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        聚焦基本圖形 滲透一般觀念

        2023-01-05 12:33:00太湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)周陽明
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
        關(guān)鍵詞:中點(diǎn)線段三角形

        ?太湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周陽明

        平面幾何是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙,對(duì)于幾何題,學(xué)生們普遍感覺是難、很難.尤其是圖形繁雜一點(diǎn)的幾何題,那更是霧里看花,大海里撈針,無從下手,沒思路.對(duì)此,筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐及參加市級(jí)課題“一般觀念引領(lǐng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)研究”所學(xué)理論對(duì)這類現(xiàn)象略作出分析思考,認(rèn)為幾何教學(xué)要關(guān)注基本圖形,滲透一般觀念,幫助學(xué)生提高解題能力.一家之言,以期拋磚引玉.

        1 基本圖形的意義及分類

        基本圖形指的是蘊(yùn)含了一些特定性質(zhì)和應(yīng)用條件的幾何圖形,它是構(gòu)成幾何圖形的細(xì)胞,一個(gè)個(gè)這樣的細(xì)胞通過疊加或者刪減線段構(gòu)成了靈動(dòng)優(yōu)美的平面幾何圖形.在解決幾何題時(shí)如果能發(fā)現(xiàn)、聚焦幾何圖形就能加深對(duì)題中數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系的理解,從而快速發(fā)現(xiàn)解題思路.離開基本圖形去討論幾何題的解法無異于緣木求魚,學(xué)生只能機(jī)械地得到一些解題經(jīng)驗(yàn),而不能得到科學(xué)的解題方法.

        初中幾何中常見的基本圖形有30多個(gè),例如與平行線有關(guān)的“三線八角”、等腰三角形、直角三角形斜邊上的中線、全等三角形、相似三角形、特殊角三角形、垂徑定理等.

        2 基本圖形的應(yīng)用

        如何聚焦基本圖形呢?首先要明確每個(gè)基本圖形的應(yīng)用條件和具體結(jié)論,然后根據(jù)題目的條件找出圖中的基本圖形,此過程中可能要添加輔助線補(bǔ)充出基本圖形.教師在平時(shí)的日常教學(xué)中要有追求直觀的意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中找出基本圖形,分離式補(bǔ)全基本圖形以及應(yīng)用基本圖形性質(zhì)的能力.下面結(jié)合教學(xué)中的一個(gè)案例來進(jìn)行分析.

        例題如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E,G分別為線段BC,AD,AC的中點(diǎn),DF⊥BE交BC于點(diǎn)F.求證:FG=DG.

        圖1

        與中點(diǎn)有關(guān)的基本圖形有三角形的中線、三角形的中位線、三角形的重心、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線、平行四邊形的對(duì)角線、直徑已知的圓、垂徑分弦、線段的垂直平分線等.

        2.1 從已知圖形中找出基本圖形

        分析:由∠DFE=90°,需證FG=DG,可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一基本圖形,從而延長FE和DG交于點(diǎn)H(如圖2),連接EG.利用三角形的中位線和相似三角形里的“A字型”這兩個(gè)基本圖形來證明G為DH的中點(diǎn),從而證出FG=DG.

        圖2

        2.2 從結(jié)論出發(fā)聯(lián)想構(gòu)造基本圖形

        分析:從線段的垂直平分線出發(fā)尋找思路.因?yàn)橐CFG=DG,只要證明點(diǎn)G在線段DF的中垂線上.如圖3,過點(diǎn)G作GN⊥DF交BC于點(diǎn)M,垂足為N.于是四邊形EGMB是平行四邊形,則2EG=2BM=BD.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半或平行線等分線段知FN=DN,故點(diǎn)N是線段DF的中點(diǎn),從而得證.

        圖3

        2.3 利用圖形中的點(diǎn)或者線段聯(lián)想基本圖形

        分析:由中點(diǎn)加直角聯(lián)想到基本圖形,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(已知直徑的圓),由此出發(fā)尋找解題思路.本題中的已知條件出現(xiàn)了AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),所以可以應(yīng)用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質(zhì),從而得到∠ADC=90°.這是本題中的第一個(gè)基本圖形.

        圖4

        證法3:如圖4,連接AF,CF.

        因?yàn)镈F⊥BE,所以∠BFD=∠DFE=90°,則∠CFD+∠CFE=90°.

        故FG=DG.

        通過例1的分析,可以發(fā)現(xiàn)這一道復(fù)雜的幾何題實(shí)際上就是由幾個(gè)基本圖形組成的,分別找到這幾個(gè)基本圖形,把它們分離或補(bǔ)充出來,再根據(jù)這些基本圖形的性質(zhì),經(jīng)過簡單推理就能得出結(jié)論.從教學(xué)實(shí)際看,學(xué)生在掌握聚焦基本圖形這一分析方法后能觸類旁通,發(fā)展一般觀念,掌握幾何問題的分析思考方法,能一看就明白,一想就出來,充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的邏輯美、嚴(yán)謹(jǐn)美和成功的喜悅.

        3 幾點(diǎn)思考

        3.1 教學(xué)中要重視基本圖形

        基本圖形對(duì)學(xué)生學(xué)好幾何、提高解題能力有著舉足輕重的作用.教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形,幫助學(xué)生理解基本圖形的應(yīng)用條件和性質(zhì);要精心設(shè)計(jì)例題,對(duì)課本中的例題進(jìn)行合理變式,幫助學(xué)生掌握基本圖形的性質(zhì),獲得基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn);不能一味地趕進(jìn)度,或者覺得知識(shí)簡單、學(xué)生應(yīng)該容易懂就一帶而過,然后光注重刷難題;要重心下移,注重夯實(shí)基礎(chǔ),反復(fù)打磨,對(duì)于體現(xiàn)通性通法的的好題要舍得下功夫.

        3.2 聚焦基本圖形,重視幾何直觀,體會(huì)思想方法貫通

        大多數(shù)情況下,學(xué)生解決幾何問題都是看出來的,而不是證出來的.這就說明學(xué)生解決幾何問題更傾向于直觀想象,靠的是直覺.因此,教師在日常教學(xué)中要有重視學(xué)生直觀思維能力的意識(shí),要注重對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng),著重培養(yǎng)學(xué)生“看”的能力:能從已知條件和已知圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形,分離基本圖形;從結(jié)論、特殊點(diǎn)或線段聯(lián)想基本圖形,聚焦基本圖形并對(duì)圖形進(jìn)行邏輯推理、模型應(yīng)用.同時(shí),還要注重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,并內(nèi)化解題經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),從而提高學(xué)生幾何構(gòu)圖能力和解題能力,真正做到看得出、想得明白.

        3.3 重視一般觀念,發(fā)展核心素養(yǎng)

        一般觀念是指在不同問題或者同一類問題中存在的相同規(guī)律和思想方法,它是學(xué)生思維能力的一個(gè)指標(biāo)特征.而數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是在傳授知識(shí)的同時(shí),讓學(xué)生的思維能力得到提高與發(fā)展.日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)從頭到尾將學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展放在重中之重的地位.因此,由一般觀念出發(fā),發(fā)展學(xué)生思維能力就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),而解決初中幾何問題又是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑,它是在“看”和“想”的過程中逐步積累的.這就要求我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,從圖形出發(fā),分離或補(bǔ)充出基本圖形,設(shè)置合適的階梯問題,逐步引導(dǎo),讓不同層次的學(xué)生都能積極參與進(jìn)來,引發(fā)學(xué)生思考與交流.問題的解決是學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題、解決問題的方法的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)的思想美和思維美,掌握分析解決一類問題的一般觀念.同時(shí),教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多視角、多層次地思考問題,通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”“逆向求解”等激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體會(huì)不同問題之間蘊(yùn)含的共同特征、一般規(guī)律,發(fā)展學(xué)生不同方面的思維能力,形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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