張桂才，馮 菁，馬 林，馬 駿，楊 曄,2，王周祥

(1. 天津航海儀器研究所，天津 300131；2. 中國船舶航海保障技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，天津 300131)

0 引言

光纖陀螺是一種新型全固態(tài)光電慣性儀表，與傳統(tǒng)的基于質(zhì)量體動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的機(jī)械陀螺相比，具有無運(yùn)動(dòng)部件、高可靠、長壽命、低成本、快速啟動(dòng)、動(dòng)態(tài)范圍大及精度覆蓋面廣等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于陸、海、空、天以及民用領(lǐng)域[1-2]。目前，國內(nèi)外光纖陀螺技術(shù)的發(fā)展有兩個(gè)方向[2]，一方面是基于傳統(tǒng)干涉型光纖陀螺技術(shù)，面向高穩(wěn)定、長航時(shí)及甚高精度的慣性測(cè)量和戰(zhàn)略應(yīng)用領(lǐng)域的產(chǎn)品研發(fā)和綜合性能提升[3]，如法國iXblue公司已研制出實(shí)驗(yàn)室精度優(yōu)于1n mile/30晝夜的潛艇應(yīng)用光纖陀螺慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[4]；另一方面是新的精度提升前沿技術(shù)的探索，如Honeywell公司提出了基于光子晶體光纖的用于絕對(duì)基準(zhǔn)的緊湊型超穩(wěn)定陀螺[5-6]。

光子糾纏光纖陀螺儀由M. Fink在2019年首次提出，并獲得了突破散粒噪聲極限的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[7]。在對(duì)光子糾纏光纖陀螺儀的研究中發(fā)現(xiàn)，如果采用傳統(tǒng)光纖陀螺的單端口輸入光學(xué)結(jié)構(gòu)，即使采用非經(jīng)典光子源，其相位檢測(cè)靈敏度仍受散粒噪聲限制，因此提出了采用雙環(huán)行器的雙輸入/輸出的光子糾纏光纖陀螺儀，并首次證明了這種雙端口輸入/輸出結(jié)構(gòu)僅對(duì)對(duì)稱輸入態(tài)才具備光路互易性。

雙模壓縮態(tài)是量子傳感和測(cè)量中常見的一種對(duì)稱非經(jīng)典光量子態(tài)，其實(shí)驗(yàn)制備已有大量報(bào)道[10-12]，但其在光子糾纏光纖陀螺儀中的應(yīng)用特性尚未被人們充分認(rèn)識(shí)[13]。A. Kolkiran對(duì)采用雙模壓縮態(tài)的Sagnac干涉儀進(jìn)行了理論探討[14]，但給出的結(jié)果遠(yuǎn)未實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測(cè)精度。本文采用抽象自旋空間的角動(dòng)量理論，首次對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測(cè)靈敏度潛力進(jìn)行了評(píng)估，并證明了當(dāng)這種對(duì)稱輸入態(tài)的光子數(shù)足夠大時(shí)，可以達(dá)到海森堡極限的相位檢測(cè)精度，而進(jìn)一步分析還揭示出，二階符合計(jì)數(shù)的探測(cè)方案實(shí)際上存在量子增強(qiáng)相位信息的抵消，這正是A.Kolkiran的相關(guān)研究未達(dá)到海森堡極限相位檢測(cè)性能的原因。本文對(duì)光子糾纏光纖陀螺儀的光源選型和探索新的相位檢測(cè)方案具有參考意義。

1 雙模壓縮態(tài)及其特性

|in>=

(1)

可以看出，雙模壓縮態(tài)是一個(gè)對(duì)稱輸入的非經(jīng)典態(tài)。

根據(jù)量子力學(xué)公式[17]

eξABe-ξA=

(2)

=a1

?

(3)

因而在海森堡圖像中，真空態(tài)的雙模壓縮算符演變?yōu)?/p>

(4)

同理有

(5)

進(jìn)而還可以證明

(6)

2 雙模壓縮態(tài)輸入的Sagnac干涉儀和二階符合計(jì)數(shù)

針對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的量子Sagnac干涉儀需要雙輸入/雙輸出的光路特征，提出了一種采用雙環(huán)行器的光子糾纏光纖陀螺結(jié)構(gòu)，如圖1所示。這種結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)輸入與輸出的有效分離。在海森堡圖像中，輸入算符a1、a2經(jīng)過理想Sagnac干涉儀在兩個(gè)輸出端口演變?yōu)檩敵鏊惴鸼1、b2，且有[14]

(7)

式中，Sij是Sagnac干涉儀的傳輸矩陣S的元素；U是與傳輸矩陣S對(duì)應(yīng)的Sagnac干涉儀的演變算符。傳輸矩陣S與分束器、相移器(光纖線圈)有關(guān)，可以表示為

(8)

式中，φ為旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移

(9)

式中，L、D分別為Sagnac干涉儀的光纖長度和線圈直徑；λ為輸入光波的物理波長；c為真空中的光速；Ω為旋轉(zhuǎn)角速率。

圖1 雙模壓縮態(tài)輸入的Sagnac干涉儀Fig.1 Sagnac interferometer with two-mode squeezed state input

同時(shí)，由式(7)和式(8)可以計(jì)算兩個(gè)輸出端口的輸出光強(qiáng)I1、I2

=sinh2r

(10)

二階符合計(jì)數(shù)I12計(jì)算為

(11)

(12)

這是采用二階符合計(jì)數(shù)探測(cè)方案的量子糾纏光纖陀螺儀的量子干涉公式。其中

(13)

也即被探測(cè)光子的糾纏特性導(dǎo)致一種縮短的德布羅意波長λD=λ/2，致使干涉條紋的頻率增加2倍，相位響應(yīng)也即Sagnac標(biāo)度因數(shù)提高了2倍。

(14)

當(dāng)2sinh2r>4時(shí)，Δφ甚至比Δφshot還大，不可能實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測(cè)性能，這也是在A. Kolkiran的文章中觀察到的結(jié)果[14]。因此，需要進(jìn)一步分析雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測(cè)靈敏度潛力。

3 采用角動(dòng)量理論評(píng)估雙模壓縮態(tài)Sagnac干涉儀相位靈敏度

3.1 輸入態(tài)的角動(dòng)量表征

輸入角動(dòng)量Jx-in、Jy-in、Jz-in定義為[19]

(15)

用輸出湮滅算符b1、b2代替輸入湮滅算符a1、a2，可以定義輸出角動(dòng)量Jx-out、Jy-out、Jz-out。

對(duì)于理想的Sagnac干涉儀，任何輸入態(tài)|in>都是總光子數(shù)算符N的本征態(tài)|n1n2>

N|in>=(n1+n2)|n1n2>

(16)

總光子數(shù)算符N、角動(dòng)量分量算符Jz(本征值為m)與角動(dòng)量平方算符J2(本征值為j(j+1))對(duì)易，說明輸入態(tài)是它們的共同本征態(tài)。角動(dòng)量表征的輸入態(tài)|j,m>與光子數(shù)態(tài)表征的輸入態(tài)|n1n2>的關(guān)系有

(17)

(18)

3.2 Sagnac干涉儀的角動(dòng)量演變模型

實(shí)際上，任何一個(gè)雙輸入/雙輸出端口的無損耗無源線性量子光學(xué)器件都可以描述為在抽象自旋空間的旋轉(zhuǎn)[21-22]。假定Sagnac干涉儀的分束器是分光比50∶50的理想分束器，對(duì)于Sagnac干涉儀來說，第一個(gè)分束器等效于使輸入角動(dòng)量繞x軸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度π/2；相移器(光纖線圈)等效于使輸入角動(dòng)量繞z軸按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度φ；第二個(gè)分束器等效于使輸入角動(dòng)量繞x軸按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度π/2。圖2作為一個(gè)簡單例子，描述了抽象自旋空間中光子數(shù)態(tài)|n0>通過Sagnac干涉儀的演變。雙模壓縮態(tài)的輸入角動(dòng)量圖示具有較復(fù)雜的形態(tài)，但通過Sagnac干涉儀的演變過程不變。

(a)輸入態(tài)|n0>

Sagnac干涉儀的角動(dòng)量矩陣變換可以表示為

(19)

可以看出，y向的角動(dòng)量Jy不變，Sagnac干涉儀相當(dāng)于一個(gè)繞y軸的角動(dòng)量旋轉(zhuǎn)變換。

3.3 雙模壓縮態(tài)輸入的相位靈敏度潛力

Jz-out=-sinφ·Jx-in+cosφ·Jz-in

(20)

得到

sinφcosφ·<00|S?(r)(Jx-inJz-in+

Jz-inJx-in)S(r)|00>

(21)

其中

<00|S?(r)(Jx-inJz-in+Jz-inJx-in)S(r)|00>=0

(22)

(23)

由輸入角動(dòng)量的定義，得到

sinh2rcosh6r+7sinh4rcosh4r+sinh6rcosh2r

(24)

=sinh2rcosh2r

(25)

式(23)中其他各項(xiàng)均為0。

由式(18)，在小角速率檢測(cè)也即φ=0時(shí)，相位檢測(cè)靈敏度(相位不確定性)有

(26)

sinh2r=N/2

(27)

代入式(26)，因而有

(28)

4 二階符合計(jì)數(shù)中的量子增強(qiáng)信息抵消

下面分析式(14)的二階符合相位檢測(cè)精度未達(dá)到海森堡極限的原因。由式(1)可以看出，雙模壓縮態(tài)是光子數(shù)態(tài)|nn>的疊加，其輸出的形態(tài)非常復(fù)雜。這里以光子數(shù)態(tài)|22>為例,探討雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合計(jì)數(shù)中量子增強(qiáng)信息的抵消。對(duì)于光子數(shù)態(tài)|22>，經(jīng)過Sagnac干涉儀后的輸出態(tài)為

(29)

可以看出，干涉儀兩個(gè)輸出端口的輸出態(tài)共有5個(gè)可能的光子數(shù)態(tài)：|40>、|04>、|31>、|13>、|22>，每個(gè)輸出態(tài)具有各自的生成概率。|40>、|04>態(tài)的概率振幅中含有2φ和4φ相位信息，|31>、|13>中僅含4φ信息，|22>輸出態(tài)也同時(shí)含有2φ和4φ相位信息。但是， |22>輸入態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)(二階相關(guān)光強(qiáng))卻不含4φ信息

(30)

(31)

下標(biāo)“12-o”表示其中一個(gè)探測(cè)器接收端光子數(shù)為奇數(shù)(odd)的光子數(shù)態(tài)|31>、|13>的二階符合計(jì)數(shù)對(duì)4φ信息的貢獻(xiàn)，式(31)已接近海森堡極限的相位靈敏度。

(a)其中一個(gè)輸出端光子數(shù)為奇數(shù)的輸出態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)

以上分析表明，在雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺中，采用二階符合計(jì)數(shù)探測(cè)方案，實(shí)際上存在量子增強(qiáng)信息的抵消，導(dǎo)致相位檢測(cè)靈敏度無法達(dá)到海森堡極限。因此，對(duì)于雙模壓縮態(tài)輸入光子糾纏光纖陀螺儀，盡管其相位檢測(cè)靈敏度潛力為海森堡極限，但探測(cè)方案應(yīng)盡可能提取完整的量子增強(qiáng)信息，才能實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測(cè)靈敏度。

5 結(jié)論

本文對(duì)采用雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀進(jìn)行了研究：

1)針對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的雙輸入/雙輸出特征，提出了一種采用雙環(huán)行器的Sagnac干涉儀的光路結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了二階符合計(jì)數(shù)探測(cè)方案的量子干涉公式，發(fā)現(xiàn)二階符合計(jì)數(shù)遠(yuǎn)未達(dá)到海森堡極限的相位檢測(cè)性能。

2)采用四階角動(dòng)量理論首次分析了雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測(cè)靈敏度潛力，證明當(dāng)光子數(shù)足夠大時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)海森堡極限。

3)針對(duì)雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合探測(cè)方案僅能實(shí)現(xiàn)超相位分辨率(干涉條紋加倍)而未能實(shí)現(xiàn)超相位靈敏度(達(dá)到海森堡極限)的情況，通過考察光子數(shù)態(tài)|22>經(jīng)過Sagnac干涉儀后各個(gè)輸出態(tài)分量的二階符合計(jì)數(shù)特征，發(fā)現(xiàn)二階符合計(jì)數(shù)探測(cè)方案存在量子增強(qiáng)信息的抵消，也即在其中一個(gè)探測(cè)器接收端光子數(shù)為偶數(shù)的輸出態(tài)和光子數(shù)為奇數(shù)的輸出態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)形成互補(bǔ)的倍頻干涉條紋，進(jìn)而相互抵消。

因此，本文認(rèn)為，需要精心設(shè)計(jì)探測(cè)方案，提取完整的量子增強(qiáng)信息，才能在雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺儀中實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測(cè)精度。