為例，在課堂上，教師以探究長方體體積的計算公式（v=abh）為目的，先引導(dǎo)學生隨機地選擇幾個體積為1cm3的小正方體，用其拼湊出一個長方體。接著，在小組中分享各自拼湊出的長方體，數(shù)一數(shù)每個長方體使用的正方體個數(shù)，建立表格。通過拼一拼、數(shù)一數(shù)，大部分學生發(fā)現(xiàn)拼出的長方體的體積是使用的小正方體的個數(shù)。教師先肯定學生的發(fā)現(xiàn)，緊接著引導(dǎo)他們“測量”長方體的長、寬、高，并應(yīng)用“測量”到的數(shù)據(jù)進行計算，探究其與長方體體積之間存在何種關(guān)系。通過合作探究，大部分學生了解到“長方體的體積=每行的個數(shù)×行數(shù)×層數(shù)=長×寬×高”?；诖?，教師鼓勵他們用數(shù)學符號建構(gòu)出數(shù)學模型：v=abh。由此可見，利用數(shù)的特點滲透模型思想，可以使學生經(jīng)歷從特殊到一般的理解過程，逐步地總結(jié)出某一事物的特征，進而得出數(shù)學結(jié)論和數(shù)學模型，加深對數(shù)學知識的理解。在此過程中，學生不但鍛煉了數(shù)學探究能力和數(shù)學抽象能力，而且還積累了數(shù)學學習方法，提高了解決問題的能力。

2.活用數(shù)學公式，把握圖形關(guān)系

數(shù)學公式是數(shù)學學科的基礎(chǔ)內(nèi)容。小學數(shù)學涉及的公式有很多，如周長、面積、體積的計算公式等。其實，很多數(shù)學知識點間都存在聯(lián)系，那就要求我們教師要引導(dǎo)學生融會貫通地學習、應(yīng)用數(shù)學。對此，在實施數(shù)形結(jié)合教學的時候，筆者以公式為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學生借此探尋圖形關(guān)系，順其自然地建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)有意義的建構(gòu)。

以“多邊形的面積”為例，在自主探究的過程中，學生通過剪拼等活動，利用數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)出了平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形的面積計算方法。事實上，平行四邊形、三角形和梯形三者的計算方法是相通的。對此，教師立足學生的自主探究所得，先利用課件展現(xiàn)圖2內(nèi)容。

圖2

引導(dǎo)學生遷移學習經(jīng)驗，描述梯形的面積計算公式：s=（a+b）h÷2。接著，教師對梯形進行操作，使其上底與下底相等。此時，學生眼前呈現(xiàn)出一個平行四邊形，如圖3所示。

圖3

在觀看操作的過程中，大部分學生積極思考，結(jié)合圖形變化情況，得出s=（a+a）h÷2=ah這樣的面積計算方法。然后，教師繼續(xù)操作，讓梯形的上底邊為0。學生發(fā)現(xiàn)梯形變成了一個三角形，如圖4所示。

圖4

結(jié)合圖形變化情況，學生輕松地發(fā)現(xiàn)，面積還可以這樣計算：s=（a+0）h÷2=ah÷2。此時此刻，無須教師多言，學生自覺地發(fā)現(xiàn)了平行四邊形、梯形和三角形的轉(zhuǎn)化關(guān)系，加深了對所學的理解。教師則立足學生的發(fā)現(xiàn)進行總結(jié)，如圖5所示。

圖5

這樣，學生在學習過程中不斷完善知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念，提高學習能力。

3.進行數(shù)學表達，精準描述圖形

新課標明確要求教師培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力。“數(shù)”具有精準性，是學生進行數(shù)學表達的“工具”。在利用“數(shù)”進行表達的過程中，學生會精準地描述出圖形所在的位置或運動情況，并在腦海中建立直觀圖像，發(fā)展空間想象能力。由此，筆者在實施數(shù)形結(jié)合教學的時候，會引導(dǎo)學生進行數(shù)學表達。

以“平移”教學為例，教師帶領(lǐng)學生玩游戲，在玩游戲的過程中，鼓勵學生毛遂自薦，到講臺上進行體驗并提出要求：“向右側(cè)跨一步，再向右側(cè)跨三步，之后向前跨兩步?！痹谌绱艘蟮淖饔孟拢瑢W生做出相應(yīng)動作。根據(jù)學生做出的動作，教師在交互式電子白板上進行描繪。在描繪的過程中，大部分學生高度集中注意力盯著白板，尤其將剛才展示的移動現(xiàn)象與交互式電子白板上的數(shù)學圖像結(jié)合在一起，對平移建構(gòu)直觀認知，同時積累進行數(shù)學表達的經(jīng)驗。接著，教師在交互式電子白板上的方格紙上移動點，引導(dǎo)學生觀察移動過程，并利用數(shù)學語言進行描述。教師針對學生描述的內(nèi)容進行點撥，使學生掌握正確的數(shù)學語言。如此教學，不僅使學生借助“數(shù)”理解“形”，加深對所學的理解，還使學生發(fā)揮自主性地鍛煉了數(shù)學表達能力，有利于提高數(shù)學學習水平。

（三）數(shù)形互助，解決問題

數(shù)形互助是根據(jù)數(shù)學問題，選用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”這兩種方法來解決問題的方法。數(shù)形互助是基于“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”的。解決數(shù)學問題是數(shù)學學科的重要內(nèi)容，新課標明文要求教師指導(dǎo)學生有方法地解決問題。

1.利用數(shù)形結(jié)合解決經(jīng)典問題

以“雞兔同籠”為例，這是經(jīng)典的數(shù)學問題，也是“數(shù)形互助”的典型代表。大部分學生在解決這個問題的時候，存在諸多的疑惑。正確的解題方法和技巧是有效解決問題的關(guān)鍵，所以在實施問題解決教學的時候，教師重點教給學生“數(shù)形互助”的解題方法。教師向?qū)W生呈現(xiàn)問題：“籠子里有若干只雞和兔，這些兔子和雞共有35個頭，94只腳。請問，兔子和雞各有多少只？”在提出問題后，教師先鼓勵學生自主思考，遷移數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗，使用適宜的方法解決問題。在巡視課堂的時候，教師發(fā)現(xiàn)部分學生嘗試應(yīng)用畫圖的方法尋找答案。因此教師借機進行引導(dǎo)，可以用圓圈表示雞和兔子頭。接著，教師改變問題條件，引導(dǎo)學生探究：“假如籠子里都是雞，請問有多少只腳呢？”在此問題的作用下，學生在之前畫出的圓圈上畫出兩只腳，如圖6所示。學生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在一共有70只腳（35×2=70）。

圖6

立足此發(fā)現(xiàn)，不少學生產(chǎn)生了質(zhì)疑：“原題目給出的條件是94只腳，為什么現(xiàn)在卻少了24只腳呢？”如此質(zhì)疑的提出，一下子引發(fā)了學生的探究興趣。不少學生回顧解決問題的過程，發(fā)現(xiàn)是因為把兔子看成雞了，一只兔子比一只雞多兩只腳。在發(fā)現(xiàn)問題原因后，學生馬上將24只腳添加到圓圈上，表示兔子的數(shù)量：12只（24÷2=12）。那么雞的數(shù)量就是23只（35-12=23），如圖7所示。

圖7

學生在解決這個問題的過程中，始終將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，并用“形”探究“數(shù)”，實現(xiàn)了“數(shù)形互助”，有效地解決了數(shù)學問題。同時，在解決問題的過程中，學生的思維始終發(fā)揮作用，有利于鍛煉思維能力。與此同時，不少學生還因為體驗這樣解決問題的活動，增強了對數(shù)形互助的認知，有利于積累解決數(shù)學問題的經(jīng)驗，提高數(shù)學問題解決水平。在學生“數(shù)形互助”地解決了問題后，教師鼓勵他們繼續(xù)利用“數(shù)形互助”探究其他方法，借此掌握“雞兔同籠”解題技巧。

2.在實踐活動中運用數(shù)形結(jié)合思想

在小學數(shù)學課程活動中，要想利用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”解決問題，教師要積極組織實踐活動，讓學生在實踐活動中運用數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)數(shù)學理論知識和實踐活動的整合，讓自身的數(shù)學課程知識體系更加完整，培育學生良好的數(shù)學學科素養(yǎng)。首先，教師要鼓勵學生自主動手操作，增強學生的數(shù)形結(jié)合意識，檢驗學生是否真正掌握數(shù)形結(jié)合思想、方法，展示出數(shù)形結(jié)合的價值。比如，在講解“條形統(tǒng)計圖”數(shù)學課程知識期間，教師可以讓學生自主獲取、搜集數(shù)據(jù)，并且對數(shù)據(jù)進行分析、整理，讓學生感知到條形統(tǒng)計圖的便捷化、直觀化。又比如，在講解“因數(shù)與倍數(shù)”課程知識期間，教師可以讓學生以小組的方式來探究知識、問題，通過自己的努力把小正方形拼接為長方形，以此來探索、分析“乘數(shù)與積關(guān)系”和“因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系”間的相同點，潛移默化鍛煉學生的知識探究能力，提高數(shù)學課程活動質(zhì)量。另外，在小學數(shù)學實踐活動中，教師要對學生展開綜合評價，如學生是否可以熟練運用數(shù)形結(jié)合思想、學生的動手操作能力、學生的合作學習能力等，多表揚、肯定學生，讓學生獲得學習的自信心。

綜上所述，“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形互助”是數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學教學實踐中的具體表現(xiàn)，是推動學生掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的“法寶”，有利于學生有方法地學習數(shù)學知識，解決數(shù)學問題，提高數(shù)學學習效果。所以，在實施小學數(shù)學教學的時候，教師不妨立足“數(shù)”與“形”的關(guān)系，以數(shù)學教學內(nèi)容為基礎(chǔ)，應(yīng)用多樣的策略融入數(shù)形結(jié)合思想方法，創(chuàng)設(shè)多樣的數(shù)形結(jié)合活動，使學生有效地探究數(shù)學內(nèi)容、鍛煉數(shù)學學習能力、掌握數(shù)學思想方法，借此有方法地學習數(shù)學，提高數(shù)學學習效果，提升數(shù)學教學質(zhì)量。