魏孝菊

(山東省臨沂第一中學(xué))

處理立體幾何中有關(guān)折疊問題的關(guān)鍵是抓住折疊前后兩個圖形的特征關(guān)系,厘清哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒有發(fā)生變化,然后充分利用空間向量法,化繁為簡,這樣可以有效降低試題難度.顯然,解題的起點是考查空間想象能力,落點是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力.

1 面面垂直問題

根據(jù)折疊后的圖形,建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量法靈活處理面面垂直問題,其關(guān)鍵是將面面垂直等價轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量垂直.

例1如圖1 所示,在梯形CEPD中,PD＝8,CE＝6,A為線段PD的中點,ABCD為正方形,現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊,使得平面PABE⊥平面ABCD,得_到如圖2所示的幾何體.已知當(dāng)點F滿足(0＜λ＜1)時,平面DEF⊥平面PCE,求λ的值.

圖1

圖2

解析如圖3 所示,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 點C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).設(shè)點F(a,0,0),則＝(4－a,0,2),＝(4,－4,2).

圖3

點評一般地,建立空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量時,可以靈活利用待定系數(shù)法;特別地,若直線與平面垂直,則容易求得該平面的法向量坐標(biāo).

2 線面角問題

根據(jù)折疊后的圖形,適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量法靈活處理有關(guān)線面角問題,關(guān)鍵是求解平面的法向量、直線的方向向量以及準(zhǔn)確利用線面角公式.

例2已知△ABC與△BCD所在平面互相垂直(如圖4),且∠BAC＝∠BCD＝90°,AB＝AC,CB＝CD,點P,Q分別在線段BD,CD上,沿直線PQ將△PQD向上翻折,使D與A重合.在翻折后的圖形(如圖5)中,求直線AP與平面ACQ所成角的大小.

圖4

圖5

解析取BC的中點O,BD的中點E,建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系.

圖6

不妨設(shè)BC＝2,P(x,1－x,0),則A(0,0,1),D(－1,2,0),O(－1,0,0).于是,由|AP|＝|DP|,得x2＋(1－x)2＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)2,解得x＝0,所以P(0,1,0)(即P,E重合),故＝(0,1,－1).

點評本題以翻折為載體設(shè)置問題,具有一定的難度,求解的關(guān)鍵在于通過適當(dāng)作輔助線,靈活建立空間直角坐標(biāo)系,并充分利用平面的法向量巧求線面角.

3 面面角問題

根據(jù)折疊后的圖形,適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量法靈活求解二面角的余弦值.方法1是先得到二面角的平面角,再轉(zhuǎn)化為求解具有共同起點的兩個向量的夾角的余弦值;方法2是先得到兩個平面的法向量,再轉(zhuǎn)化為利用法向量夾角的余弦值巧解目標(biāo)問題.

例3如圖7所示,給出平面圖形ABB1A1C1C,其中BB1C1C是矩形,BC＝2,BB1＝4,AB＝AC＝.現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC和△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A1A,A1B,A1C,得到如圖8所示的空間圖形,試求二面角A-BC-A1的余弦值.

圖7

圖8

解析設(shè)BC,B1C1的中點分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C是矩形,知DD1⊥B1C1.又因為平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平面A1B1C1.

又由A1B1＝A1C1,知A1D1⊥B1C1,故以D1為坐標(biāo)原點,建立如圖9所示的空間直角坐標(biāo)系D1-xyz,則由題設(shè)可得A1D1＝2,AD＝1.

圖9

根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)易知AD⊥BC,A1D1⊥B1C1,又△ABC和△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,所以AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平 面BB1C1C,于 是AD∥A1D1,所以A(0,－1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(－1,0,4),D(0,0,4).

連接A1D,則易知BC⊥AD,BC⊥DA1,可得BC⊥平面A1AD,所以BC⊥A1D,所以∠ADA1為二面角A-BC-A1的平面角.

點評本題求解二面角的余弦值,靈活運(yùn)用了上述方法1.感興趣的讀者還可利用上述方法2進(jìn)行求解.

通過本文我們可進(jìn)一步感悟折疊問題的求解過程,加強(qiáng)空間向量知識在解題中的靈活運(yùn)用,提高空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)