張小康, 肖本賢, 肖獻(xiàn)強,2, 方紫劍

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.合肥壹恒智能機械人有限公司，安徽 合肥 230000;3.合肥搬易通科技發(fā)展有限公司，安徽 合肥 230012)

0 引 言

隨著無線通信技術(shù)的進步以及無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(wireless sensor network,WSN)的廣泛應(yīng)用,精確定位、減小通信開銷以及降低節(jié)點的能量損耗等成為信號處理領(lǐng)域研究的熱點問題。區(qū)域的目標(biāo)精確定位作為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中一個重要研究分支,在軍工、航天、石化和建材等領(lǐng)域的室內(nèi)定位[1]、水體污染定位[2]、位置追蹤等諸多場景中得到充分應(yīng)用,因此提高其定位精度對工業(yè)生產(chǎn)和人們?nèi)粘Ｉ罹哂兄匾膶嶋H意義。

近年來,壓縮感知(compressive sensing, CS)技術(shù)的興起為目標(biāo)定位提供了新思路。通過對目標(biāo)區(qū)域進行網(wǎng)格離散化,使得目標(biāo)位置向量具有天然的稀疏性[3],只需少量的測量信息,便可以通過測量矩陣和測量向量恢復(fù)出稀疏信號從而完成網(wǎng)格中多目標(biāo)的定位。文獻(xiàn)[4]將節(jié)點之間的連通度作為觀測值,通過l1最優(yōu)化方法從觀測向量中重構(gòu)出目標(biāo)位置,提高定位精度,但是算法計算量較大;文獻(xiàn)[5]利用回溯多分辨率的思想對目標(biāo)不在網(wǎng)格中心的情況進行網(wǎng)格細(xì)分,提高定位精度,但是隨著迭代次數(shù)的增加計算量大大增加;文獻(xiàn)[6]通過LANDMARC結(jié)合壓縮感知進行室內(nèi)定位,先利用該算法鎖定定位區(qū)域,然后利用模擬退火改進的正交匹配追蹤算法進行目標(biāo)位置的定位,兼顧了定位效率和定位精度。通?；贑S的定位方法采用固定的網(wǎng)格劃分監(jiān)測區(qū)域[7-9],為了提高定位精度,網(wǎng)格劃分寬度應(yīng)盡量縮小,使得測量矩陣維數(shù)急劇上升,壓縮感知算法的運算量大大增加。

基于上述問題,本文提出一種優(yōu)化壓縮感知算法,引入bounding-box方法減小未知節(jié)點的定位區(qū)域,降低測量矩陣維數(shù),從而減小后一階段壓縮感知算法的計算量。利用卡爾曼濾波對同一傳感器節(jié)點采集到的多個接收信號強度值進行處理,保證觀測向量y的準(zhǔn)確性,解決了測量向量受噪聲干擾導(dǎo)致壓縮感知重構(gòu)精度低的問題。另外針對壓縮采樣匹配追蹤算法(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)候選集冗余度大的缺點提出基于原子相關(guān)度閾值的回溯匹配追蹤算法,將候選集中的2K個原子相關(guān)度的平方平均值作為閾值對候選集進一步篩選,找出相關(guān)度較大的原子,避免過多無關(guān)原子進入支撐集增加裁剪負(fù)擔(dān),并在支撐集保留系數(shù)較大的原子使得算法以更高的概率獲得真正的支撐集,提升重建精度。

1 CS定位模型

基于CS的目標(biāo)定位模型如圖1所示,在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)待定位的區(qū)域內(nèi)部署K個可以發(fā)出無線電位置未知的目標(biāo)節(jié)點、M個位置已知的傳感器。將待定位的區(qū)域劃分為數(shù)量為N的大小均勻的網(wǎng)格,目標(biāo)位置便離散在這些網(wǎng)格中,這樣就將目標(biāo)的定位問題轉(zhuǎn)化為基于網(wǎng)格的定位問題,通過傳感器接收到的信號強度確定目標(biāo)節(jié)點所在的網(wǎng)格位置。

圖1 基于CS的目標(biāo)定位模型

定位區(qū)域內(nèi)M個傳感器通過接收信號強度衰減模型獲得的觀測矩陣P=(Pij)M×N,其中Pij表示第i(1≤i≤M)個傳感器到第j(1≤j≤N)個網(wǎng)格的接收信號強度值。傳感器接收到目標(biāo)的信號強度值模型[10]如下:

(1)

其中:d0為參考距離,一般取1 m;P0為在參考距離d0處的接收信號強度;n1為路徑衰減指數(shù),一般取2～5;d為傳感器到目標(biāo)的距離;Xσ為高斯噪聲變量。

M個位置已知的傳感器節(jié)點獲得K個未知節(jié)點的接收信號強度總和得到觀測向量y=Pμ,然后將其傳送到數(shù)據(jù)融合中心的sink節(jié)點,sink由觀測向量y和觀測矩陣P重構(gòu)出稀疏信號μ,信號中系數(shù)不為零元素的位置對應(yīng)著網(wǎng)格中目標(biāo)所在的位置。

2 基于優(yōu)化壓縮感知算法的目標(biāo)定位

基于優(yōu)化壓縮感知算法目標(biāo)定位的流程圖如圖2所示,整個過程主要由如下3個步驟組成:① 利用bounding-box算法進行區(qū)域鎖定并獲取測量矩陣;② 對傳感器節(jié)點接收到的接收信號強度值進行卡爾曼濾波處理,構(gòu)建觀測向量;③ 根據(jù)獲得的測量向量和測量矩陣,采用基于原子相關(guān)度閾值的回溯匹配追蹤算法進行位置估計。

圖2 定位流程圖

2.1 卡爾曼濾波

觀測向量y是傳感器節(jié)點接收到的未知節(jié)點的接收信號強度,決定壓縮感知算法的重建精度。在實際測量中因受環(huán)境因素的影響,傳感器節(jié)點的接收信號強度測量值包含數(shù)量較小,幅值較大的測量誤差。為了保證測量向量的準(zhǔn)確性,本文采用卡爾曼濾波對來自同一未知節(jié)點多組接收信號強度值進行處理,過濾較大的噪聲,使優(yōu)化后的接收信號強度值更加接近真實值。

卡爾曼濾波是基于線性最小均方誤差預(yù)測和線性遞歸更新的優(yōu)化算法[11]?？柭鼮V波主要分為預(yù)測和更新2個階段。

(1)預(yù)測階段。t時刻狀態(tài)預(yù)測方程為:

X(t|t-1)=AX(t-1|t-1)+BU(t)

(2)

其中:X(t|t-1)為t時刻的接收信號強度狀態(tài)預(yù)測值;X(t-1|t-1)為t-1時刻的接收信號強度狀態(tài)值;A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;B為控制矩陣;U(t)為狀態(tài)控制量。在理想狀態(tài)下,來自同一未知節(jié)點的接收信號強度是相同的,因此在實驗中A取1,控制量BU(t)取0。

協(xié)方差預(yù)測方程為:

P(t|t-1)=AP(t-1|t-1)AT+Q

(3)

其中:P(t|t-1)為對應(yīng)X(t|t-1)的系統(tǒng)誤差協(xié)方差;P(t-1|t-1)為對應(yīng)X(t-1|t-1)的系統(tǒng)誤差協(xié)方差;Q為狀態(tài)噪聲協(xié)方差,在實驗中,認(rèn)為預(yù)測模型很可靠,因此Q設(shè)為1×10-6。

卡爾曼增益為:

K(t)=P(t|t-1)HT(HP(t|t-1)HT+R)-1

(4)

(2)更新階段。t時刻狀態(tài)更新方程為:

X(t|t)=X(t|t-1)+

K(t)(Z(t)-HX(t|t-1))

(5)

協(xié)方差更新方程為:

P(t|t)=(I-K(t)H)P(t|t-1)

(6)

其中:R為測量噪聲協(xié)方差;K(t)為t時刻的卡爾曼增益;Z(t)為t時刻的接收信號強度測量值;H為觀測狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,傳感器節(jié)點實際測量的接收信號強度與理想的接收信號強度應(yīng)該是相同的,因此H取1。

2.2 bounding-box算法獲取定位區(qū)域

假設(shè)待定位目標(biāo)T通信范圍內(nèi)有3個傳感器節(jié)點S1、S2、S3,坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)。bounding-box算法以及網(wǎng)格劃分示意圖如圖3所示。根據(jù)節(jié)點通信范圍可以獲得3個正方形區(qū)域,目標(biāo)就落在這3個矩形的重疊區(qū)域,目標(biāo)T通過通信范圍內(nèi)錨節(jié)點獲得的定位區(qū)域如圖3中陰影所示。定位區(qū)域的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

圖3 bounding-box算法以及網(wǎng)格劃分示意圖

(7)

其中:xl、xr、yu、yd分別為重疊區(qū)域的左邊界、右邊界、上邊界和下邊界；R為節(jié)點的通信半徑。

將未知節(jié)點通信范圍內(nèi)的錨節(jié)點作為傳感器,根據(jù)傳感器接收到定位區(qū)域內(nèi)各網(wǎng)格中心的信號強度建立測量矩陣，即

(8)

其中:Pij為第i(1≤i≤M)個傳感器節(jié)點到第j(1≤j≤N)個網(wǎng)格中心的信號強度由(1)式計算;M為未知節(jié)點通信范圍內(nèi)的傳感器節(jié)點數(shù)目;N為網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量。文獻(xiàn)[12]表明測量矩陣應(yīng)當(dāng)滿足:

M≥O(Klg(N/K))

(9)

其中，K為1。因此可以得到:

M≥ClgN

(10)

由此可以推出:

N≤10M/C

(11)

其中:C為測量常數(shù),當(dāng)網(wǎng)格數(shù)N滿足(11)式時,壓縮感知算法能夠精確重建稀疏信號。

在網(wǎng)格定位中感知矩陣列之間相關(guān)性較強,無法滿足RIP性質(zhì)[13],需要對測量矩陣P進行預(yù)處理才能保證壓縮感知算法精確重構(gòu)。本文采用基于LU分解[14]的方法將原子字典分解為P=LU,然后對觀測值y進行下面的變換得到新的觀測值y′為:

y′=(L)+y==L+LUμ=Uμ=Φμ′

(12)

其中:L+為L的偽逆;Φ由U列單位化得到,是一個部分正交矩陣,完全滿足RIP性質(zhì)。

2.3 壓縮感知算法定位

經(jīng)過bounding-box算法的區(qū)域鎖定,目標(biāo)定位問題轉(zhuǎn)化為1稀疏度的向量的重建問題。稀疏向量重建模型為:

yk=Φμk′

(13)

其中:yk為第k(k≤K)個目標(biāo)的M×1維觀測向量;Φ為經(jīng)過LU分解的測量矩陣;μk為第k個目標(biāo)的位置向量,不為0的位置代表可能存在目標(biāo)的網(wǎng)格。

(14)

(15)

進一步有:

(16)

利用加權(quán)質(zhì)心算法求解待定位目標(biāo)位置如下:

(17)

2.4 基于原子相關(guān)度閾值的回溯匹配追蹤算法

定義原子相關(guān)度如下:

u=|ΦTr|

(18)

其中:ΦM×N為測量矩陣;rN×1為殘差;u為N×1維的向量,向量中的系數(shù)代表ΦM×N中的列和殘差r的內(nèi)積,稱為原子相關(guān)度。

(19)

其中:ui(1≤i≤2K)為原子相關(guān)度,由(19)式計算得到。然后根據(jù)Υ確定篩選后的候選集λt為:

λt={i||ui|≥Υ}

(20)

每次迭代中,原子相關(guān)度閾值Υ隨著原子相關(guān)度向量u的變化而變化,但總能保留相關(guān)度較大的原子,這樣既能保證候選原子的可靠性,又能為最終原子集的確定節(jié)省時間。

算法的具體步驟如下。

輸入:M維測量向量y,M×N維傳感矩陣Φ,目標(biāo)數(shù)K,迭代停止閾值Δ。

(1)初始化選取迭代次數(shù)t=1,初始支撐集大小為I=K,殘差r0=y,迭代停止閾值Δ,初始支撐集F0=?,支撐集大小Q=δ。

(2)通過u=|ΦTrt-1|計算相關(guān)系數(shù)u,并從u中取出2K個最大值對應(yīng)的索引值構(gòu)成集合T。

(3)在集合T中的2K個原子中求滿足|ΦTrt-1|>Υ的原子腳標(biāo)集合，即

λt=|〈rt-1,Φj〉|>Υ,j=1,2,…,2K。

(4)將挑選出來的原子加入支撐集。計算公式為:

Ft=Ft-1∪λt,Φt=Φt-1∪Φλt。

3 實驗分析

3.1 仿真環(huán)境設(shè)置及參數(shù)設(shè)定

在48 m×48 m的待定位區(qū)域內(nèi),每隔6 m的間隔均勻布置傳感器節(jié)點,共形成81個錨節(jié)點,K個未知節(jié)點隨機分布在區(qū)域中的任意位置。M為未知節(jié)點通信范圍內(nèi)的傳感器數(shù)量,取決于通信半徑R,未知節(jié)點根據(jù)通信范圍內(nèi)的傳感器節(jié)點利用bounding-box算法確定定位區(qū)域,網(wǎng)格數(shù)量N由網(wǎng)格步長r確定。根據(jù)已有經(jīng)驗[15-16],并結(jié)合本文仿真場景,測量常數(shù)C取7,網(wǎng)格劃分步長r取2 m,節(jié)點通信半徑R取20 m,迭代停止閾值Δ設(shè)為1×10-6,重構(gòu)稀疏度δ取4。在仿真實驗中加入高斯白噪聲來模擬實際環(huán)境中的噪聲。為了驗證本文算法的定位性能,將本文算法與正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit,OMP)、貪婪匹配追蹤算法(greedy matching pursuit,GMP)以及壓縮采樣匹配追蹤算法進行比較。采取傳統(tǒng)壓縮感知算法定位將整個定位區(qū)域劃分為20×20的網(wǎng)格,每隔6 m布置傳感器節(jié)點,共81個傳感器節(jié)點,未知節(jié)點隨機分布在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)。為了避免實驗受到隨機性的影響,每次實驗均仿真300次取其平均值使結(jié)果穩(wěn)定。

為了評估定位性能,設(shè)第i次定位誤差為:

(21)

總的平均誤差為:

(22)

平均定位時間設(shè)為:

(23)

其中:K為目標(biāo)數(shù);Ti為第i次的定位時間。

定義定位成功率為:

(24)

仿真參數(shù)見表1所列。

表1 仿真參數(shù)

4種算法在K=8、RSN=25 dB時的定位結(jié)果對比如圖4所示。從圖4中可以看出,OMP算法定位效果最差,大多數(shù)重建位置距離原始位置較遠(yuǎn),定位誤差達(dá)到2 m以上；CoSaMP算法和GMP算法定位效果優(yōu)于OMP算法,定位誤差分別為1.3、1.5 m;本文算法定位效果最好,重建位置與原始位置幾乎重合,平均定位誤差為0.71 m,遠(yuǎn)小于對比算法。

圖4 4種算法定位結(jié)果對比

4種算法在K=8時不同信噪比下的定位成功率如圖5所示。隨著信噪比的上升,節(jié)點接收到的信號強度準(zhǔn)確性顯著上升,4種算法的定位成功率均呈上升的趨勢,當(dāng)信噪比達(dá)到一定程度時,定位成功率趨于穩(wěn)定。在噪聲為5 dB時,OMP算法、GMP算法以及CoSaMP算法定位成功率分別為0.15、0.24、0.42,大多數(shù)目標(biāo)無法正確定位,本文算法的定位成功率為0.61,相比OMP算法、GMP算法以及CoSaMP算法,相應(yīng)提高3倍、1.5倍以及45%,在噪聲較大的條件下依然能夠保持較高的定位成功率,表明本文算法抗噪性能較好,魯棒性較強。

圖5 4種算法在不同信噪比下的定位成功率對比

當(dāng)K=8時，4種算法的定位誤差隨信噪比的變化如圖6所示。在信噪比為5 dB時, OMP算法、GMP算法、CoSaMP算法定位誤差分別為6.02、5.13、4.37 m,本文算法的定位誤差為2.31 m,遠(yuǎn)小于對比算法。隨著信噪比的增加,4種算法的定位誤差逐漸減小,當(dāng)信噪比達(dá)到20 dB之后4種算法的定位誤差減小趨勢較緩,當(dāng)信噪比為40 dB時,本文算法的定位誤差為0.66 m左右,OMP算法、GMP算法和CoSaMP算法定位誤差分別為1.72、1.24、1.04 m。由此看出,在相同噪聲的條件下,本文算法的抗噪性能要優(yōu)于對比算法,魯棒性較強。

圖6 4種算法在不同信噪比下的定位誤差對比

當(dāng)RSN=25 dB時,4種算法的定位誤差隨著目標(biāo)數(shù)目變化情況如圖7所示。從圖7可以看出，隨著目標(biāo)數(shù)的增多,4種算法定位誤差增大,這是由于壓縮感知算法的重建性能隨著稀疏度的增加而下降。在相同目標(biāo)數(shù)下,本文算法的定位誤差始終小于其他算法。從圖7中還可以看出，本文算法隨著目標(biāo)數(shù)的增加定位誤差上升較慢,其他算法誤差增長較快。當(dāng)目標(biāo)數(shù)為20時,本文算法定位誤差為1.05 m,對比3種算法誤差均超過2 m,進一步表明本文算法受目標(biāo)數(shù)影響較小,適應(yīng)性更強。

圖7 4種算法在不同目標(biāo)數(shù)目的定位誤差對比

4種算法在K=8時在不同信噪比下的定位時間如圖8所示。在RSN=25 dB時,OMP算法、CoSaMP算法、GMP算法以及本文算法的平均定位時間分別為0.002 71、0.034 50、0.042 60、0.030 90 s。OMP算法定位時間短,但定位精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他算法。GMP算法每次迭代需要遍歷所有的網(wǎng)格找到使殘差衰減最大的網(wǎng)格位置作為目標(biāo)位置,計算量較大,定位時間較長。本文算法引入bounding-box算法減小定位區(qū)域有效地降低測量矩陣的維數(shù),相較于GMP算法以及CoSaMP算法,本文算法的運算量分別減少29.6%、18.7%,因此具有更低的定位時延。

圖8 4種算法在不同信噪比下的定位時間對比

3.2 實物驗證

為驗證算法的定位性能,在空曠的操場設(shè)置相應(yīng)的物理實驗。實驗區(qū)域大小為6 m×6 m,使用CC2530芯片作為無線信號發(fā)射節(jié)點,CC2530芯片的發(fā)射頻率為2 405.0～2 583.5 MHz,節(jié)點功率為-25 dBm,利用安捷倫頻譜儀E440測量接受信號強度。在中心放置CC2530芯片,每隔0.5 m使用安捷倫頻譜儀測量接收信號強度,每個點測量20次進行卡爾曼濾波處理,過濾數(shù)量小、幅度大的噪聲,由此可以近似獲得(1)式所示的接受信號強度模型的參數(shù),其中P0≈-31 dBm,n≈2.1。將CC2530芯片放置在定位區(qū)域內(nèi),在定位區(qū)域內(nèi)設(shè)立9個觀測點,利用安捷倫頻譜儀測出觀測點的接收信號強度,每個位置測量20次進行卡爾曼濾波處理從而得到測量向量。將接受信號強度小于-40 dBm視為節(jié)點的通信范圍之外,由此得到通信半徑。利用接收信號強度大于-40 dBm的觀測點計算出估計區(qū)域,劃分網(wǎng)格,根據(jù)接收信號強度模型構(gòu)建測量矩陣,然后利用本文算法進行壓縮感知位置估計。傳統(tǒng)壓縮感知算法將網(wǎng)格劃分為6×6的網(wǎng)格,即網(wǎng)格步長為1 m,同樣用安捷倫頻譜儀測得9個觀測點的接收信號強度值獲取測量向量,然后根據(jù)信號接受強度模型獲得基于接收信號強度模型的觀測字典,利用GMP算法、CoSaMP算法、OMP算法進行定位。改變CC2530芯片的位置,重復(fù)上述實驗得到3個未知節(jié)點的定位數(shù)據(jù)，見表2所列。

表2 定位實驗結(jié)果對比

對3個節(jié)點的誤差取平均值可以得到OMP算法、GMP算法、CoSaMP算法以及本文算法的平均定位誤差分別為1.13、1.07、0.88、0.65 m,本文算法定位精度最高,相較OMP算法、GMP算法、CoSaMP算法分別提升了41.7%、39.3%、26.14%。實際定位中受到環(huán)境因素的干擾,接收信號強度測量不準(zhǔn)確,影響壓縮感知重構(gòu)精度,本文對接收信號強度進行卡爾曼濾波能夠有效過濾掉噪聲從而提高壓縮感知重建精度,進而減小定位誤差。

4 結(jié) 論

本文在分析已有壓縮感知算法不足的基礎(chǔ)上,提出了一種優(yōu)化壓縮感知算法。首先利用卡爾曼濾波對傳感器節(jié)點采集的接收信號強度值過濾噪聲信號提高測量精度;然后引入bounding-box算法進行區(qū)域鎖定,有效減小定位區(qū)域從而降低壓縮感知測量矩陣的維數(shù),減小運算量。針對壓縮采樣匹配追蹤算法候選集原子冗余度大,支撐集選擇精度低的問題,本文采取原子相關(guān)度閾值的控制策略對候選集中的原子進行二次篩選,并在支撐集保留相關(guān)系數(shù)較大的原子,提高壓縮感知重建精度。實驗表明,本文算法的定位速度較傳統(tǒng)的GMP算法以及CoSaMP算法有所提升,在不同的目標(biāo)數(shù)以及不同噪聲下的定位精度均優(yōu)于對比算法,具有更好的抗噪性和魯棒性。