顧菊觀，王夢影，徐海斌，曹炳松，俞軼帆，周天佑

(湖州師范學院理學院，浙江 湖州 3 130003)

1 引言

光學教材[1]和光學實驗教材[2]都分析討論的是頂角一定的等邊三棱鏡情況。文獻[3]研究了空氣中的三棱鏡偏向角和棱鏡頂角的關系。文獻[4-7]討論了空氣中的三棱鏡偏向角、最小偏向角與棱鏡頂角、棱鏡折射率的關系。文獻[8]討論了影響棱鏡頂角和最小偏向測量的因素。文獻[9-10]分析討論和總結了空氣中三棱鏡折射率、入射角的多種測量方法，研究了要得到可測量的偏向角對應的入射點問題。文獻對于一般三棱鏡與頂角的研究很少，同時對于偏向角與入射角、偏向角與頂角的關系曲線中的直線部分和負值部分沒有具體理論和模擬說明。應用幾何光學理論、Matlab研究一般三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的理論公式和關系曲線，運用Tracepro模擬光線傳播進行分析討論，對關系曲線中的直線部分和負值部分進行具體理論和模擬分析說明，其結果能很好的指導教學和實驗等過程中棱鏡頂角、折射率和入射角的選擇，更加深對一般三棱鏡偏向角影響因素的認知和理解。

2 偏向角與棱鏡頂角關系的理論分析

由圖1和幾何關系得

圖1 一般三棱鏡的光路示意圖

偏向角為從AC面出射的出射光線以銳角逆時針轉至從AB面入射的入射光線對應的夾角且為正值，與文獻[1-10]一致。偏向角與入射角、出射角、頂角的關系為

得到的偏向角與B、C角沒有關系，與入射角、出射角和頂角有關。其結果與空氣中等邊三棱鏡和文獻[1，3，5-7]一致。

由（1）、（2）式及折射定律（3）式

化簡得

（4）式代入（2）式得偏向角與入射角、頂角的關系

上式化簡得

（7）是指給定棱鏡及兩側的折射率，給定AB面上的入射角，要在AC面上觀察到折射光線（即文獻[1-10]所定義的偏向角）所對應的棱鏡頂角必須小于最大棱鏡頂角。文獻（11）的最大棱鏡頂角是指給定棱鏡折射率和兩側折射率情況下對應的棱鏡最小入射角時，能在AC面上觀察出射光線及得到文獻定義的偏向角所對應棱鏡的最大頂角。（7）式的棱鏡最大頂角是指給定棱鏡及兩側的折射率和AB面上的入射角時，能在AC面上觀察出射光線及得到文獻定義的偏向角所對應棱鏡的最大頂角。文獻（11）和（7）式所定義的最大棱鏡頂角是不同的。

3 偏向角與棱鏡頂角的關系曲線和模擬光路（棱鏡在空氣中）

給定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關系曲線。

3.1 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=300

給定折射率和入射角i1=300，圖2說明偏向角隨頂角的變化是非線性的，偏向角隨頂角增大而增大；達到最大頂角后沿直線線性下降，此時對應的偏向角與頂角呈線性關系是一致的（圖6、8、9、12、16、20的直線部分同理解釋）；圖3說明要從AC面觀察到出射光線，棱鏡的頂角要小于最大頂角；圖4說明當棱鏡頂角大于最大頂角后，觀察到的光線和偏向角都不是文獻所定義的。因此，在給折射率和入射角的情況下，實驗時要注意三棱鏡頂角的選擇。

圖2 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖3 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖4 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖5 全反射對應的偏向角光路示意圖

圖6 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖2 中的直線部分因在AC 面上發(fā)生全反射，出射光線從BC 面出射（如圖4、5）。對應的偏向角是虛數(shù)，取實部即為對應的直線部分的偏向角。

實際上，此時的偏向角θ是對應圖5中的FH線與入射光線EH線的夾角。由圖5在ΔEFH中得

（8）式的Matlab計算結果與（9）式相一致的。由（9）式知，此時的偏向角對于給定的入射角只與棱鏡頂角有關，且為線性關系，對應于圖2的直線部分，（9）式理論分析與關系曲線相符合。以下的偏向角與頂角的關系曲線圖中的直線部分分析都與此相同。

3.2 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=600

由圖2和圖6知，棱鏡最大頂角在折射率給定時，隨入射角的增大而增大。從圖6知，對于入射角i1=600時，棱鏡頂角大于Amax=69.08420不能得到文獻定義的偏向角，直線部分的原因和解釋與圖2相同。棱鏡頂角小于Amax=69.08420能從AC面觀察到出射光線和測量偏向角，圖7給出的是棱鏡頂角A=600（小于最大頂角的情況）時對應的模擬光路傳播情況，能從AC觀察到出射光線和測量偏向角。

圖7 一般三棱鏡模擬光路示意圖

3.3 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=100

圖8 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

3.4 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=89.20

由圖2、6、8、9知，當入射角增加時，對應的棱鏡最大頂角也是增大的。

由圖9知對應的是入射角i1=89.20時偏向角與棱鏡頂角的關系曲線，直線部分的原因和解釋與圖2相同。圖10 給出的是棱鏡頂角A=740（小于Amax=74.73870）和i1=89.20時對應的模擬光路傳播情況，能從AC 觀察到出射光線和測量偏向角。棱鏡頂角大于Amax=74.73870，如圖11所示A=800時對應的光路軌跡，不能得到文獻定義的偏向角。

圖9 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖10 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖11 一般三棱鏡模擬光路示意圖

4 偏向角與棱鏡頂角的關系曲線和模擬光路（棱鏡兩側折射率不同）

棱鏡左側是水，右側是空氣的情況，給定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關系曲線。

4.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=300

圖12 對應的是左側折射率n=1.33300,入射角i1=300時偏向角與棱鏡頂角的關系曲線，從曲線得到與圖2、6、8、9 相似的曲線形狀外，相同入射角情況下棱鏡最大頂角增大，直線部分的原因和解釋與圖2 相同。圖13 說明當棱鏡頂角A=650且大于最大頂角Amax=61.23460時的光線軌跡，光線有從AB 和BC 面出射的，都不符合文獻定義的偏向角的要求。

圖12 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖13 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖12 的曲線中偏向角有負的存在，說明棱鏡頂角小于一定值后，得到的偏向角與原來定義的偏向角（出射光線逆時針轉到入射光線以銳角為正值表示）轉動方向相反，如圖14 和15 所示。圖14 是棱鏡頂角A=80時對應的入射光線和出射光線的情況，對應偏向角如圖15 所示。

圖14 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖15 一般三棱鏡的偏向角為負值時的示意圖示意圖

圖15 中對應的MDFN 是入射光線，EFH 是出射光線，DE 是棱鏡內(nèi)的折射光線，θ是出射光線EFH 順時針轉至入射光線MDFN 對應的夾角即為偏向角且為負值。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC面上的入射角和折射角。對應的偏向角由θ=i1+i2?A或（5）式可得到，理論與關系曲線一致。

4.2 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=600

圖16 對應的是左側折射率n=1.33300,入射角i1=600時偏向角與棱鏡頂角的關系曲線，從曲線得到與圖2、6、8、9、12 部分相似的曲線形狀外，圖16 的曲線中存在偏向角為負的直線部分和曲線部分，曲線部分的解釋與圖12、14、15 的解釋一致的。圖17（A=150）說明得到的偏向角與原來定義的偏向角轉動方向相反，偏向角是負值，對應圖16 負的曲線部分。由圖18 左圖和右圖知給定頂角無論B 角大小如何，光線經(jīng)AC 全反射后又從AB 面（入射面）出射的（如圖18 所示），不符合文獻定義的偏向角的要求。

圖16 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖17 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖18 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖12 和圖2，圖16 和圖6 比較知，左側折射率增大對應的最大頂角也增大。圖16 中偏向角為負的直線部分，光路圖如圖18、19 所示。圖19 中對應的MDFN 是入射光線，EFH 是出射光線，DE 是棱鏡內(nèi)的折射光線，θ是出射光線EFH 順時針轉至入射光線MDFN 對應的夾角即為偏向角（如圖箭頭轉向,θ取負的，圖中標的是正值）。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC 面上的入射角和折射角。

圖19 一般三棱鏡的偏向角為負值時的示意圖示意圖

由圖19 在三角形ΔADE中得

在三角形ΔDEF中得

（10）式代入（11）式得

（12）式的計算結果與（5）式計算結果及圖16 中偏向角為負的直線部分是一致的，這就理論上解釋了負偏向角的直線部分。

5 偏向角與棱鏡頂角的關系曲線和模擬光路（棱鏡在水中）

棱鏡兩側都是水的情況，給定折射率和入射角，由（7）式可以得到偏向角與棱鏡頂角的關系曲線。

5.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1.3330,i1=600

由圖16 和圖20 比較知，相同入射角時，棱鏡右側折射率增大對應的棱鏡最大頂角也增大。由圖2 和圖20 比較知，相同入射角時，棱鏡兩側折射率相同時偏向角與頂角的關系曲線相似，折射率大時對應的最大頂角也要大。給定棱鏡折射率、兩側折射率和入射角，如圖20 所示得棱鏡的頂角有大于 900的情況。圖21 是棱鏡頂角A=950時對應的光路軌跡情況，說明棱鏡頂角大于 900也能從AC 面觀察到出射光線和測量偏向角。圖22 對應A=1100時的光路軌跡情況，由圖22 知雖光線有從AC 面出射的，但不是文獻定義的偏向角；也有從BC 面出射的光線，也不存在文獻定義的偏向角。

圖20 一般三棱鏡偏向角與頂角的關系曲線

圖21 一般三棱鏡模擬光路示意圖

圖22 一般三棱鏡模擬光路示意圖

6 結論

基于理論推導得到的偏向角與棱鏡頂角的關系公式和最大棱鏡頂角公式，通過Matlab 和Tracepro 得到關系曲線、模擬光路和最大棱鏡頂角，研究和討論了一般三棱鏡的偏向角與棱鏡頂角、棱鏡折射率、棱鏡兩側的折射率及入射角的關系。研究得到對于給定的棱鏡折射率、兩側折射率和入射角，偏向角與入射角的關系曲線有相似和不相同的情況，由曲線知都存在最大棱鏡頂角，且棱鏡頂角大于此角，不能得到文獻定義的出射光線和偏向角；由圖知相同棱鏡折射率，不同的入射角對應的棱鏡最大頂角隨入射角增大而增大；兩側折射率不同時，對應的關系曲線有不同的部分，既有偏向角與原來定義的偏向角方向的情況，又有不符合的情況；同時知棱鏡頂角大于 時也能觀察到文獻定義的偏向角存在的情況。理論解釋了關系曲線中為負偏向角的直線和曲線部分產(chǎn)生的原因。其討論和研究結果，對于研究、實驗及教學過程選擇棱鏡頂角、棱鏡兩側折射率及AB 面上的入射角都具有很好的參考價值。是大學生科研訓練的很好選題，能培養(yǎng)提高學生的研究能力和計算機應用能力。