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        周期環(huán)境中年齡等級(jí)結(jié)構(gòu)種群模型的數(shù)值方法

        2023-01-02 09:39:00竇藝萌何澤榮
        關(guān)鍵詞:周期性種群數(shù)值

        竇藝萌,何澤榮

        (杭州電子科技大學(xué) 運(yùn)籌與控制研究所,浙江杭州 310018)

        §1 引言

        絕大部分生物種群內(nèi)部的個(gè)體之間存在等級(jí)或社會(huì)地位差異,這已是一種不爭(zhēng)的事實(shí),參見(jiàn)綜述文獻(xiàn)[1]及其所引文獻(xiàn).除了現(xiàn)存的大量生態(tài)學(xué)研究成果,學(xué)者們也基于等級(jí)差異為種群建立了一些數(shù)學(xué)模型,并且作了一些理論和數(shù)值分析,以期對(duì)這類種群的演化作出合理預(yù)測(cè),或者發(fā)現(xiàn)一些有趣也有挑戰(zhàn)性的科學(xué)問(wèn)題.文[2-11]主要探討模型的理論問(wèn)題,包括解的存在唯一性、平衡態(tài)的存在性與穩(wěn)定性,以及解的長(zhǎng)時(shí)間行為.比較特別的是,文[7]針對(duì)一類基于個(gè)體尺度的等級(jí)結(jié)構(gòu)種群模型,發(fā)現(xiàn)了包含Delta函數(shù)的解.

        除了必要的理論分析工作以外,模型的數(shù)值計(jì)算也是一個(gè)重要的側(cè)面,對(duì)于模型的實(shí)際應(yīng)用尤其如此.目前這方面的工作還遠(yuǎn)不完善.文[10]對(duì)一類基于尺度的等級(jí)結(jié)構(gòu)模型,提出了近似函數(shù)逼近,而文[11]給出了一類基于年齡的等級(jí)模型的數(shù)值逼近算法,證明其收斂性.文[12-13]針對(duì)一類具有邊界控制的尺度結(jié)構(gòu)等級(jí)模型,分別提出了有限差分和有限體積的WENO方法.

        由于季節(jié)變化等因素的影響,種群的棲息環(huán)境常常發(fā)生周期性變化,由此引起個(gè)體生命參數(shù)發(fā)生相應(yīng)的變化.因此基于周期性個(gè)體生命參數(shù)的等級(jí)結(jié)構(gòu)種群模型是一種重要類型,目前還沒(méi)有相關(guān)的成果報(bào)道.本文基于文[14]的理論分析,進(jìn)一步考慮模型解的數(shù)值計(jì)算方法.需要強(qiáng)調(diào)的是,現(xiàn)有相關(guān)工作中所有的數(shù)值方法均不適用于本文的模型,因?yàn)樗捎玫哪P透饔袀?cè)重,互不包含.此外,由于本文模型融入了個(gè)體遷移因素,且函數(shù)參數(shù)具有時(shí)間周期性,采取的離散化方法在技術(shù)細(xì)節(jié)方面與文[11]有所不同.§2展示本文模型,給出離散化方法;§3嚴(yán)格證明算法的收斂性,§4給出計(jì)算實(shí)例,§5總結(jié)全文.

        §2 模型及其離散化格式

        假設(shè)個(gè)體的生存環(huán)境及生命參數(shù)隨時(shí)間呈周期性變化,考慮種群模型的數(shù)值求解問(wèn)題

        其中R+=[0,+∞),Q=(0,A)×R+;A是種群個(gè)體的最大年齡,T為生命參數(shù)變化周期.其它狀態(tài)變量和參數(shù)的含義如下:p(a,t)表示t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體密度;f(a,t)是外界向種群生存環(huán)境的個(gè)體遷入率;E(p)(a,t)表示在t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體所面臨的內(nèi)部環(huán)境,其中α代表年齡小于a的個(gè)體的等級(jí)系數(shù);β(a,t,E(p)(a,t))和μ(a,t,E(p)(a,t))分別表示t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體的繁殖率和死亡率,也依賴于內(nèi)部環(huán)境.

        本文的基本假設(shè)如下.

        (A3) 函數(shù)β和μ關(guān)于第三個(gè)變量滿足局部Lipschitz 條件: 即對(duì)?m>0,?C >0,使得

        對(duì)?s1,s2∈[0,m],?(a,t)∈Q均成立.

        (A4)f ∈L∞(Q);且對(duì)任意(a,t)∈Q,f(a,t)≥0,f(a,t)=f(a,t+T).

        注2.1文[14]已經(jīng)證明: 若假設(shè)(A1)-(A4)成立,則模型系統(tǒng)(1)存在唯一的解p(a,t),它在Q上非負(fù)有界.

        下面給出模型(1)的離散化算法,其中每一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都被一個(gè)具有不同分母(時(shí)間或年齡步長(zhǎng))的有限差商所取代.由于解的周期性,不妨先考慮區(qū)域[0,A]×[0,T],并對(duì)周期解賦予一個(gè)初始分布:

        設(shè)N為一個(gè)正整數(shù),令k=T/N表示時(shí)間的離散化參數(shù);設(shè)正整數(shù)M為到達(dá)種群最大年齡A的步數(shù),令h=A/M表示年齡的離散化參數(shù).記i為年齡ai=ih,0≤i ≤M所對(duì)應(yīng)的年齡指標(biāo),n為時(shí)間tn=nk,0≤n ≤N所對(duì)應(yīng)的時(shí)間指標(biāo).記系統(tǒng)(1)解函數(shù)的格點(diǎn)值=p(ai,tn),0≤i ≤M,0≤n ≤N.

        以表示對(duì)的數(shù)值近似,定義

        模型(1)可用迎風(fēng)差分格式

        來(lái)近似代替.

        §3 算法的收斂性

        令A(yù)′為任一正數(shù),N為自然數(shù)集.定義集合H={h>0:h=A′/M′,M′ ∈N}.對(duì)?h ∈H,定義空間

        其中Xh用于存儲(chǔ)格點(diǎn)處系統(tǒng)(1)解的信息,Yh用于存儲(chǔ)差分格式(3)-(4)給出的近似解信息,RN+1代表了N+1 個(gè)邊界位置(a=0,t=tn),0≤n ≤N;而(RM)N+1則代表其余位置(a=ai,t=tn),1≤i ≤M,0≤n ≤N.為了測(cè)量誤差大小,在空間Xh,Yh中定義范數(shù)

        利用上述記號(hào)和定義可知:Qh=(Q0,Q0,Q1,···,QN)∈Xh是迎風(fēng)差分格式(3)-(4)的解,當(dāng)且僅當(dāng)它是離散問(wèn)題

        的解.

        引理3.1若假設(shè)(A1)-(A4)成立,則對(duì)充分小的h和k,局部離散誤差滿足

        證由(7)-(8)式可知,當(dāng)h,k →0時(shí),顯然有

        并且這一估計(jì)關(guān)于i,1≤i ≤M和n,1≤n ≤N一致成立.

        另一方面,由假設(shè)(A3)可知,對(duì)任意0≤n ≤N,

        定義3.1[15]若存在兩個(gè)正常數(shù)h0和S,使得?h ∈H,h ≤h0,?Vh,Wh ∈B(ph,Mh),有

        則稱離散化映射Φh關(guān)于閾值Mh穩(wěn)定.

        引理3.2設(shè)Fn,Gn,n ≥0 為非負(fù)數(shù)列,且滿足Fn+1≤(1 +ck)Fn+k(Gn+g),n=0,1,2,···,其中k,g,c均為非負(fù)常數(shù),則有

        證對(duì)任意n ≥1,

        引理3.3若k=rh,0

        由于存在閾值Mh,所以一維向量的無(wú)窮范數(shù)是有界的,即存在一個(gè)常數(shù)C(下文中的C都代表一個(gè)與h,k無(wú)關(guān)的正數(shù);為表述方便,C在不同地方代表不同的值),使得對(duì)任意0≤i ≤M,0≤n ≤N,有

        引理3.4[16]若(13)式一致成立,且關(guān)于閾值Mh是穩(wěn)定的;此外Φh在B(ph,Mh)中連續(xù),并滿足‖Φph‖Yh=o(Mh)(h →0),則有下述結(jié)論成立.

        1. 離散化系統(tǒng)(9)-(12)在B(ph,Mh)中存在唯一的解;

        2. 當(dāng)h →0時(shí),結(jié)論<1>中的解收斂于原系統(tǒng)(1) 的理論解.

        結(jié)合引理3.1-引理3.3的結(jié)果,得到以下結(jié)論.

        定理3.1如果(A1)-(A4) 成立,且k=rh,0

        注3.1定理3.1表明0

        §4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        例4.1對(duì)于系統(tǒng)(1),選擇參數(shù)A=20,T=π,α=0.7,h=0.1,k=0.01π.取外界向種群生存環(huán)境的遷入率函數(shù)為

        為模擬種群實(shí)際演化情形,設(shè)置一定的初始年齡分布函數(shù)

        根據(jù)算法(3)-(4),利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算,作出八個(gè)周期內(nèi)的種群密度函數(shù)圖像,如圖4.1所示.除此之外,為直觀看出周期性結(jié)果,以p(a,t)在a=0.5,2,8,18時(shí)為例,分別作出p(a,t)關(guān)于t的曲線圖,如圖4.2所示.

        圖4.1 種群密度函數(shù)

        圖4.2 密度隨t變化的圖像

        從圖中容易看出,歷經(jīng)一段時(shí)間的發(fā)展后,種群密度p(a,t)隨t發(fā)生周期性變化.由于無(wú)法了解真實(shí)情況下某種群在某個(gè)時(shí)間周期中具體的演化方程,所以設(shè)置了一定的初始年齡分布函數(shù),這就導(dǎo)致了圖4.2在一開(kāi)始具有振蕩現(xiàn)象.但是在歷經(jīng)一段時(shí)間的發(fā)展后,種群密度逐漸開(kāi)進(jìn)行周期性變化,直觀地印證了前述分析結(jié)果的正確性.

        例4.2對(duì)于系統(tǒng)(1),令T=3π.外界向種群生存環(huán)境的遷入率函數(shù)為

        設(shè)置種群的初始年齡分布函數(shù)

        其他參數(shù)與例4.1中的相應(yīng)參數(shù)一致.

        利用前述離散化算法,可作出四個(gè)周期內(nèi)的種群密度函數(shù)圖像,如圖4.3所示.除此之外,為直觀看出周期性結(jié)果,以p(a,t)在a=0.5,2,8,18時(shí)為例,分別作出p(a,t)關(guān)于t的曲線圖,如圖4.4所示.

        圖4.3 種群密度函數(shù)

        圖4.4 密度隨t變化的圖像

        同樣可看出,在歷經(jīng)一段時(shí)間的發(fā)展后,種群密度p(a,t)隨t進(jìn)行周期性變化.除此之外,比較圖4.1及4.3的兩張曲面可以看出: 種群初始分布和外界遷入對(duì)密度函數(shù)有重要影響.

        接下來(lái)再考察等級(jí)系數(shù)α對(duì)種群密度的影響.以α=0.7為例,觀察例4.2中的一個(gè)周期:t ∈[9π,12π].下表4.1中給出α=0.7時(shí),p(a,t)在a=0.5,2,5,8,10,12,15,18和t=9π,10π,11π,12π時(shí)的近似值.

        表4.1 α=0.7時(shí), p(ai,tn)的近似值

        表4.1 α=0.7時(shí), p(ai,tn)的近似值

        再取α=0,0.1,0.2,···,0.9時(shí),分別給出種群密度函數(shù)在格點(diǎn)(5,600),(20,700),(50,800),(80,900),(100,1000),(120,1100),(150,1200) 處的近似值,如下表4.2所示.

        表4.2 α=0,0.1,0.2,···,0.9時(shí), p(ai,tn)的近似值

        表4.2 α=0,0.1,0.2,···,0.9時(shí), p(ai,tn)的近似值

        觀察表4.2不難發(fā)現(xiàn): 隨著等級(jí)系數(shù)α的增加,前4列數(shù)值單增,后3列數(shù)值單減.這是近似計(jì)算結(jié)果,從系統(tǒng)模型(1)本身的結(jié)構(gòu)很難看出!

        §5 結(jié)語(yǔ)

        雖然本文模型具有周期型連續(xù)年齡結(jié)構(gòu)模型的通常形式,但它允許不同年齡的個(gè)體面臨不同的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境,從而更加接近生態(tài)實(shí)際,當(dāng)然也具有更強(qiáng)的非線性.因此,前述算法拓展了一些非線性年齡結(jié)構(gòu)模型的已有算法,比如文[17-19]的方法,以及專著[20]中有關(guān)非線性模型的數(shù)值計(jì)算.另一方面,也應(yīng)指出: 本文的近似計(jì)算方法雖然收斂,但證明過(guò)程只保證了一階精度.如何在確保收斂的前提下,進(jìn)一步提高計(jì)算精度,提升計(jì)算效率,仍需作深入研究.

        致謝作者感謝審稿專家對(duì)原稿的仔細(xì)審讀和寶貴建議.

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