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        拉普拉斯變換在精確求解二體阻尼震蕩模型中的應(yīng)用

        2023-01-06 13:18:38劉嘉賢王文佳麻嘉欣李喜彬
        大學(xué)物理 2022年11期
        關(guān)鍵詞:實(shí)根拉普拉斯軌跡

        劉嘉賢,王文佳,麻嘉欣,李喜彬

        (內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

        拉普拉斯變換在解帶有初始條件的線性常微分方程時(shí)可以發(fā)揮巨大的作用.但在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)過程中,常常省去這部分內(nèi)容,因?yàn)橄噍^傅里葉變換,拉普拉斯變換確實(shí)存在著相應(yīng)的局限性.但在處理某些問題時(shí),應(yīng)用拉普拉斯變換可以給出精確的解析解,比如線性非齊次常微分方程的通解問題等.因此在教學(xué)過程中花費(fèi)較少部分的學(xué)時(shí)來簡單扼要地介紹拉普拉斯變換,對(duì)于學(xué)生深入理解高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容是大有幫助的.

        二體系統(tǒng)作為多體系統(tǒng)中的可解模型之一,它在經(jīng)典力學(xué)中起著極其重要的作用.多體系統(tǒng)隨著研究對(duì)象數(shù)量的增加,其動(dòng)力學(xué)演化軌跡變得不可預(yù)測,而且不確定性顯著增加,系統(tǒng)更加難以研究[1],同時(shí)多體系統(tǒng)常常伴隨著混沌現(xiàn)象.因此,研究二體系統(tǒng)是處理復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)性工作.例如,在量子力學(xué)中,對(duì)相互作用的雙原子系統(tǒng)的研究可以為多原子系統(tǒng)性質(zhì)的分析提供有力的借鑒[2,3].在天體物理中,相互吸引的二體系統(tǒng)是唯一可解的模型,而在三個(gè)以上天體的系統(tǒng)中,其軌道具有很高的復(fù)雜性[4].多體線性系統(tǒng)也會(huì)隨著不同的參數(shù)組合出現(xiàn)復(fù)雜的情況[5,6].

        本文對(duì)一個(gè)簡單的二體模型進(jìn)行了解析計(jì)算,該模型包含兩個(gè)由彈簧連接的物體,其阻尼力大小正比于物體的速度.通過對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組進(jìn)行拉普拉斯變換,將其轉(zhuǎn)換為線性方程組,之后再利用拉普拉斯逆變換,就可以得到兩個(gè)物體位置隨時(shí)間的變化情況,即解析解. 在計(jì)算拉普拉斯逆變換的過程中,需要確定奇點(diǎn)的位置,用到了卡爾丹諾(Cardano)公式來求得一元三次函數(shù)的根.

        1 微分方程組

        在物理問題中經(jīng)常出現(xiàn)由彈簧連接的兩個(gè)物體,假設(shè)質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體分別由恢復(fù)系數(shù)為k的彈簧連接,其原長是a.將彈簧拉長至b,同時(shí)釋放兩個(gè)物體,變量x1和x2表示相對(duì)于釋放處的位移,其模型如圖1所示.假定阻尼力的大小與該物體速度成正比,阻尼系數(shù)為γ.上述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

        圖1 運(yùn)動(dòng)方程式(2)對(duì)應(yīng)的示意圖.

        (1)

        或者重新寫為更簡單的形式:

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        f(s)=m1m2s3+γ(m1+m2)s2+

        [γ2+k(m1+m2)]s+2γk=

        ax3+bx2+cx+d

        (7)

        是有

        f(z)=z3+pz+q

        (8)

        其中常數(shù)p和q分別為:

        (9)

        (10)

        需要注意的是,多項(xiàng)式z3+pz+q最高次冪的系數(shù)已經(jīng)調(diào)整為1(各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)除以a),這是因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心f(z)的零點(diǎn).根據(jù)卡爾丹諾(Cardano) 公式[8],方程(8)的根分別為:

        (11)

        (12)

        (13)

        與一元二次函數(shù)類似,在方程(13)中定義的Δ同樣可以用來區(qū)分一元三次函數(shù)(8)所對(duì)應(yīng)的根的不同情況:

        1) 如果Δ=0,有3個(gè)實(shí)根且至少兩個(gè)相等;

        2) 如果Δ<0,有3個(gè)不同的實(shí)根;

        3) 如果Δ>0,有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.

        接下來對(duì)方程 (2) 的不同情況分別進(jìn)行討論.

        2 臨界阻尼振蕩(Δ=0)

        Δ=0的條件代表過阻尼振蕩和欠阻尼振蕩之間的狀態(tài),因此稱之為臨界阻尼振蕩.這種情況所對(duì)應(yīng)的判別式為

        (14)

        數(shù)值分析表明,式(2)作為阻尼系數(shù)γ的函數(shù),只存在一個(gè)實(shí)的正根,或者說式(1)描述的動(dòng)力系統(tǒng)只存在唯一的臨界阻尼振蕩狀態(tài).

        而后我們可以用3種不同的情況來討論這種狀態(tài).

        2.1 q=0,p=0

        這種情況需要3個(gè)等式,q=0、p=0以及Δ=0.然而,這3個(gè)方程不存在關(guān)于γ的正實(shí)根,所以這種情況不會(huì)在物理系統(tǒng)中發(fā)生.

        2.2 q>0,p<0

        這種情況下,多項(xiàng)式方程(8)的3個(gè)根分別為:

        (15)

        根據(jù)式(5),物體m1的位移隨時(shí)間的變化為

        m1=0.5 kg,m2=0.4 kg,k=10 N·m-1,γ=6.036 kg·s-1圖2 式(16)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡

        (16)

        上式中最后一項(xiàng)中的“撇”表示對(duì)變量s的導(dǎo)數(shù).圖2給出了物體m1和m2的軌跡.

        2.3 p>0的情況

        這里,我們對(duì)p>0的情況不做討論.這是因?yàn)榘词?13)中的定義,如果p>0,則Δ無法為零, 因此這種情況不會(huì)發(fā)生.

        3 過阻尼振蕩(Δ<0)

        對(duì)于Δ<0的情況,一元三次方程(8)存在3個(gè)不同的實(shí)根,它對(duì)應(yīng)著過阻尼振蕩模式.與第2節(jié)的討論方法相同,本節(jié)同樣分為三種不同的情況進(jìn)行討論.

        3.1 q=0,p<0

        (17)

        上式中,下標(biāo)q=0表示約束條件.這種情況下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖3所示.

        m1=0.5 kg,m2=0.4 kg,k=10 N·m-1,γ=6.058 kg·s-1圖3 式(17)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

        3.2 q>0,p<0

        這種情況下,3個(gè)零點(diǎn)之一的解析表達(dá)式為

        (18)

        式中,r為3次根號(hào)下的復(fù)數(shù)的模長,即

        (18)

        θ為復(fù)數(shù)的幅角:

        (19)

        另一個(gè)根表示為

        r1/3(ei2π/3eiθ/3+ei4π/3e-iθ/3)=

        (20)

        最后一個(gè)根可以通過同樣的方法獲得:

        (21)

        而通過拉普拉斯逆變換得到的位移為

        x1(t)=

        (22)

        以上的計(jì)算表明,變量a、b、r、θ、p和q與參數(shù)m1、m2、k和γ相關(guān),因此式(23)的精確分析結(jié)果也是非常復(fù)雜的,為方便起見,本文在這里不做說明.式(23)的軌跡如圖4中所示.

        m1=0.5 kg,m2=0.4 kg,k=10 N·m-1,γ=5.058 kg·s-1圖4 式(23)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)跡.

        3.3 q<0,p<0

        重復(fù)3.2節(jié)的計(jì)算過程,m1位移的表達(dá)式與式(23)的結(jié)果相同,其軌跡如圖5所示.

        m1=0.5 kg,m2=0.4 kg,k=10 N·m-1,γ=7.058 kg·s-1圖5 q<0和p<0的過阻尼振蕩跡.

        4 欠阻尼振蕩

        欠阻尼振蕩對(duì)應(yīng)于條件Δ>0,即一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根,在此情況下,兩個(gè)物體的振幅振蕩衰減.這種現(xiàn)象也類似于單體系統(tǒng).

        4.1 q=0,p>0

        (23)

        其中c.c.表示復(fù)數(shù)共軛.其演化圖像如圖6所示.

        m1=0.5 kg,m2=0.12 kg,k=10 N·m-1,γ=0.964 kg·s-1圖6 式(24)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

        4.2 q>0

        此時(shí),式(8)的根為

        (24)

        (25)

        m2=0.12 kg,k=10 N·m-1,γ=1.663 8 kg·s-1圖7 式(26) 對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

        m1=0.5 kg,m2=0.12 kg,k=10 N·m-1,γ=0.463 8 kg·s-1圖

        4.3 q<0

        在這個(gè)條件下的解析結(jié)果與式(26)完全相同,其位移隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示.

        5 總結(jié)

        本文計(jì)算了彈簧連接的二體系統(tǒng)在臨界阻尼、過阻尼和欠阻尼三種情況下的振動(dòng)模式.解析結(jié)果完全可以通過拉普拉斯變換、留數(shù)定理和卡爾達(dá)諾(Cardano)公式等方法得到,但是每種情況的公式都非常復(fù)雜.與單體振蕩系統(tǒng)中的結(jié)果相類似,它仍然可以區(qū)分為三個(gè)條件,這三個(gè)條件 是由式(13)中定義的判別式Δ來區(qū)分的.每種模式的演化圖像、相應(yīng)的參數(shù)組合和說明如表1所示.與其他描述多體系統(tǒng)的模型相比,二體系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)簡單的模型,但其結(jié)果卻相當(dāng)復(fù)雜.不難想象,精確求解多體系統(tǒng)幾乎是不可能的.但是,這種方法仍然可以推廣到多體系統(tǒng)的研究中.如式(4)所示,主導(dǎo)方程演化趨勢的部分僅為分母的零點(diǎn)類型.因此,本文對(duì)多體動(dòng)力系統(tǒng)的研究具有一定的參考價(jià)值.

        表1 不同參數(shù)組合所對(duì)應(yīng)的振蕩模式

        同時(shí),從上面的計(jì)算中發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實(shí)踐中,適當(dāng)?shù)丶尤肜绽棺儞Q對(duì)于開拓學(xué)生的視野、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情都有一定的幫助.

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