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        基于直觀想象的后建構(gòu)課堂教學(xué)實(shí)踐研究*
        ——以“反比例函數(shù)圖象下的面積問題”為例

        2023-01-05 12:32:58江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校毛巾鈞
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
        關(guān)鍵詞:反比例圖象直觀

        ?江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校 毛巾鈞

        1 引言

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).其中,利用幾何直觀建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型[1].后建構(gòu)課堂,是指在解構(gòu)學(xué)生已有的知識(shí),使之被學(xué)生重新認(rèn)知和接受,并在新的認(rèn)知情境下進(jìn)行重組和再構(gòu),形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的課堂.后建構(gòu)教學(xué)是在建構(gòu)主義和后結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下,在新知識(shí)教學(xué)結(jié)束后,幫助學(xué)生建構(gòu)更為完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué)[2].

        筆者最近觀摩了一節(jié)區(qū)公開課“利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問題”,對(duì)直觀想象這一核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展有了更深層的理解和體會(huì),也借此思考并研究后建構(gòu)課堂教學(xué)如何使核心素養(yǎng)的培育真正落地呈現(xiàn),如何使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有效發(fā)生,如何促進(jìn)高階思維的深層發(fā)展.

        2 課堂再現(xiàn)

        2.1 課堂引入,回顧知識(shí)

        問題1由如圖1你能想到什么?

        圖1

        生:這是反比例函數(shù)的圖象,雙曲線.

        問題2你能求出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式嗎?

        生:不能.

        問題3如何添加一個(gè)條件,可以求出它的表達(dá)式?

        生1:給出一個(gè)具體的點(diǎn),比如圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3).

        教師解釋了所謂“幾何直觀”是指“我們能直接觀察到的有關(guān)圖形(圖象)的信息”,并在以上問題串的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課的課題:利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問題.在教學(xué)過程中,教師逐步板書本節(jié)課復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的主要內(nèi)容,如圖2.

        圖2

        2.2 回顧結(jié)論,引出模型

        教師出示兩個(gè)基本圖形,如圖3和圖4,通過個(gè)別提問,讓學(xué)生回顧與三角形面積有關(guān)的基本結(jié)論.

        圖3

        圖4

        模型1:一點(diǎn)一線.

        教師出示兩張變式圖,如圖5和圖6,求陰影部分的面積.

        圖5

        圖6

        在圖5中,大部分學(xué)生能想到通過平行得到同底等高的兩個(gè)三角形面積相等進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求△OAC的面積.教師引導(dǎo)學(xué)生借助基本結(jié)論小結(jié)歸納此模型“在一條雙曲線上取一個(gè)點(diǎn),得到的三角形或四邊形的面積問題”,并得出解決面積問題的方法1:平行線→等積轉(zhuǎn)化→基本圖形.

        模型2:兩點(diǎn)一線.

        如圖7和圖8,增加有關(guān)圖形面積的具體條件,利用基本圖形解決面積和差問題.歸納此模型為:在一條雙曲線上取兩個(gè)點(diǎn),得到的三角形和四邊形的面積問題.其中四邊形的面積和差問題設(shè)置了類比學(xué)習(xí),讓學(xué)生類比三角形的面積問題自己畫圖設(shè)問并求解.在解決問題的基礎(chǔ)上歸納得出解決面積問題的方法2:割補(bǔ)法.

        圖7

        圖8

        模型3:兩點(diǎn)兩線.

        如圖9和圖10,教師歸納此模型為:分別在兩條雙曲線上各取二個(gè)點(diǎn),得到的三角形和四邊形的面積問題.其中四邊形的面積問題同模型2一樣,設(shè)置了類比學(xué)習(xí),讓學(xué)生類比三角形的面積問題自己畫圖設(shè)問并求解.

        圖9

        圖10

        2.3 綜合運(yùn)用,解決問題

        圖11

        圖12

        圖13

        2.4 總結(jié)歸納,能力提升

        教師總結(jié)歸納,如表1

        表1 模型歸納表

        3 課后思考

        3.1 直觀想象引起知識(shí)的發(fā)生

        笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何,尤其是函數(shù)圖象問題,數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)最為明顯.本節(jié)課全程僅用十幾張圖解決一系列反比例函數(shù)圖象下的面積問題,充分體現(xiàn)了幾何直觀的震撼力.本節(jié)課在引入環(huán)節(jié),從較為熟悉的一目了然的雙曲線入手,喚起學(xué)生對(duì)舊知的回憶,并在此基礎(chǔ)上引起學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖象中的面積問題展開深入研究.

        3.2 直觀想象促進(jìn)知識(shí)的發(fā)展

        通過直觀想象,學(xué)生進(jìn)一步建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建反比例函數(shù)圖象下面積問題的直觀模型,從模型1(一點(diǎn)一線)到模型2(兩點(diǎn)一線)到模型3(兩點(diǎn)兩線),構(gòu)建一系列模型,均根據(jù)基本圖形來解決問題.形成的若干直觀模型,可促進(jìn)學(xué)生對(duì)反比函數(shù)圖象下的面積問題的掌握,并能總結(jié)歸納計(jì)算面積問題的3種方法.

        3.3 直觀想象助力知識(shí)的運(yùn)用

        在綜合運(yùn)用環(huán)節(jié),由直觀的基本模型圖再次深入探究,借助幾何直觀理解問題,以形助數(shù),在具體的問題情境中形成數(shù)學(xué)直觀從而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.在求解斜三角形的面積問題時(shí),學(xué)生能夠根據(jù)幾何直觀利用模型結(jié)論,化復(fù)雜圖形為基本圖形,化未知為已知,在知識(shí)的綜合運(yùn)用中進(jìn)一步掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及面積問題的求解.

        3.4 直觀想象促成知識(shí)的歸納

        本節(jié)課研究反比例函數(shù)圖象下的面積問題是在幾何直觀的大背景下展開的,從直觀觀察到方法提煉到思維提升,層層遞進(jìn),層層落實(shí),很好地將基本知識(shí)、基本技能、基本方法、基本思想落實(shí)到位.將零散的知識(shí)形成框架結(jié)構(gòu),方法和思想融合其中,促成學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納和建構(gòu),真正意義上使得核心素養(yǎng)落地,深度學(xué)習(xí)發(fā)生.

        4 后建構(gòu)再探

        如何使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地呈現(xiàn),如何使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有效發(fā)生?借助對(duì)本節(jié)課的思考,筆者從以下三個(gè)方面對(duì)核心素養(yǎng)背景下的后建構(gòu)課堂教學(xué)進(jìn)行再探.

        4.1 以素養(yǎng)為指向設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

        后建構(gòu)課堂往往承載著對(duì)知識(shí)的回顧與再構(gòu)、鞏固與再生.如,本節(jié)利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問題,在教學(xué)設(shè)計(jì)中融入直觀想象這一核心素養(yǎng),更確切地說,是將直觀想象這一核心素養(yǎng)貫穿始終.它既是解決函數(shù)圖象中面積問題的工具,又是素養(yǎng)的外顯表現(xiàn),是方法也是目標(biāo),是一以貫之的內(nèi)線也是重要方法之一.不妨拓展一下,在初中階段有關(guān)函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的專題復(fù)習(xí)中,數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法,而直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的重要手段,它能夠有效地建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題.函數(shù)問題中有關(guān)圖形(圖象)的問題,比如圖象的交點(diǎn)、圖象的性質(zhì)、圖形的周長(zhǎng)面積、圖形的存在性等都需要借助直觀想象來理解并解決問題.它既是重要手段,也是理解和解決問題的基本素養(yǎng).

        4.2 以素養(yǎng)為手段制定教學(xué)模式

        核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)模式大致分為四個(gè)環(huán)節(jié):(1)知識(shí)梳理,(2)建立模型,(3)模型運(yùn)用,(4)總結(jié)歸納.以本節(jié)課為例,首先梳理反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn),最好能形成網(wǎng)絡(luò)框架;其次建立兩個(gè)基本模型并在此基礎(chǔ)上建立三個(gè)變式模型(一點(diǎn)一線、兩點(diǎn)一線、兩點(diǎn)兩線);然后綜合運(yùn)用模型解決復(fù)雜問題,即通過達(dá)成度進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)P?最后總結(jié)歸納模型的運(yùn)用、方法的掌握、思想的滲透等.整個(gè)學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用到知識(shí)建構(gòu),四個(gè)環(huán)節(jié)相輔相成,呈現(xiàn)直觀想象這一核心素養(yǎng)在解決問題中的中心位置.幾何直觀貫穿學(xué)習(xí)過程的始終,在學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中盡情展開,絕不是一點(diǎn)一滴地滲透,而是通過一系列圖形、一系列模型將幾何直觀這一核心素養(yǎng)充分呈現(xiàn).從圖形入手,以直觀為手段,幫助學(xué)生分析和解決反比例函數(shù)圖象下與比例系數(shù)有關(guān)的面積問題.

        4.3 以素養(yǎng)為目標(biāo)落實(shí)問題的解決

        素養(yǎng)的落地呈現(xiàn)最終的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是什么?解決問題.直觀想象有助于建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.在本節(jié)課中,如果最終能增加一個(gè)解決問題的環(huán)節(jié),也就能真正使素養(yǎng)落地呈現(xiàn),比如解決一個(gè)實(shí)際生活中與反比例函數(shù)有關(guān)的問題(諸如八省聯(lián)考中的有關(guān)大興機(jī)場(chǎng)的問題).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是為了解決問題,尤其是解決具有生活價(jià)值的問題.我們需要讓學(xué)生了解怎樣的知識(shí)才是有價(jià)值的.生活和未來都充滿不確定性,而確定的方法、技能、素養(yǎng)能夠幫助學(xué)生解決這些問題,這才是最有價(jià)值和意義的.在核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué),要走出課堂,走進(jìn)生活.解決問題是數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的橋梁,而直觀想象是數(shù)和形的橋梁,數(shù)形結(jié)合形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中解決問題從而使得核心素養(yǎng)真正落地呈現(xiàn).

        5 結(jié)語(yǔ)

        核心素養(yǎng)背景下的后建構(gòu)課堂教學(xué),在不斷實(shí)踐和積累中彰顯它獨(dú)特的魅力,使得核心素養(yǎng)可觀測(cè)、可評(píng)價(jià)、可呈現(xiàn)、可落地,這樣的課堂教學(xué)要形成的課堂形態(tài)、教學(xué)范式需要持續(xù)地認(rèn)真探索和實(shí)踐,只有這樣六大核心素養(yǎng)才能真正意義上在課堂教學(xué)中落地,才能促進(jìn)學(xué)生的深度、高效學(xué)習(xí),促進(jìn)思維的高階發(fā)展.

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