劉興剛，于慎波，竇汝桐，翟鳳晨

（沈陽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，沈陽 110870）

0 引言

永磁同步電機由于具有結(jié)構(gòu)簡單、運行可靠、功率密度高的特點[1]，因此被廣泛應(yīng)用于電動汽車、船舶等工業(yè)領(lǐng)域。內(nèi)置式永磁電機與表貼式永磁電機相比優(yōu)點是：永磁體位于轉(zhuǎn)子內(nèi)部，可以對永磁體起到很好的保護作用，其d軸和q軸的電抗不等，產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩使永磁電動的輸出能力得到提高[2]。

由于電磁場解析方法能夠較好地揭示物理變化規(guī)律，這是其他方法所不能替代的[3]，在電磁場理論發(fā)展中具有重要地位。常用的解析法分為等效磁網(wǎng)絡(luò)法、基于矢量磁位的精確子域法與保角映射法等。等效磁網(wǎng)絡(luò)法能夠考慮氣隙磁場中的各種漏磁磁阻，但模型搭建較為繁瑣，計算量較大[4]。而基于矢量磁位的精確子域法，可以直接考慮定子槽對氣隙磁場的影響，但隨著邊界條件的增加，求解變得較為困難[5]。保角變換是一種將復(fù)雜形狀的多邊形區(qū)域轉(zhuǎn)換到規(guī)范面域的方法，從而將具有復(fù)雜邊界條件的電磁場問題變得簡單化，使用較為方便，故采用此種方法對內(nèi)置永磁電機磁場進行解析計算。

一字型永磁體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的徑向磁密波形為矩形波[6]，氣隙磁通密度諧波含量較大。因此，本文以一臺8 極48槽永磁同步電機為例，通過對二維磁場的分析計算，采用粒子群優(yōu)化算法對永磁體參數(shù)進行優(yōu)化，以諧波畸變率為目標函數(shù)對電機進行優(yōu)化，優(yōu)化后電機齒槽轉(zhuǎn)矩減小，為以后優(yōu)化永磁同步電機噪聲提供一定參考價值。

1 解析模型

1.1 內(nèi)置永磁電機磁場

圖1所示為8 極48 槽內(nèi)置式永磁同步電機結(jié)構(gòu)示意圖，永磁體充磁方式為平行充磁。為了便于氣隙磁場數(shù)值解析計算，需要對電機模型做出以下假設(shè)：（1）不考慮飽和效應(yīng)（磁肋區(qū)除外）；（2）定子槽簡化為矩形形狀；（3）氣隙中的磁場分布由永磁鐵產(chǎn)生的磁場與相對磁導(dǎo)率的乘積共同確定的；（4）永磁體產(chǎn)生的磁場是通過定子表面光滑的泊松方程二維解中獲得的，即忽略定子開槽的影響。

圖1 內(nèi)置永磁同步電機模型

在內(nèi)置式永磁同步電機模型中，由于磁通通過轉(zhuǎn)子鐵心，使得磁通沿徑向進入氣隙場，而漏磁存在于磁阻區(qū)和磁肋區(qū)，如圖2所示。漏磁效應(yīng)被認為會降低永磁體的剩余磁通密度，磁化面積是恒定的[7]。

圖2 內(nèi)置永磁同步電機磁阻區(qū)域

如圖3所示，考慮邊緣效應(yīng)和漏磁效應(yīng)的磁化強度M，由傅里葉級數(shù)展開表示如下：

圖3 內(nèi)置永磁同步電機磁化分布

式中：Br為永磁體剩余磁通密度，假設(shè)磁路中的磁通密度完全飽和為Bs，是通過轉(zhuǎn)子鐵心的B-H 曲線中獲得的，可知等于2.0 T。

等效磁化計算系數(shù)由下式給出：

式中：φr=Br?S；φl=Bs?L?y；φr為通過永磁體的磁通量；φl為磁肋區(qū)域的漏磁通；S為永磁體面積。

磁場由等效磁化獲得，氣隙中磁通密度的徑向分量由文獻[7-8]中泊松方程獲得。氣隙通量密度分布如下：

1.2 相對磁導(dǎo)率

對于內(nèi)置永磁電機的磁場分析，應(yīng)考慮轉(zhuǎn)子凸極效應(yīng)。由于內(nèi)置電機轉(zhuǎn)子中存在磁通屏障，沿轉(zhuǎn)子圓周的磁通量會發(fā)生變化，因此應(yīng)根據(jù)幾何氣隙函數(shù)確定和修改有效氣隙長度（氣隙函數(shù)）。為了考慮這種影響，通過引入轉(zhuǎn)子凸極效應(yīng)的相對磁導(dǎo)并乘以定子開槽電機的徑向磁通密度計算電機磁場分布。

根據(jù)假設(shè)，氣隙內(nèi)的磁通密度分布表示為磁通量密度與相應(yīng)相對磁導(dǎo)率的乘積。本文提出的分析方法的相對磁導(dǎo)率函數(shù)定義如下：

考慮定子開槽和轉(zhuǎn)子凸極對氣隙磁場的影響分別被定義為λrotor-saliency和λstator-slots，在本文采用保角變換的方法去考慮這倆個系數(shù)。保角變化法是將在平面內(nèi)形狀不規(guī)則的幾何圖形通過引入新的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換到另一個新的平面，使得轉(zhuǎn)換后的幾何圖形在新平面上是規(guī)則，進而方便計算。如果假設(shè)原始電機配置放置在一個復(fù)雜的平面Z上，由振幅部分和角度部分組成。這個表達式滿足柯西-黎曼方程，然后通過保形變換函數(shù)z=f(w)，將其轉(zhuǎn)換到新的平面W：

因此，在Z平面上的任意點坐標（x，y）通過公式轉(zhuǎn)換成在W平面內(nèi)點（u，v），其直角坐標分別由以下保角變換方程定義：

函數(shù)f(z) 在區(qū)間范圍內(nèi)是連續(xù)的，所以：

根據(jù)這個轉(zhuǎn)換函數(shù)，原來在Z平面中1∕16 的轉(zhuǎn)子區(qū)域被變換為W平面，圖4所示為變換前的映射區(qū)域。通過使用對數(shù)函數(shù)，將原始z平面（圖4）中提到的內(nèi)置電機轉(zhuǎn)子區(qū)域的1∕16 映射到w平面，如圖5所示。原始區(qū)域和映射區(qū)域中每個區(qū)域的字母相同。

圖4 電機轉(zhuǎn)子在z平面

圖5 電機轉(zhuǎn)子在w平面

根據(jù)圖4可知，曲線AD(C1)保角變換轉(zhuǎn)化為直線A＇D＇(L1)，通過以下參數(shù)表示：

線段BC(C2)通過參數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線B＇C＇(L2)：

按照上述獲得原始直線和曲線的變換曲線的過程，可以擴展作為變換定義域的段線AB、CD、CF、DE和EF，并使用上述映射，變換域的圖像，其邊界包括線段線、半線和曲線，如圖4～5 所示。對于每個區(qū)間v軸，u軸方向上曲線的總氣隙長度定義為：

因此，根據(jù)上述電機不同內(nèi)轉(zhuǎn)子拓撲結(jié)構(gòu)的曲線表示，氣隙函數(shù)定義為：

電機的氣隙函數(shù)變化被確定并如圖6所示。

圖6 氣隙函數(shù)

在這里，新的氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)，包括轉(zhuǎn)子凸極的影響，忽略磁飽和漏磁通，大約等于：

氣隙的相對磁導(dǎo)函數(shù)由式（25）計算，如圖7所示。

圖7 轉(zhuǎn)子凸極相對磁導(dǎo)函數(shù)

1.3 定子開槽的影響

當對定子進行開槽時，磁通從氣隙到定子鐵心，氣隙形狀會發(fā)生變化，相對應(yīng)的磁導(dǎo)率也會發(fā)生變化，進而對氣隙中的徑向磁通密度分布有很大的影響，并進一步影響了輸出性能。在電機槽口范圍內(nèi)，氣隙的形狀發(fā)生變化進而相對磁導(dǎo)率小于1，而在定子齒中心線附近的一定范圍內(nèi)，氣隙形狀沒有改變，相對磁導(dǎo)率為1 保持不變。采用保角變換法對定子開槽后的氣隙相對磁導(dǎo)率進行解析。由于此電機模型定子齒槽比較多，只能將定子槽假設(shè)為無限深。并根據(jù)文獻[9-10]使復(fù)平面Z內(nèi)的氣隙區(qū)域圖形轉(zhuǎn)變成W平面的圖形，緊接著再通過函數(shù)變換，得到T平面所示的圖形。即圖8～9 所示，實現(xiàn)定子開槽效應(yīng)。

圖8 開槽效應(yīng)的相對磁導(dǎo)率

2 磁場分布及有限元驗證

為了驗證解析方法的正確性，采用有限元軟件對電機模型進行了仿真分析，并將解析計算和有限元仿真的結(jié)果進行了對比。以一臺內(nèi)置永磁同步電機為例，電機主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 內(nèi)置電機結(jié)構(gòu)參數(shù)

通過解析法與有限元分析法得到的空載氣隙磁通密度徑向分量波形對比如圖10所示，此方法與有限元方法獲得波形幾乎相似。通過對其進行傅里葉分解，對應(yīng)的諧波頻譜如圖11所示。解析法得出的圖形比有限元方法略高，這是由于在解析過程中忽略了磁飽和效應(yīng)和磁場邊界條件導(dǎo)致的。

圖9 平面變換

圖10 氣隙磁通密度分布對比

圖11 氣隙磁通密度諧波含量對比

3 粒子群算法尋優(yōu)

粒子群優(yōu)化算法源于對鳥群捕食的行為研究，粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm OPtimization，PSO）是由Kennedy 和Eberhart 博士于1995 提出的優(yōu)化算法。其實質(zhì)是一種智能化隨機搜索算法，模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群集行為。假設(shè)一群鳥在一片區(qū)域隨機尋找食物，鳥群中的每只鳥在初始狀態(tài)下是處于隨機的位置且各個方向隨機飛行但它們可以通過捕食經(jīng)驗和同伴發(fā)現(xiàn)獲得相應(yīng)的信息，進而調(diào)整飛行位置和搜索策略。即每個粒子通過統(tǒng)計迭代過程中自身的最優(yōu)值和群體的最優(yōu)值來不斷修正自己的前進方向和速度大小，從而形成群體尋優(yōu)的正反饋機制。PSO 同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優(yōu)化算法。系統(tǒng)初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優(yōu)值。一經(jīng)提出粒子群算法在函數(shù)優(yōu)化、信號處理、機器人技術(shù)等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。粒子群優(yōu)化算法不僅收斂速度快，且其程序?qū)崿F(xiàn)簡單需要調(diào)整的參數(shù)少實現(xiàn)容易[11]。內(nèi)置式永磁同步電機，由于其結(jié)構(gòu)特性，空載氣隙磁密波形為矩形。為了使永磁電機氣隙磁密波形具有良好的正弦性，采用粒子群優(yōu)化算法以諧波畸變率為目標函數(shù)，并用k表示，對永磁體長度和寬度進行優(yōu)化分析。因此新的結(jié)構(gòu)尺寸應(yīng)該是單目標、多變量、有約束的幾何形狀。其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

式中：B1為氣隙磁密基波幅值；Bn為第n次氣隙磁密諧波幅值。

分別對優(yōu)化前后的永磁電機進行有限元分析，優(yōu)化前后參數(shù)對比如表2所示，優(yōu)化前后齒槽轉(zhuǎn)矩波形對比如圖12所示，優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩降低了19.8%。

表2 優(yōu)化前后參數(shù)對比

圖12 優(yōu)化前后齒槽轉(zhuǎn)矩對比

4 結(jié)束語

永磁同步電機的氣隙磁場解析計算對于電機參數(shù)優(yōu)化具有重要的意義。本文采用保角變換的方法對內(nèi)置式永磁電機的磁場進行了計算，為了便于解析建模，對電機磁場的邊界條件進行簡化，將解析結(jié)果與有限元結(jié)果對比可以得出如下結(jié)論。

（1）采用保角變換法能夠有效地對內(nèi)置式永磁同步電機空載氣隙磁場進行解析計算，其計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合很好，為電磁性能優(yōu)化提供了參考，為接下來永磁同步電機優(yōu)化提供依據(jù)。

（2）對磁場進行傅里葉分解，計算諧波畸變率，采用粒子群優(yōu)化算法對電機諧波畸變率進行了優(yōu)化，以永磁體參數(shù)作為優(yōu)化變量，確定了最優(yōu)永磁體結(jié)構(gòu)尺寸，并通過有限元分析發(fā)現(xiàn)，新的結(jié)構(gòu)尺寸可以有效減小永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩，減少了19.8%。