楊彥輝，韓舒婷，馮潔

(1.青島大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266000；2.青島大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266000)

1 引言

沉淀物的沉降分離是化工生產(chǎn)中的重要環(huán)節(jié)，沉降時(shí)間的大小關(guān)系著生產(chǎn)的效率。然而，對于沉淀物顆粒分別為低濃度和高濃度的情況下是否遵循相同的沉降規(guī)律還有待實(shí)驗(yàn)研究。特別地，在高濃度情形下，已報(bào)導(dǎo)的相關(guān)的研究需要計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算[1]。本文對極低和極高濃度(顆粒體積約占容器總體積的1/5)兩種極端情況進(jìn)行研究，應(yīng)用Stokes公式、密舍爾斯基方程等理論進(jìn)行建模，利用得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行修正，最終給出與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較好的公式。

2 模型建立與理論分析

通過預(yù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：低濃度顆粒沉降和高濃度顆粒沉降遵循不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。容器傾角越大，低濃度顆粒沉降所用時(shí)間越長；高濃度顆粒沉降反之?；诖?，對兩種不同的模型分別進(jìn)行理論分析。

2.1 低濃度顆粒沉降

本文約定，顆粒都是半徑為r、質(zhì)量均勻的球體，盛有液體和顆粒的容器是半徑為R的圓柱筒，厚度忽略不計(jì)，容器與水平面的夾角為θ(0<θ<π/2)。

當(dāng)顆粒的濃度(單位體積顆粒數(shù))較小時(shí)，顆粒間的距離較大，顆粒的運(yùn)動(dòng)互不影響。選擇一個(gè)顆粒作為研究對象，研究其運(yùn)動(dòng)情況，推廣到整體。圖1中Ox，Oy，Oz是三個(gè)兩兩正交的坐標(biāo)軸，Oxz平面表示過容器軸線的平面，Oy延容器底面直徑指向紙面內(nèi)。為了簡化分析，只考慮顆粒初始位置在xz平面附近的情況。顆粒沉降過程分為兩個(gè)階段。圖（a）階段一（時(shí)間為0～t1）：在重力G、浮力f和粘滯力F作用下，顆粒從初始位置(x0，y0，z0)處以初速度v0=0豎直下落，直至觸壁到達(dá)(x1，y1，z1)；圖（b）階段二（時(shí)間為t1～t2）：在重力G、浮力f、粘滯力F、與管壁的摩擦力Ff、支持力FN作用下，顆粒從位置(x1，y1，z1)處沿管壁做直線運(yùn)動(dòng)，最后落到試管底部。

圖1 理論分析圖

基于Stokes公式[2]，顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中受到的粘滯力：F=6πηrv.

2.1.1 階段一

由解析幾何的知識求得階段一豎直下落高度H

豎直下落過程中，顆粒在重力G、浮力f和粘滯力F作用下運(yùn)動(dòng)的微分方程為

（3）式滿足的初值條件為

其中，ρ為顆粒密度，ρ0為液體密度，g為重力加速度，v為顆粒速度。

由（3）、（4）式求解，得

用（5）式對時(shí)間積分求得豎直下落高度H與階段一豎直下落時(shí)間t1的關(guān)系

當(dāng)t1不太小時(shí)，（6）式可簡化為

所以

基于（2）、（8）式，得出豎直下落所需的時(shí)間t1。

2.1.2 階段二

顆粒在與容器壁相碰后沿切面法向的速度瞬間變?yōu)?，即只有沿切面向下的速度，顆粒將沿器壁斜面做直線運(yùn)動(dòng)，直至落到底部。

由解析幾何的知識求得階段二碰撞點(diǎn)到底部的距離即沿壁下滑的距離L

沿壁下滑過程中，顆粒在重力G、浮力f、粘滯力F、支持力FN的作用下運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(10)式滿足的初值條件為

其中，ρ為顆粒密度，ρ0為液體密度，g為重力加速度，v為顆粒速度。

由（10）、（11）式求解，得

用（12）式對時(shí)間積分求得沿壁下滑距離L與階段二沿壁運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2的關(guān)系

所以

基于（9）、（14）式，得出沿壁下滑所需的時(shí)間t2。

整個(gè)沉降過程所用時(shí)間t

由（2）、（8）、（9）、（14）、（15）式求得

2.2 高濃度情形

當(dāng)顆粒濃度較大時(shí)，顆粒間的相互作用不可忽略。將所有顆粒組成的整體看作連續(xù)介質(zhì)，而每一個(gè)小顆粒類比為介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)著的粒子，對顆粒整體進(jìn)行分析。

如圖2，在完整的運(yùn)動(dòng)過程中，顆粒整體的上表面始終與試管底面平行，且未沉降到底面的顆粒始終均勻分布。流體的黏度較小時(shí)，流體黏性對顆粒運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)小于顆粒間相互碰撞的影響和顆粒與管壁摩擦的影響，故可以忽略。

圖2 高濃度情形示意圖

本文約定，初始狀態(tài)時(shí)顆粒整體的上表面到試管底面的距離為L，沉降到底面的顆粒體積為0（即不在底面堆積），任意時(shí)刻到底面的距離為l，顆粒整體質(zhì)心速度為0，其他條件與低濃度時(shí)相同。

將顆粒的沉降視為一個(gè)變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)問題，由密舍爾斯基方程[3]可得

其中，MV是顆粒整體的總動(dòng)量，N是底面作用于顆粒整體上的力，F(xiàn)1是作用于顆粒整體的其它力的合力沿容器壁母線方向的分力。當(dāng)顆粒質(zhì)量較小且運(yùn)動(dòng)速度不大時(shí)底面對顆粒整體施加的反作用力N近似為0，故方程可簡化為

（18）式滿足的初值條件為

這是一個(gè)二階非線性常微分方程，可以通過換元法求解，求解得沉降時(shí)間為

3 實(shí)驗(yàn)探究與公式修正

3.1 低濃度顆粒沉降

3.1.1 實(shí)驗(yàn)儀器

半徑0.5mm的金屬小球、蓖麻油、變溫黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀、PID溫控實(shí)驗(yàn)儀、phyphox軟件。

圖3 實(shí)驗(yàn)儀器

圖4 實(shí)驗(yàn)操作圖

3.1.2 實(shí)驗(yàn)分析

在低濃度顆粒沉降中，只需研究其中一個(gè)顆粒即可推廣到整體。為方便控制變量，采用單粒金屬小球在蓖麻油中的沉降實(shí)驗(yàn)，探究低濃度顆粒的沉降時(shí)間與傾角和溫度的關(guān)系，并對公式進(jìn)行修正。

由式（16），需要用到的數(shù)據(jù)有：蓖麻油粘滯系數(shù)η和密度ρ0，變溫粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀與水平面的夾角θ，變溫粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀容器內(nèi)徑R，小球半徑r和密度ρ以及初始沉降位置(x0，y0，z0)，小球和管壁間的摩擦系數(shù)μ。其中，ρ0、ρ、θ、x0、y0、z0、R、r可直接獲得，不同溫度下的η值可從文獻(xiàn)中查得[4]，μ需采用實(shí)驗(yàn)測量。

3.1.3 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）小球與管壁間摩擦系數(shù)μ的測量：使變溫粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)儀試管水平放置，將金屬小球放置在玻璃管口，確保小球不會(huì)滑落。緩慢抬起實(shí)驗(yàn)儀，待小球剛開始滑落的瞬間停止。用phyphox軟件讀出此時(shí)試管與水平面的夾角θ0，利用公式：

求出小球與管壁間的摩擦系數(shù)。

（2）測量不同溫度不同傾角下小球沉降時(shí)間：在玻璃管中倒入蓖麻油，液面與0刻度線相齊。打開控溫裝置，設(shè)置所需溫度，待溫度穩(wěn)定十分鐘后，將玻璃管傾斜一定的角度，將半徑0.5mm的金屬小球從液面中心無初速度下放。下放的瞬間開始計(jì)時(shí)，待小球落到管底后停止計(jì)時(shí)。改變傾角，其他條件不變，按相同方法測量小球下落所需時(shí)間。升高溫度，在不同的溫度下再按以上步驟測量下落時(shí)間。

3.1.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

R=0.01m，r=0.0005m，ρ=7，86*103kg/m3，ρ0=0.95*103kg/m3，g=9。8kg*m/s2，η從文獻(xiàn)中查得[4]，由式（21）式求得μ=0.582，下落初始位置的坐標(biāo)為(0，0，0.382)。將各參數(shù)代入（16）式，計(jì)算結(jié)果如下：

表1 理論數(shù)據(jù)

通過實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)如下：

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論計(jì)算值可以發(fā)現(xiàn)，二者偏差較大，但隨著傾角增大，沉降時(shí)間的變化趨勢相同。

分析主要原因，小球在管壁上滑動(dòng)時(shí)受到的粘滯力偏離Stokes公式，用t實(shí)驗(yàn)與t理論作比，除去可疑值后對所得數(shù)據(jù)取平均，得到表3所示結(jié)果：

表3 實(shí)驗(yàn)與理論的偏差

3.1.5 模型修正

由表3，在同一溫度下，隨傾角的變化，理論值與實(shí)驗(yàn)值的比值近似為一個(gè)常數(shù)。計(jì)算表明，t理論主要取決于（16）式中的第二項(xiàng)，即

因此，將上式乘上一個(gè)與傾角無關(guān)的修正系數(shù)k則可以得到與實(shí)驗(yàn)較符合的結(jié)果。

3.2 高濃度顆粒沉降

3.2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

不同高度的35mm口徑的試管、細(xì)沙、清水、分樣篩、量筒、燒杯、分析天平、背景板

3.2.2 實(shí)驗(yàn)分析

由式（20），需要用到的數(shù)據(jù)有：水的密度ρ0，沙粒的平均密度ρ，試管與水平面的夾角θ，沙粒和管壁間的摩擦系數(shù)μ，顆粒整體的上表面到試管底面的距離即試管長度L。其中，ρ0、θ、L可直接獲得，ρ、μ需采用實(shí)驗(yàn)測量。

3.2.3 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）沙粒密度的測定：用分樣篩對原始沙樣品進(jìn)行篩分，取45目到60目之間的沙粒進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。將沙粒樣本進(jìn)行烘干，用干燥容器盛放，準(zhǔn)備一個(gè)烘干的燒杯。調(diào)節(jié)好分析天平，放入燒杯，去皮，然后將沙粒樣本倒入燒杯中進(jìn)行稱量，讀數(shù)為x克，然后將燒杯取出，關(guān)閉分析天平。準(zhǔn)備一精確度較高的量筒，倒入適量的水，讀數(shù)為n毫升。將燒杯中的沙粒全部倒入量筒中，讀數(shù)為m毫升。計(jì)算沙粒密度為x/(m-n)克每立方厘米。

（2）摩擦系數(shù)的測定：將樣本試管洗凈并烘干。將試管水平放置，并在起靠近試管口出放置少量沙粒。保持試管底部不動(dòng)，并緩慢抬起試管口，當(dāng)發(fā)現(xiàn)試管內(nèi)的沙粒剛滑下時(shí)停止移動(dòng)試管，并記錄此時(shí)的試管與水平方向的夾角θ0。重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，記錄三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并取平均值。按照公式(21)計(jì)算摩擦系數(shù)。

圖5 實(shí)驗(yàn)操作圖

（3）沉降時(shí)間的測定：將一定量的細(xì)沙倒入試管中，注滿清水，用軟木塞塞緊瓶口，先倒置試管使沙粒充滿試管頂部并適當(dāng)搖晃使沙粒間緊密接觸。迅速旋轉(zhuǎn)試管使其豎直（試管口朝上），等待沙粒下降，待沙粒整體的上表面快要脫離試管頂部時(shí)將試管旋轉(zhuǎn)至所需的角度，此時(shí)沙粒正好完全脫離試管頂部下沉，開始計(jì)時(shí)。該操作可以使沙粒整體的質(zhì)心速度近似為0。等到幾乎所有沙粒都沉降到試管底部（此時(shí)沙粒整體的上表面與桌面間的距離不發(fā)生明顯變化）時(shí)停止計(jì)時(shí)。其他條件不變，改變傾斜角度，分別測定60°、65°、70°、75°、80°、85°、90°時(shí)沉降的時(shí)間。適當(dāng)改變沙子用量，換用不同高度的試管，在其他條件不變的情況下，繼續(xù)測定這些角度對應(yīng)的沉降時(shí)間。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象用相機(jī)拍攝記錄。

3.2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

ρ=2.69*103kg/m3，ρ0=1.00*103kg/m3，μ=1.676，g=9.8kg*m/s2，將各參數(shù)代入（20）式，計(jì)算結(jié)果如下：

表4 理論數(shù)據(jù)

通過實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)如下：

表5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論計(jì)算值可以發(fā)現(xiàn)，二者同樣差別較大，原因主要是：

(1) 未充分考慮流體的運(yùn)動(dòng)對顆粒的影響；

(2) 顆粒沉降到試管底部后會(huì)堆積在試管底部，其體積不可忽略；

(3) 由于實(shí)驗(yàn)的操作方法，不能保證顆粒整體的質(zhì)心初速度每次都為0；

(4) 顆粒在沉降過程中不能總是達(dá)到均勻分布。

故需要對公式進(jìn)行修正。考慮到流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，難以從機(jī)理上得到精確的公式，只能在原公式基礎(chǔ)上進(jìn)行修正。通過觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)近似成線性關(guān)系，因此猜想修正的表達(dá)式為

其中A，B為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，且與θ無關(guān)。

以t-0.862*sqrt(3*L/(2*(1-r0/r)*(sinθ-μ*cosθ)*g)對θ作圖，得到圖6的擬合圖像。

圖6 數(shù)據(jù)擬合圖

從上到下擬合得到的三條直線的相關(guān)系數(shù)的平方分別為r1=0.9940，r2=0.9966，r3=0.9941，修正后的公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較好。

4 總結(jié)與討論

在低濃度實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)玻璃管傾斜放置時(shí)，小球很快落在管壁上，而后沿管壁下滑，沉降時(shí)間明顯較豎直放置時(shí)長。在其他條件不變的前提下，隨傾角的增大，小球落到管底的時(shí)間越短?？勺鋈缦陆忉專喝鐖D7所示，小球沿斜面向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨傾角的增大，小球獲得的沿斜面向下的加速度也增大。由于小球下落的總時(shí)間取決于其在管壁上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，故隨傾角的增大，小球下落的總時(shí)間減少。

圖7 小球下落示意圖

在高濃度實(shí)驗(yàn)中，可以看到，無論試管是傾斜放置還是豎直放置都可觀察到沉降的過程中大量沙粒做上下翻滾運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)傾角小于90°時(shí)，沉降在短時(shí)間內(nèi)就可完成。并且在其他條件不變的前提下，沉降時(shí)間隨傾角的增大而增大，這與低濃度時(shí)的情況截然相反。究其原因，當(dāng)大量的顆粒同時(shí)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，本來處于試管底部的流體收到擠壓而迅速沿顆粒間的空隙相上運(yùn)動(dòng)。由于顆粒濃度較大，空隙較小，這股流體會(huì)不斷與顆粒碰撞，宏觀上看，就像顆粒整體受到了流體的“阻滯”，其整體沉降的速度自然會(huì)減慢。而試管傾角越小，顆粒越容易在重力的作用下相互靠攏，從而減小了顆粒間的空隙。空隙的減小使得流體難以從中通過，從而減弱了流體的阻滯效應(yīng)，所以沉降時(shí)間會(huì)縮短。

圖8 流體運(yùn)動(dòng)示意圖

5 結(jié)論

本文建立了低濃度顆粒沉降與高濃度顆粒沉降有關(guān)沉降時(shí)間的計(jì)算模型，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，修正后的模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性，可用于分析顆粒沉降過程。在本文的實(shí)驗(yàn)條件下且其他條件不變時(shí)，單個(gè)顆粒沉降的時(shí)間隨傾角的增大而減??；而高濃度顆粒的沉降時(shí)間隨傾角的增大而增大。這種現(xiàn)象可以在工業(yè)上對沉淀物的分離起指導(dǎo)作用[5]。國外已有報(bào)導(dǎo)自來水廠的澄清池中插入斜板以增強(qiáng)懸浮固體的沉降，也有報(bào)導(dǎo)將其用于化工領(lǐng)域的例子[6]，相關(guān)應(yīng)用有待進(jìn)一步的開發(fā)和研究。