劉美春 王芬

（廣東金融學(xué)院 金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

一、引言

數(shù)學(xué)建模是基于實(shí)際問題，抽象簡化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型得到數(shù)學(xué)結(jié)果，基于結(jié)果，解釋實(shí)際問題，并分析其合理性。數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的過程實(shí)際就是運(yùn)用相關(guān)理論進(jìn)行實(shí)踐的過程[1]。

隨著全國數(shù)學(xué)建模競賽的發(fā)展壯大，數(shù)學(xué)建模的影響力進(jìn)一步提升。在2020年，數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐和活動被列入全國高級中學(xué)的教學(xué)計(jì)劃[2]。數(shù)學(xué)建模思想的重要性進(jìn)一步為廣大教育者認(rèn)可。李大潛建議“將數(shù)學(xué)建模的精神融入數(shù)學(xué)類主干課程”[3]。近年來，相關(guān)研究也很多[4-6]。

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課程，以及部分理工科類專業(yè)本科或者研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。它研究如何利用計(jì)算機(jī)求解各類數(shù)學(xué)問題的近似值問題，教學(xué)內(nèi)容包括插值法、曲線擬合、數(shù)值積分、線性方程組求解等，既有數(shù)值計(jì)算方法的理論學(xué)習(xí)，如算法穩(wěn)定性、收斂性、誤差分析等等，也研究數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算機(jī)實(shí)踐[7]。因此，數(shù)值分析課程既包含數(shù)學(xué)理論，具有純數(shù)學(xué)的抽象性與科學(xué)性，而其課程背景和性質(zhì)，又使得具有強(qiáng)應(yīng)用性和實(shí)踐性[8]。

將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課程是可行而且有利的。本文將討論將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課堂的相關(guān)問題。

二、數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析學(xué)科的融合點(diǎn)

數(shù)值分析學(xué)科兼具純數(shù)學(xué)理論抽象性和應(yīng)用的實(shí)踐性。把數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于數(shù)值分析課堂，為數(shù)值分析課程理論性和實(shí)踐性搭建溝通橋梁，是可行的。

首先，數(shù)值分析研究是數(shù)學(xué)建模過程的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際的生活、生產(chǎn)過程問題，其過程包括了從實(shí)際問題中進(jìn)行抽象簡化以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、基于模型尋找或者設(shè)計(jì)合理的數(shù)值計(jì)算方法/方案以求解數(shù)學(xué)建模、基于數(shù)值方法上機(jī)計(jì)算以求出結(jié)果、基于結(jié)果解釋實(shí)際問題以得到實(shí)際問題的解決方案等多個環(huán)節(jié)，如圖1所示。其中，利用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行模型求解是數(shù)值分析課程研究的內(nèi)容。

圖1 用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的過程

其次，“近似”思想是數(shù)學(xué)建模和數(shù)值分析學(xué)科共有的思想方法。數(shù)學(xué)建模在利用數(shù)學(xué)及相關(guān)理論解決實(shí)際問題的過程處處有誤差。構(gòu)建模型是基于對實(shí)際問題的抽象簡化，會產(chǎn)生模型誤差；測量或者觀測確定數(shù)學(xué)模型的參數(shù)時，會產(chǎn)生觀測誤差；利用數(shù)值算法求解模型會由于方法本身產(chǎn)生截?cái)嗾`差，上機(jī)計(jì)算會由于計(jì)算機(jī)字長限制等產(chǎn)生舍入誤差。所以，“近似”是貫穿數(shù)學(xué)建模整個過程的思想方法。而數(shù)值分析討論的是各式數(shù)學(xué)問題的近似值，“近似”是數(shù)值分析學(xué)科核心的思想和方法，誤差分析是數(shù)值分析的各種算法的理論分析中不可或缺的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模思想的融入將加深學(xué)生對數(shù)值算法“近似思想”的理解和體驗(yàn)。

最后，部分?jǐn)?shù)值分析的理論是基于數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的需求而產(chǎn)生。

恩格斯說：“數(shù)學(xué)是從人們的實(shí)際需要中產(chǎn)生的?！焙商m數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，扎根于現(xiàn)實(shí)”。同其他數(shù)學(xué)課程一樣，數(shù)值分析的大多算法來源于實(shí)際問題的需要，基本都被應(yīng)用于解決實(shí)際的問題，其各種算法的形成、算法應(yīng)用過程便是完整的數(shù)學(xué)建模的過程。例如，在實(shí)際應(yīng)用中需要利用解析函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)描繪的需求。而已知條件是函數(shù)表格，各種情況（自變量）下，監(jiān)控目標(biāo)出現(xiàn)的相應(yīng)特征（因變量）已知，但自變量與因變量之間的關(guān)系未知；又或者自變量與因變量的映射關(guān)系已知，但不便于計(jì)算，需要找潛在函數(shù)的近似函數(shù)。于是，便出現(xiàn)了插值法和曲線擬合法，二者基于不同的近似假設(shè)構(gòu)建近似函數(shù)，滿足不同的實(shí)際需求。再比如，許多實(shí)際問題可以歸結(jié)為定積分的求解。按牛頓-萊布尼茲公式，定積分的值等于被積函數(shù)的原函數(shù)在積分上下限的函數(shù)值的差。而在實(shí)際問題中，有時會遇上困難。比如有些被積函數(shù)原函數(shù)雖然存在卻無法用初等函數(shù)表示，或者原函數(shù)表達(dá)式非常復(fù)雜，或者被積函數(shù)是用圖表表示，就無法使用牛頓-萊布尼茲公式直接求解，需要求定積分的近似值。因此產(chǎn)生了數(shù)值積分。這些數(shù)值理論的產(chǎn)生背景為構(gòu)建實(shí)際問題案例提供了參考。

因此，把數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課堂教學(xué)是可行的。

三、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課程教學(xué)的意義和方法

數(shù)值分析研究各種不同的數(shù)學(xué)問題近似解求解問題，這些數(shù)學(xué)問題大多來源于先修的課程，如高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、常微分方程、數(shù)學(xué)建模、計(jì)算機(jī)編程等，因此，數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容涉及面廣；數(shù)值分析每一章針對不同的數(shù)學(xué)問題，各章節(jié)內(nèi)容之間相對獨(dú)立，章節(jié)連貫性較差；數(shù)值分析既有繁瑣的公式，有復(fù)雜的理論分析，如收斂性、穩(wěn)定性分析、誤差分析等等，也要求算法實(shí)踐。數(shù)值分析問題來源于各類生活生產(chǎn)、工程、經(jīng)濟(jì)中的實(shí)際問題，要授予學(xué)生各類算法的數(shù)學(xué)知識、原理，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用，學(xué)會分析問題、解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)值分析的教與學(xué)都極具難度[8]。

與多數(shù)課程一樣，數(shù)值分析傳統(tǒng)課堂的教學(xué)方式為“老師在講臺上講授，學(xué)生在下面座位上聽講”的“灌輸式”。課堂上更偏重理論知識的講授，注重算法的思想、定理的推理證明、公式的推導(dǎo)等，并通過例題、練習(xí)來鞏固相關(guān)理論，課程實(shí)驗(yàn)的上機(jī)實(shí)踐主要是算法的實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)理論知識結(jié)構(gòu)的完整、邏輯思維的嚴(yán)密性，能幫助學(xué)生有效完成知識積累。然而，傳統(tǒng)教學(xué)模式內(nèi)容比較枯燥，特別是數(shù)學(xué)理論比較抽象、晦澀難懂，教授方式也比較單一，都會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；另一方面，傳統(tǒng)教學(xué)方式對知識的應(yīng)用性重視不夠，對學(xué)生學(xué)以致用、分析問題、基于理論解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練不夠。事實(shí)上，這些能力是學(xué)生在當(dāng)今這個信息爆炸時代生存和發(fā)展的重要保證，具備這些能力，他們才能更好地利用海量的碎片化的信息。而這也正是高等教育目標(biāo)。

將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課程的教學(xué)，利用數(shù)學(xué)建?！皽贤〝?shù)學(xué)與應(yīng)用的橋梁”的功能，有利于改善傳統(tǒng)教學(xué)的“重知識輕實(shí)踐”的不足。

（一）重視教學(xué)案例的應(yīng)用，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

理論與實(shí)踐并重是數(shù)值分析課程的特點(diǎn)，“用數(shù)學(xué)”也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)理論解決實(shí)際問題的過程。因此，案例教學(xué)是數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課堂教學(xué)的重要手段。

比如，利用案例進(jìn)行概念教學(xué)，可以使抽象的概念形象化。第一章中的概念 “舍入誤差”是浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)上表示或者計(jì)算時，由于字長的限制進(jìn)行舍入引起的誤差?？墒褂谩耙蛱貭柋简v處理器缺陷”案例加深學(xué)生對舍入誤差的認(rèn)識。數(shù)學(xué)家托馬斯?萊斯利教授擬計(jì)算素?cái)?shù)的倒數(shù)之和，其使用的模型合理（舊計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果正確），但在裝有新奔騰芯片的計(jì)算機(jī)上運(yùn)算結(jié)果卻跟理論計(jì)算結(jié)果不符。這件事發(fā)酵到最后，結(jié)果是確認(rèn)因特爾公司新芯片有缺陷，導(dǎo)致“舍入誤差”設(shè)計(jì)方面不合理，公司不得不預(yù)留出4.2億美元的補(bǔ)償金。該案例不僅讓學(xué)生對舍入誤差有深刻認(rèn)識，一個小誤差最終導(dǎo)致天價的賠償，也讓學(xué)生對誤差分析的重要性有了更深的體會。

再如，案例教學(xué)還可以把數(shù)值分析課程不同章節(jié)的內(nèi)容連接起來，甚至把數(shù)值分析與其他先修課程的內(nèi)容聯(lián)系起來，達(dá)到了融會貫通、學(xué)以致用、“用數(shù)學(xué)”的目的。函數(shù)逼近（插值法/曲線擬合）和數(shù)值積分分屬不同的獨(dú)立章節(jié)。用 案例“某地居民用水量”把課程“插值法”“曲線擬合”的內(nèi)容與“數(shù)值積分”內(nèi)容連接起來。如表1所示。

表1 某地居民用水量案例[9]

案例教學(xué)中，通過有實(shí)際生產(chǎn)或生活背景的應(yīng)用示例，有利于激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)興趣和熱情，更好地掌握相關(guān)算法思想、算法應(yīng)用等，也進(jìn)一步提高其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

按照數(shù)值分析學(xué)科特點(diǎn)，可以多渠道挖掘、選擇合理的案例。

（1）依照概念、定理、算法的數(shù)學(xué)背景，或者應(yīng)用場景選擇案例。例如前面提到的“舍入誤差”，源于計(jì)算機(jī)對數(shù)據(jù)字長的限制，因此可以從相關(guān)領(lǐng)域選擇案例。另外，數(shù)值分析的許多算法源于各類生活生產(chǎn)、工程、經(jīng)濟(jì)中的實(shí)際問題。比如，樣條插值的產(chǎn)生是由于某些實(shí)際生產(chǎn)問題要求插值函數(shù)不僅連續(xù)，而且要有較好的光滑性，比如飛機(jī)的機(jī)翼外形、內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線等，不僅要求近似曲線是連續(xù)的，對曲線的光滑度也有要求，曲率要連續(xù)（一階、二階導(dǎo)連續(xù)），后者普通的插值算法無法保證，因此出現(xiàn)三次樣條插值技術(shù)。因此，可以在“三次樣條插值”的教學(xué)中選擇“繪制直升飛機(jī)旋轉(zhuǎn)機(jī)翼外形輪廓線”的案例。再比如前面提到的“居民用水”案例則源于算法應(yīng)用。

（2）利用數(shù)值分析與先修課程的關(guān)系，拓展案例來源。數(shù)值分析研究的是各類數(shù)學(xué)問題的近似解求解方法，而其中一些問題來源于其他先修課程。比如數(shù)值積分、線性方程組求解，分別來源于高等數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)/線性代數(shù)等課程?？梢詫じ菰?，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的來源來選擇合適的示例。例如前面所提到的“居民用水量”案例，追溯其根源，歸屬為定積分的應(yīng)用問題（數(shù)學(xué)分析課程）。另外，線性方程組問題歸屬于高等代數(shù)，微分方程問題歸屬于常微分方程等等。

（3）從數(shù)學(xué)建模競賽題目中選擇合適的題目作為案例。模型求解是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，在模型求解中往往需要用到數(shù)值分析方法。在數(shù)學(xué)建模題目中，常有涉及數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計(jì)分析方面的題目，可以選擇作為案例。

（二）利用線上平臺輔助教學(xué)，線上線下融合，多渠道融入數(shù)學(xué)建模思想

各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其上機(jī)實(shí)現(xiàn)，算法思想、算法分析及算法實(shí)現(xiàn)是數(shù)值分析課程的主要研究對象，課程教學(xué)的重點(diǎn)。“基于教學(xué)案例融入數(shù)學(xué)建模思想”是輔助的教學(xué)手段，使學(xué)生了解算法的來龍去脈，了解算法的應(yīng)用，鞏固對算法的理解。課堂教學(xué)應(yīng)該主次分明，不可喧賓奪主。

而事實(shí)上，從案例的引入到數(shù)值算法的使用到實(shí)際的應(yīng)用，中間涉及復(fù)雜的計(jì)算分析。比如案例為實(shí)際生產(chǎn)問題的建模求解時，其完整過程包括抽象簡化、建模、求解、分析檢驗(yàn)等，數(shù)值分析方法的選擇與使用只是模型求解中的一個環(huán)節(jié)。課堂上，為了更有效利用時間，主次分明，除了數(shù)值計(jì)算的使用，其他相關(guān)步驟都被不同程度地簡化。學(xué)生的基礎(chǔ)不同，接受程度也不同，為了給學(xué)生呈現(xiàn)完整建模求解過程，可以采用線下為主，線上為輔的線上線下融合的教學(xué)方式。借助線上教學(xué)平臺，以教學(xué)輔助資料、教學(xué)小視頻等方式完善實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，或者提供建模思路，供學(xué)生學(xué)習(xí)參考，這也是數(shù)學(xué)建模思想的融入方式。

除了課堂，線上輔助教學(xué)平臺，還可以利用課后作業(yè)、課程實(shí)驗(yàn)等渠道融入數(shù)學(xué)建模思想。例如，課后作業(yè)除了傳統(tǒng)的計(jì)算題，可以增加具有實(shí)用背景的應(yīng)用性題目；課程實(shí)驗(yàn)，除了算法的實(shí)現(xiàn)內(nèi)容，還可以增加類似于數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的實(shí)際生產(chǎn)生活問題，允許雙人合作或者多人的團(tuán)隊(duì)合作，并以課程論文替代常規(guī)的實(shí)驗(yàn)報告等等。

四、結(jié)語

數(shù)值分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的專業(yè)必修課程，有純數(shù)學(xué)課程的嚴(yán)謹(jǐn)抽象，也具有很高的實(shí)踐性要求。數(shù)學(xué)建模具有“溝通數(shù)學(xué)與應(yīng)用的橋梁的功能”，把數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課程的教學(xué)，符合數(shù)值分析課程的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模思想的融入，有利于抽象理論與其實(shí)踐應(yīng)用的有機(jī)融合，激發(fā)學(xué)生對算法應(yīng)用、算法實(shí)現(xiàn)的興趣，鞏固學(xué)生對算法的理解與掌握，同時培養(yǎng)學(xué)生理論運(yùn)用于實(shí)踐的能力，值得繼續(xù)探索。