陶昊宸，龍嘉騰，朱圣英，聶 濤

(1. 北京理工大學宇航學院，北京 100081；2. 深空自主導航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3. 飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

0 引言

巨型低軌衛(wèi)星星座的開發(fā)，已成為當下的熱點領(lǐng)域,但巨型星座快速發(fā)展的同時也存在一系列問題，其中最直接的后果是造成了500～2000km范圍近地空間的異常擁擠[1-3]。隨著低軌衛(wèi)星數(shù)量的急劇增加，一方面使已有在軌衛(wèi)星的生存空間受到擠壓，碰撞風險增大；另一方面，發(fā)射和軌道機動等工作的負擔和風險也與日俱增，嚴重時甚至會引發(fā)碎片級聯(lián)碰撞效應等災難性后果，對空間環(huán)境造成極大破壞[4-6]。

為了保證空間目標的安全運行，碰撞規(guī)避方法的研究受到了廣泛關(guān)注[7-9]。通常碰撞規(guī)避問題可以描述為：衛(wèi)星在得到預警信號與相對運動關(guān)系等信息后，如何機動降低碰撞概率。對于推力矢量控制的衛(wèi)星，問題轉(zhuǎn)化為約束條件下的最優(yōu)脈沖輸入的求解。R.P.Patera等[10]最早研究了相關(guān)問題，將推力方向與大小解耦，開發(fā)了一種基于碰撞概率梯度的規(guī)避策略，沿碰撞概率梯度方向進行軌道機動，使碰撞概率以最快速度下降。此后的研究基本沿著該思路展開,例如安喜彬等[11]考慮了衛(wèi)星回歸原軌道、燃料最省和距離下限的約束條件，使用高斯偽譜法求解最優(yōu)控制規(guī)律。袁勇等[12]采用了時間規(guī)避策略，在碰撞前施加沿速度方向的脈沖，使兩星通過軌道面交點的時刻錯開，從而避免相撞。

隨著電推進技術(shù)的飛速發(fā)展，越來越多的衛(wèi)星使用連續(xù)低推力方法進行軌道控制。相比推力矢量控制，這種方法能大幅提高控制效率，從而延長衛(wèi)星的使用壽命。然而，基于連續(xù)推力控制的規(guī)避方法卻鮮有研究。G.Salemme等[13]提出了一種間接方法，以燃料最省為優(yōu)化目標，但模型維度較高。J.Herna-ndo-Ayuso等[14]在此基礎(chǔ)上，以推力最小為目標，基于Pontryagin極大化原理與間接法，分別對連續(xù)推力的幅值與方向求最優(yōu)，研究了圓軌道兩星碰撞規(guī)避問題，并推導了精度較高的切向機動解析解。J.A.Reiter等[15]基于最優(yōu)推力徑向假設(shè)，提出了一種半解析快速計算方法。目前，連續(xù)推力控制方式在大型低軌道互聯(lián)網(wǎng)星座領(lǐng)域已取得廣泛應用[16-17]，因此本文的研究也將基于連續(xù)推力控制展開。

在星座衛(wèi)星的巨大規(guī)模下，碰撞規(guī)避將成為常規(guī)任務[7]。因此，為了避免過度機動造成的次生碰撞和燃料浪費，應在盡可能減小對任務造成影響的前提下，提出更便捷的規(guī)避策略，便于衛(wèi)星在軌執(zhí)行。目前星座衛(wèi)星的研究中，更多的是將避碰作為一項約束，討論構(gòu)型保持的問題[18-19]。馮昊等[20]在設(shè)計遙感衛(wèi)星空間碎片規(guī)避機動策略時，以星下點軌跡允許范圍為約束，在環(huán)形區(qū)域內(nèi)實行精確控制，以達到規(guī)避效果。受星座構(gòu)型保持啟發(fā)，考慮到?jīng)Q定兩星碰撞風險的眾多要素中，距離的影響最為重大[21-23]。本文提出了一種基于相對軌道保持的碰撞規(guī)避方法，將復雜的規(guī)避尋優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為軌道控制問題，通過精確控制減少不必要的機動，這也有益于衛(wèi)星的正常任務。

相對軌道保持的核心問題在于相對攝動建模，對于近地衛(wèi)星，地球形狀攝動是主要攝動源[24-25]。由于互聯(lián)網(wǎng)星座衛(wèi)星以近圓軌道為主，容易產(chǎn)生碰撞風險的衛(wèi)星軌道高度相當，因此運行周期也十分接近，加之地球非球形引力攝動又呈現(xiàn)出明顯的周期性，這就導致了相對運動模型中的復雜攝動項以周期重復為主。一般的反饋控制可以抑制非周期誤差，但并不能有效地消除周期性攝動引起的周期誤差，與理想的相對軌道始終存在偏差，控制效果不理想[26-27]。迭代學習控制(Iterative Learning Control， ILC)是一種通過重復控制軌跡修正控制律的方法，最早由S.Arimito[28]提出，用于提高機器人軌跡跟蹤精度。由于其控制輸入由先前試驗得到，不依賴于精確模型，因此被廣泛引入其他領(lǐng)域。

針對周期性為主的復雜相對攝動，本文提出了基于ILC的星座衛(wèi)星碰撞規(guī)避與構(gòu)型保持方法。首先,對地球形狀J2攝動進行建模，使用軌道模型作差的方法得到相對運動模型；其次，以相對距離為控制目標引入反饋控制，跟蹤相對軌道；在此基礎(chǔ)上，基于相對攝動周期構(gòu)建ILC控制器，提取軌道保持偏差與控制輸入，生成下一周期的輸入，從而抵消周期性擾動的影響，提高軌道保持精度，以不同軌道傾角的圓軌道近地衛(wèi)星為例進行了數(shù)值仿真。

1 動力學建模

首先定義軌道坐標系，原點O位于目標航天器或衛(wèi)星的質(zhì)心，Ox軸(R軸)指向目標矢徑方向，Oy軸(S軸)在軌道平面內(nèi)與Ox軸垂直，指向目標速度方向，Oz(W軸)與軌道平面垂直，與Ox、Oy軸構(gòu)成右手坐標系，稱為RSW坐標系。其中，W軸方向與目標比角動量h方向一致，但S軸并不一定與速度矢量重合。

圖1 地心慣性系(ECI)與軌道坐標系(RSW)關(guān)系圖Fig.1 Relation between earth centered inertial frame and orbit frame

設(shè)威脅星在目標星RSW系中的相對位置為 (x,y,z)T，則有

(1)

式中，下標t與d分別表示目標星和威脅星；ρ為兩星相對位置矢量；f為目標星真近點角。

由于近地衛(wèi)星的主要攝動源是地球扁率，因此僅顯化2階帶諧項攝動，其在地心慣性坐標系(Earth Centered Inertial，ECI)下可表示為

(2)

進行坐標轉(zhuǎn)換并代入二體運動方程，可得目標星RSW系下的相對運動方程為

(3)

式中，ap=[apx,apy,apz]T表示軌道系下的相對攝動加速度；as=[asx,asy,asz]T表示其他未建模的非周期擾動以及近似誤差；ac=[acx,acy,acz]T表示三軸的控制分量。

由于有碰撞風險的兩近圓軌道衛(wèi)星軌道高度近似相等，即rt≈rd，方程可簡化為

(4)

式(4)即為衛(wèi)星相對加速度描述，包含攝動的相對運動動力學模型的矩陣形式為

(5)

式中

(6)

2 星座碰撞規(guī)避的迭代學習構(gòu)型保持方法

相對軌道保持首先需要選定理想的相對軌道，本文以不受攝的二體運動軌道為衛(wèi)星的理想軌道，并得到理想相對軌道，以下標q表示。狀態(tài)變量為xq=[rqvq]T。

相對軌道保持的過程，實際上是通過控制輸入，消除或穩(wěn)定相對距離跟蹤偏差的過程。設(shè)T為ILC控制周期，控制輸入包含兩部分——反饋項afb與ILC項aILC，總控制輸入為二者加和ac=afb+aILC。定義相對軌道保持偏差

(7)

因此，有偏差狀態(tài)變量e=[erev]T。

令合擾動ah=ap+as，由于地球形狀與太陽光壓等攝動加速度均為衛(wèi)星位置矢量的函數(shù)，可用r表示擾動上界

(8)

因此，根據(jù)三角不等式，相對攝動的上界也可用相對距離矢量表示

(9)

式中

(10)

根據(jù)式(9)，非周期攝動與偏差狀態(tài)矢量的模也存在如下關(guān)系

(11)

式中

(12)

2.1 反饋保持控制器設(shè)計

針對相對攝動建模誤差與未建模攝動的非周期影響，引入反饋保持控制器跟蹤理想相對軌道，并穩(wěn)定軌道保持偏差。下面給出反饋保持器的增益設(shè)計方法。

衛(wèi)星相對動力學模型式(5)中，相對加速度的描述為

(13)

設(shè)計反饋控制輸入afb為

(14)

(15)

容易驗證在式(14)反饋控制輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)定性和偏差的有界性。

2.2 ILC保持控制器設(shè)計

在2.1節(jié)中，通過引入反饋控制器，抑制了非周期攝動下相對軌道保持偏差的發(fā)散。針對主要攝動項ap，本節(jié)將設(shè)計ILC保持器，進一步抵消周期變化的保持偏差，實現(xiàn)穩(wěn)定的相對軌道保持。

理想相對軌道加速度描述為

(16)

與式(13)相減得到偏差加速度描述

(17)

在式(17)中加入速度偏差描述式，寫成偏差狀態(tài)方程

(18)

設(shè)計ILC保持器時，控制輸入ac=aILC，式(18)可寫作

(19)

ILC保持器輸入的確定依賴于前一周期的保持偏差和ILC輸入信號，使用分段函數(shù)進行表示[29]

aILC(t)=

(20)

式中，L為ILC增益矩陣，且有

(21)

增益系數(shù)κr、κv由保持偏差決定，本文采用雙曲正切函數(shù)定義

(22)

(23)

下面判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,并計算ILC保持偏差收斂半徑。

設(shè)實對稱矩陣P2正定，滿足

ATP2+P2A=-p2I6×6

(24)

式中，p2>0。以關(guān)于e的二次型函數(shù)為Lyapunov函數(shù)

V2(t)=eT(t)·P2·e(t)

(25)

兩邊求導并代入式(19)，得到

(26)

代入擾動上限式(11)與ILC輸入表達式(20)，得

(27)

根據(jù)當前與上一周期偏差e的關(guān)系

(28)

代入式(19)得

(29)

(30)

在一個周期內(nèi)，定義最大控制輸入大小

(31)

代入式(30)，并利用矩陣次可加性展開得

(32)

合并、化簡得

(33)

在式(33)中，令

(34)

則

(35)

設(shè)P2的特征值中最大者為λ2M，最小者為λ2m，則V2滿足

(36)

ζ1>0時，將式(36)代入式(35)，得

(37)

求解得

(38)

再次利用式(36)關(guān)系，式(38)可進一步化為

(39)

兩邊取平方根得

(40)

在式(40)中，令

(41)

則

(42)

再令時間t→∞，有

(43)

當υ1<1時，有

(44)

式(44)表明，在ILC控制輸入式(20)的作用下，相對軌道保持偏差將收斂到0的鄰域，收斂半徑為R2c。

值得一提的是，在υ1以及R2c的表達式中并未涉及偏差初值，因此本章所設(shè)計的ILC保持器的收斂特性與初始偏差無關(guān)。這是由于式(20)在生成每個周期的控制輸入時，偏差初值都被納入考量。這種初值無關(guān)特性意味著在實際應用中，可以依約束啟動ILC保持器，相對軌道保持偏差最終都能得到有效控制。

3 數(shù)值仿真與分析

衛(wèi)星星座往往采用同軌道高度、多組軌道傾角衛(wèi)星組網(wǎng)的部署模式，因此本章將模擬此類情況開展分析研究。設(shè)存在如圖2所示的兩顆近圓軌道衛(wèi)星，初始時刻軌道根數(shù)如表1所示，軌道高度非常接近，周期僅相差1.2s。

圖2 兩星理想軌道示意圖Fig.2 Ideal orbits of two satellites

表1 兩星軌道根數(shù)

在理想情況下，目標星軌道坐標系中的相對軌道如圖3所示，類似于一個彎曲的“8”字型。但在地球形狀攝動的影響下，相對軌道會逐漸偏離理想值，如圖4所示。這種偏差是發(fā)散的，在完全不進行絕對軌道保持的情況下，2.5h后距離發(fā)散至61.395km，可能引發(fā)兩星最近距離的減小，這正是造成衛(wèi)星碰撞的關(guān)鍵原因。

圖3 三維理想相對軌道圖Fig.3 Ideal relative orbit

(a) R向

兩星在攝動影響下的相對距離變化如圖5所示，偏差相較于相對軌道而言很小，但在8037s左右，兩星達到第二周期內(nèi)的最接近時刻，此時實際相對距離ρ已降至2.069km，產(chǎn)生了一定的碰撞風險[30]，圖6直觀地給出了兩星實際位置關(guān)系與理想情況的對比。

圖5 兩星距離變化曲線(2.5h)Fig.5 Change of the distance between two satellites (2.5h)

圖6 攝動影響下最接近距離變化示意圖Fig.6 Distance of closest approach under perturbation

選擇ILC控制周期為相對攝動周期5676s，分別對系統(tǒng)施加反饋控制與ILC+反饋控制方式，圖7給出了兩星相對位置、相對速度與理想值的偏差er、ev的三軸分量變化情況。

(a) R向位置

在僅有反饋控制的情況下，位置與速度偏差均會保持振蕩，其中碰撞分析更關(guān)注的是位置偏差er、er三軸分量的振幅分別達到了80.2m、34.4m和79.2m。而在ILC+反饋控制下，這種振蕩在第二周期就已經(jīng)有了明顯的削弱，并在兩個周期后被基本消除。

圖8給出了位置偏差的模er的變化情況，僅反饋控制作用下，距離偏差的振幅為109.7m，使用本文提出的ILC反饋控制，三個周期后最大偏差不超過5m。同時結(jié)合圖7可知，ILC反饋控制偏差僅在新周期學習開始時快速波動，耗時約10min，而在剩下的約85min內(nèi)，距離偏差er均保持在1m以內(nèi)。表2給出了每個控制周期開始時的最大距離偏差。

圖8 兩種控制方式距離偏差er對比圖(12h)Fig.8 Comparison of er by two control methods (12h)

表2 ILC周期起始段最大距離偏差

圖9給出了反饋控制作用下，ILC控制器啟動時間不同時，距離偏差er的收斂情況，驗證了本章設(shè)計的ILC保持器偏差收斂性與初始條件無關(guān)的特性。因此,在實際應用中，可以根據(jù)碰撞預警信息和其他約束條件靈活選擇ILC保持器啟動時間。

(a) 不同周期

將控制輸入ac與擾動ap作差，得到輸入的跟蹤誤差

δa=ac-ap

(45)

圖10給出了δa的三軸分量變化情況，反映了兩種控制方式對擾動ap的跟蹤效果。明顯地，反饋控制無法消除周期性的跟蹤誤差，而ILC反饋控制輸入在每個控制周期開始時浮動較大，但大部分時間跟蹤能力遠勝于反饋控制?？刂戚斎肓考壟c攝動項相當，因此不存在控制輸入過大、超出機動能力范圍或損壞星上設(shè)備的問題。

(a) R向

圖11在圖5的基礎(chǔ)上，添加了本文ILC反饋控制方法作用下的距離曲線。加入控制后，最接近時刻附近的實際相對距離與理想軌道基本一致，實際最接近距離大于75km，碰撞概率低于10-10，可直接排除碰撞可能，因此達到了規(guī)避碰撞的目的。

圖11 相對距離保持效果圖Fig.11 Effect of distance keeping

需要指出的是，在本例中兩星理想接近距離在75km以上，因此兩種控制方法的偏差都可保證相對距離足夠遠，不會發(fā)生碰撞。但在理想最近距離僅有數(shù)千米或更短時，相較于反饋控制百米級的精度，ILC反饋控制米級的跟蹤精度具有明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文針對圓軌道衛(wèi)星間的碰撞問題，提出了一種普遍可行的規(guī)避機動方法，選定理想相對軌道，通過高精度的構(gòu)型保持降低碰撞風險。本文得到結(jié)論如下：

1)針對J2項影響為主的相對攝動變化情況，在傳統(tǒng)反饋控制的基礎(chǔ)上，通過ILC方法實現(xiàn)控制輸入對周期性攝動的精確跟蹤。

2)ILC控制器的收斂半徑與初始條件無關(guān)，可以依據(jù)約束條件在任意相對運動狀態(tài)下啟控，具有啟控時間靈活選擇和快速收斂的優(yōu)點。

星座間的碰撞問題均可通過構(gòu)型保持的方法解決，本文提出的ILC僅是對無約束圓軌道衛(wèi)星的初步應用。未來，應針對具體衛(wèi)星，引入具體約束，研究變周期ILC問題，并將方法推廣到橢圓軌道情形。