楊 瓊，褚衍東，徐 璐

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070）

石油勘探是關(guān)系國(guó)民生計(jì)的重大工程.由于井眼的限制，勘探人員對(duì)鉆柱進(jìn)入地下復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不是十分了解.因此，借助科學(xué)手段來(lái)研究鉆柱進(jìn)入地下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是十分必要的.在鉆進(jìn)過(guò)程中，當(dāng)鉆頭運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與土地接觸時(shí)將造成鉆具和鉆頭的過(guò)早磨損并產(chǎn)生主要的振動(dòng).而鉆柱的振動(dòng)情況可以清晰地反映設(shè)備的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及地底情況［1］.基于這一原因，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始了對(duì)底部鉆柱動(dòng)力學(xué)特性的研究.借助ANSYS等軟件探討了鉆鋌長(zhǎng)度、鉆井液密度、鉆柱長(zhǎng)度和壁厚、鉆壓以及防磨套間距等參數(shù)對(duì)鉆柱橫向振動(dòng)的影響.例如，韓春杰［2］研究了水平井鉆柱的橫向振動(dòng)問(wèn)題.Tian［3］等分析了不同工況下鉆柱橫向振動(dòng)中固有頻率的變化趨勢(shì).Marcin［1］等研究了一類新型實(shí)驗(yàn)鉆機(jī)底部鉆具組合（BHA）的前后旋及共存問(wèn)題.田家林［4］等基于動(dòng)力學(xué)理論及數(shù)值求解方法，研究了整個(gè)井下鉆柱的縱向和橫向耦合振動(dòng)問(wèn)題.Zhang［5］等將加權(quán)殘差法與有限元法結(jié)合來(lái)研究預(yù)彎曲擺式鉆具組合的橫向振動(dòng).在考慮鉆頭的摩擦及鉆頭的切削作用下，賈曉麗［6］等從數(shù)值上分析了無(wú)量綱化控制參數(shù)對(duì)鉆柱粘滑振動(dòng)特性的影響.Wang［7］等基于動(dòng)力學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)了一種用于控制空氣鉆井中井斜的超前擺底部鉆具組合.Zhang［8］等以一類旋轉(zhuǎn)鉆井的軸向和扭轉(zhuǎn)耦合系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了不同失穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)的收斂性和魯棒性.

隨著混沌理論的興起使得人們認(rèn)識(shí)到，復(fù)雜的鉆柱行為實(shí)際上可以用低維模型來(lái)描述，對(duì)這種模型的詳細(xì)研究除了可以提高我們對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)的理解之外，還可能為防止不必要的鉆柱磨損現(xiàn)象提供一些線索，從而更好地控制鉆柱的運(yùn)動(dòng)行為.據(jù)我們所知，鉆井過(guò)程中由鉆鋌偏心引起的旋轉(zhuǎn)會(huì)導(dǎo)致劇烈的橫向振動(dòng)，這一過(guò)程可以歸結(jié)為不平衡轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).隨著轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)［9-10］的發(fā)展，研究者們開(kāi)始從轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)分析旋轉(zhuǎn)鉆鋌的運(yùn)動(dòng)特性.Jansen首次將轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論應(yīng)用于鉆柱系統(tǒng)，所得結(jié)果較好地反映了鉆柱的動(dòng)力學(xué)特性［11］.Qiu［12］研究了粘滑運(yùn)動(dòng)中，參數(shù)變化對(duì)鉆柱系統(tǒng)出現(xiàn)分岔和混沌的影響.王明杰［13］考慮了鉆柱軸向-橫向-扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.朱安茂［14］以鉆柱內(nèi)部鉆井液和環(huán)空內(nèi)鉆井液的水平鉆柱橫向振動(dòng)模型為研究對(duì)象，討論了內(nèi)外鉆井液流速、鉆井液密度等因素對(duì)鉆柱橫向振動(dòng)特性的影響.Wiercigroch［15］等討論了含有時(shí)滯和粘性阻尼的兩自由度鉆柱振動(dòng)耦合模型的動(dòng)力學(xué)特性.王寶金［16］等建立了水平井鉆柱渦動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了鉆柱自重、井壁摩阻、鉆井液流速等因素對(duì)水平井鉆柱渦動(dòng)規(guī)律的影響.Wiercigroch［18］等研究了井下低維鉆柱系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性.Irawan［19］等借助有限元方法研究了鉆柱的橫向振動(dòng)問(wèn)題.雖然上述文獻(xiàn)詳細(xì)的列舉了不同工況下，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)鉆柱系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性的影響，但借助數(shù)值延拓和分岔技術(shù)對(duì)鉆柱系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究依然鮮見(jiàn).本文以鉆柱的橫向振動(dòng)模型為研究對(duì)象，借助Lyapunov直接法，推導(dǎo)出使得系統(tǒng)保持穩(wěn)定的參數(shù)條件.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，分析了系統(tǒng)出現(xiàn)渦動(dòng)現(xiàn)象及橫向振動(dòng)的參數(shù)范圍.找到了符合實(shí)際的最優(yōu)參數(shù).為減弱鉆具磨損，提高鉆柱的工作效率提供了一定的參考.

1 力學(xué)模型

地下鉆井組合通常由鉆鋌、穩(wěn)定器和鉆頭組成.圖1為偏轉(zhuǎn)鉆鋌在（X1，X2）平面上的截面圖，其中X1，X2為鉆鋌相對(duì)于井孔中心的幾何正交位移，m；s0為穩(wěn)定器間隙，m；φ為穩(wěn)定器摩擦角，rad；M為鉆鋌的質(zhì)量，kg；kf為等效流體阻尼系數(shù)，kg/m；Ω是轉(zhuǎn)速，m/s；e0是鉆鋌的質(zhì)量偏心率；k為鉆鋌截面的等效抗彎剛度，kg/m2；p表示鉆鋌幾何中心與穩(wěn)定器中心之間的距離，m.

圖1 偏轉(zhuǎn)鉆鋌在平面上的截面圖Fig.1 The cross section of a deflected drill collar in theplane

為了準(zhǔn)確描述帶有恒定角速度鉆柱系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，Jansen作出假設(shè)（彈性鉆鋌處于第一彎曲模態(tài)；井孔是完全垂直的；穩(wěn)定器是無(wú)質(zhì)量的），并建立以下模型方程［11］：

依據(jù)圖1的幾何結(jié)構(gòu)，可以得到：

借助（2）式及一階Taylor展開(kāi)，方程（1）可寫(xiě)為：

引入無(wú)量綱變量：

其中鉆鋌間隙c0=（Dh-Dc）/2（Dh和Dc分別為孔的直徑和鉆鋌的直徑），m；鉆鋌固有頻率Hz；α為接觸參數(shù).得到如下系統(tǒng)：

為了便于研究鉆柱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)系統(tǒng)（5）作坐標(biāo)變換［17］，并設(shè)阻尼系數(shù)φ=0，摩擦系數(shù)ξ=0，得到如下自治系統(tǒng)：

2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)（6）描述了鉆柱的橫向振動(dòng)，其平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)（5）的同步渦動(dòng)情況.令系統(tǒng)（6）的平衡點(diǎn)為pe=（x0，y0，z0，w0），其中

且|x0|＞ζ，對(duì)平衡點(diǎn)pe作一個(gè)小擾動(dòng)，即

將（7）式代入（6）式可得：

將（8）式在（0，0，0，0）處作Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)得：

其中，

系統(tǒng)（6）可寫(xiě)為：

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

其中，

將Lyapunov函數(shù)寫(xiě)為如下矩陣形式：

令Pi（i=1，2，3，4）為V（x，y，z，w）所確定特征矩陣的主子式，即

依據(jù)Sylvester引理［20］可知，當(dāng)時(shí)，V（x，y，z，w）=-B（x，y，x，w）+…是正定的，對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

將（9）式代入（14）式得到：

3 數(shù)值模擬

3.1 外激勵(lì)頻率變化對(duì)系統(tǒng)同步渦動(dòng)的影響

渦動(dòng)是鉆柱系統(tǒng)橫向振動(dòng)誘導(dǎo)的最劇烈的運(yùn)動(dòng)形式，而同步渦動(dòng)的出現(xiàn)會(huì)降低鉆井效率，加速鉆鋌的磨損，這對(duì)鉆柱系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是十分不利的.因此，我們可以借助不同參數(shù)條件下的穩(wěn)態(tài)解曲線（圖2），得到系統(tǒng)出現(xiàn)同步渦動(dòng)的參數(shù)范圍，避免系統(tǒng)出現(xiàn)同步渦動(dòng)現(xiàn)象，提高鉆柱井下勘探的效率.圖2中實(shí)線表示具有物理意義的穩(wěn)態(tài)解，虛線表示具有非物理意義的穩(wěn)態(tài)解.觀察圖2（a）可知，當(dāng)穩(wěn)定器間隙ζ小于鉆鋌的偏心率ε時(shí)，隨著外激勵(lì)頻率η增大，系統(tǒng)（6）的平衡點(diǎn)數(shù)目（最多不超過(guò)2個(gè)，包含了物理解和非物理解）發(fā)生顯著的變化.當(dāng)η＜1時(shí)，系統(tǒng)（6）中符合物理意義的平衡點(diǎn)只出現(xiàn)1個(gè)，即在鉆柱運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)1次同步渦動(dòng)現(xiàn)象.當(dāng)η→1時(shí)，沒(méi)有平衡點(diǎn)，即沒(méi)有同步渦動(dòng)出現(xiàn).當(dāng)η＞1時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的數(shù)目又增加為2個(gè)，但只有1個(gè)具有物理意義的，即系統(tǒng)的同步渦動(dòng)又恢復(fù)為1次.也就是說(shuō)，在ζ＜ε的情況下，隨著外激勵(lì)頻率的增大，系統(tǒng)的同步渦動(dòng)最多出現(xiàn)1次.觀察圖2（b）可知，在穩(wěn)定器間隙ζ大于鉆鋌的偏心率ε情況下，當(dāng)η＜1時(shí)，系統(tǒng)的同步渦動(dòng)次數(shù)會(huì)逐漸增加.當(dāng)η→1時(shí)，同步渦動(dòng)次數(shù)增加到2次.當(dāng)η＞1時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不符合物理意義的2個(gè)平衡點(diǎn)，即系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)同步渦動(dòng).

圖2 穩(wěn)態(tài)解曲線Fig.2 Stationary solution curve

3.2 外激勵(lì)頻率及質(zhì)量偏心率變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

下面研究穩(wěn)定器間隙ζ大于鉆鋌偏心率時(shí)，外激勵(lì)頻率η變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.固定參數(shù)α=1.0，ζ=0.2，ε=0.1，借助變步長(zhǎng)的四階龍格庫(kù)塔法，可得不同外激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)的相圖、時(shí)間響應(yīng)圖、Poincaré截面圖.觀察圖3～圖5可知，當(dāng)0＜η＜1時(shí)，系統(tǒng)（6）的運(yùn)動(dòng)始終處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（5）會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).因此，在鉆進(jìn)過(guò)程中，為了減弱穩(wěn)定器的磨損，提高鉆柱系統(tǒng)的工作效率，外激勵(lì)頻率η取值盡量不超過(guò)1.

圖3 η＝0.001對(duì)應(yīng)的相圖、時(shí)間響應(yīng)圖、Poincaré截面Fig.3 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.001

圖5 η＝0.05對(duì)應(yīng)的相圖、時(shí)間響應(yīng)圖、Poincaré截面Fig.5 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.05

圖4 η＝0.040 8對(duì)應(yīng)的相圖、時(shí)間響應(yīng)圖、Poincaré截面Fig.4 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.040 8

圖6～圖7研究了在穩(wěn)定器間隙ζ大于鉆鋌偏心率ε的情況下，當(dāng)外激勵(lì)頻率η超過(guò)1時(shí)，鉆鋌偏心率變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.圖6為偏心率ε取不同值對(duì)應(yīng)的分岔圖.觀察圖6（a）可知，當(dāng)參數(shù)η在［1，2］內(nèi)逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)（6）進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)參數(shù)η超過(guò)某一臨界頻率時(shí)，系統(tǒng)不再出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，即外激勵(lì)頻率越低越容易出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).對(duì)比圖6（a）與圖6（b）可知，當(dāng)參數(shù)ε增大時(shí)，低頻區(qū)域出現(xiàn)混沌的寬度減小，而當(dāng)外激勵(lì)頻率超過(guò)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng).圖7為外激勵(lì)頻率η=1.01時(shí)，對(duì)應(yīng)的相圖及時(shí)間響應(yīng)圖.觀察圖7可知，當(dāng)外激勵(lì)頻率η=1.01時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).因此，為了避免鉆柱系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，我們可以適當(dāng)?shù)脑龃笸饧?lì)頻率，減弱鉆鋌的磨損.

圖6 ε取不同值對(duì)應(yīng)的分岔圖Fig.6 The bifurcation diagram corresponding to differentεvalues

圖7 η＝1.01對(duì)應(yīng)的相圖、時(shí)間響應(yīng)圖Fig.7 Corresponding phase diagram，time response diagram ofη＝1.01

4 結(jié)論

本文研究了參數(shù)變化對(duì)含簡(jiǎn)諧外激勵(lì)鉆柱橫向振動(dòng)模型的影響，主要結(jié)果如下：

1）外激勵(lì)頻率、質(zhì)量偏心率、穩(wěn)定器間隙，對(duì)系統(tǒng)同步渦動(dòng)現(xiàn)象的出現(xiàn)和次數(shù)有很大的影響.當(dāng)穩(wěn)定器間隙小于鉆鋌的偏心率時(shí)，只要外激勵(lì)頻率不等于1，系統(tǒng)總會(huì)出現(xiàn)同步渦動(dòng)現(xiàn)象；當(dāng)穩(wěn)定器間隙大于鉆鋌的偏心率時(shí)，只有在外激勵(lì)頻率小于1的情況下，系統(tǒng)才會(huì)出現(xiàn)同步渦動(dòng)現(xiàn)象.

2）在穩(wěn)定器間隙大于鉆鋌的偏心率的情況下，當(dāng)外激勵(lì)頻率小于1時(shí)，鉆柱系統(tǒng)始終處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)外激勵(lì)頻率大于1時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)鉆鋌偏心率增大時(shí)，鉆柱系統(tǒng)在低頻區(qū)混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積減小.