?廣東省中山市東區(qū)遠洋學(xué)校初中部 麥雄軍

2021年各省市中考數(shù)學(xué)對方程與不等式的考查重點在于熟練掌握基礎(chǔ)知識和基本運算技能，側(cè)重于以當(dāng)代實際生活為背景的問題解決，落實“以德樹人”的根本任務(wù).2021年7月下旬，中辦、國辦印發(fā)的《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》(簡稱“雙減”政策)，對作業(yè)提出了“發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能，將作業(yè)設(shè)計納入教研體系……”新的要求.這意味著教師要設(shè)計高質(zhì)量且符合學(xué)情的作業(yè)，徹底減輕學(xué)生的負擔(dān).筆者基于2021年各省市中考數(shù)學(xué)試題的研究，圍繞“方程與不等式”專題復(fù)習(xí)進行作業(yè)設(shè)計.

1 作業(yè)設(shè)計目標(biāo)

通過作業(yè)，達成下列目標(biāo)：

(1)復(fù)習(xí)和鞏固“方程與不等式”相關(guān)基礎(chǔ)知識，知道一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式(組)的解法.

(2)領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、方程等數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建知識之間的聯(lián)系.

(3)學(xué)會解決相關(guān)綜合問題，提升分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

2 作業(yè)設(shè)計內(nèi)容

2.1 夯實基礎(chǔ)，實施有效訓(xùn)練

圖1

答案：C.

(3) (2021·吉林長春)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是( ).

A．8 B．9 C．10 D．11

答案：A.

答案：D.

設(shè)計意圖:作業(yè)(1)回顧了二元一次方程組的基本解法，可以采用代入消元法和加減消元法；作業(yè)(2)考查了一元一次不等式組的解法，借助數(shù)軸來理解不等式組的解集；作業(yè)(3)考查了一元二次方程根與判別式之間的關(guān)系；作業(yè)(4)考查了分式方程的解法.通過本環(huán)節(jié)的作業(yè)設(shè)計，這些基礎(chǔ)知識和基本技能將為下一階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊.

2.2 積累經(jīng)驗，活用思想方法

答案：3

答案:m>-7且m≠-3.

(7) (2021·四川自貢)已知x2-3x-12=0，則代數(shù)式-3x2+9x+5的值是( ).

A.31 B. -31 C. 41 D.-41

答案:B

(8)(2021·湖北鄂州)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖2，直線y=2x-1與直線y=kx+b(k≠0)相交于點P(2，3)．根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x-1>kx+b的解集是( ).

圖2

A．x<2 B．x<3 C．x>2 D．x>3

答案：C.

設(shè)計意圖：對于作業(yè)(5)中一元一次方程涉及的參數(shù)，只要抓住一元一次方程的概念，這道題便迎刃而解.作業(yè)(6)涉及分式方程的解法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時，容易忽略分母不能為0；本題滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以讓學(xué)生靈活掌握分式方程的解法.作業(yè)(7)滲透了整體的數(shù)學(xué)思想，通過轉(zhuǎn)化和整體代入解決數(shù)學(xué)問題.作業(yè)(8)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過圖形來直觀得到不等式的解集，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗，達到“事半功倍”的效果.

2.3 注重綜合，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

(9)(2021·湖南株洲)《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”(粟指帶殼的谷子，糲米指糙米)，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”．問題：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為( ).

A．1.8升 B．16升

C．18升 D．50升

故選：C．

設(shè)計意圖：本題旨在考查學(xué)生的閱卷理解能力，滲透數(shù)學(xué)史.本題難在用正確的數(shù)學(xué)語言表達數(shù)學(xué)問題，列出分式方程，并轉(zhuǎn)化單位.

(10)(2021·江蘇連云港)為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

(ⅰ)這兩種消毒液的單價各是多少元？

解析：(ⅰ)設(shè)A種消毒液的單價是x元，B型消毒液的單價是y元．

所以A型消毒液的單價是7元，B型消毒液的單價是9元．

(ⅱ)設(shè)購進A型消毒液a瓶，則購進B型(90-a)瓶，購買總費用為W元．

所以，當(dāng)a=67時，最少費用為810-2×67=676元，此時，90-67=23．最省錢的購買方案是購進A種消毒液67瓶，購進B種23瓶．

設(shè)計意圖：本題是一道關(guān)于二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)性質(zhì)的綜合題，第(ⅰ)問也可以用一元一次方程來解答.旨在考查學(xué)生運用方程和不等式等數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.在數(shù)學(xué)建模的過程中，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，并注重運算能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

3 作業(yè)設(shè)計建議

3.1 作業(yè)設(shè)計應(yīng)以核心素養(yǎng)為目標(biāo)

在新時代背景下，數(shù)學(xué)教育的發(fā)展目標(biāo)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).作業(yè)設(shè)計始終要以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，不能盲目搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，作業(yè)設(shè)計的練習(xí)不宜多，應(yīng)給與學(xué)生充分思考的時間.設(shè)計的作業(yè)要讓學(xué)生經(jīng)歷定理、概念的習(xí)得過程，注重學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；借助幾何直觀，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力；注重學(xué)生運算能力、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).總之，要把發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)落實到作業(yè)中.

3.2 作業(yè)設(shè)計應(yīng)注重整體性

“雙減”政策要求“堅決克服機械、無效作業(yè)，杜絕重復(fù)性、懲罰性作業(yè)”，設(shè)計高質(zhì)量作業(yè)的途徑之一就是從整體視角下開展教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.”[1]作業(yè)設(shè)計要從整體的角度出發(fā)，作業(yè)設(shè)計內(nèi)容要體現(xiàn)整體性，基于《標(biāo)準(zhǔn)》和教材，以作業(yè)為載體，把數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系有機融合，構(gòu)建知識體系，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，在問題解決中提升教育教學(xué)質(zhì)量，實現(xiàn)高效作業(yè).

3.3 作業(yè)設(shè)計應(yīng)體現(xiàn)發(fā)展性

《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.”[1]作業(yè)設(shè)計要體現(xiàn)層次性和發(fā)展性，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，基于學(xué)生的知識經(jīng)驗開展作業(yè)設(shè)計，避免出現(xiàn)偏題、怪題、難題，設(shè)計的內(nèi)容由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，由易到難，注重基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握、數(shù)學(xué)思想的滲透、基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，以“促進學(xué)生終身發(fā)展”為目標(biāo)，落實“以德樹人”的根本任務(wù).

3.4 作業(yè)設(shè)計內(nèi)容應(yīng)注重綜合性與情境性

《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：“在注重對基礎(chǔ)知識和基本技能考查的同時，特別重視對具體情境中綜合運用知識分析和解決問題能力以及實踐能力的考查.”[1]作業(yè)設(shè)計內(nèi)容要注重綜合性和情境性，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活而又服務(wù)于生活.精選習(xí)題，精心設(shè)計情境性數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提升學(xué)生的思維能力、實踐能力和解決實際生活問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維， 促進學(xué)生全面發(fā)展.