郭 萍

（武漢交通職業(yè)學(xué)院智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430065）

0 引言

工業(yè)機(jī)器人性能的好、壞決定著工業(yè)機(jī)器人作業(yè)的質(zhì)量、效率和效益，因此對(duì)工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的研究必不可少。其中，工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制是核心技術(shù)之一，而工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃是運(yùn)動(dòng)控制研究的基礎(chǔ)，軌跡規(guī)劃的優(yōu)、劣與工業(yè)機(jī)器人作業(yè)的質(zhì)量密切相關(guān)。

1 工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的意義

軌跡規(guī)劃是在滿足作業(yè)任務(wù)要求的前提下規(guī)劃出期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的目的是實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂位置、速度和加速度的曲線盡可能連續(xù)且平滑，這樣可以減少機(jī)器人結(jié)構(gòu)的磨損，同時(shí)提高追蹤的速度和精度，提高生產(chǎn)效率和效益。以手動(dòng)操作機(jī)器人運(yùn)動(dòng)為例，在用示教器操控機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到示教點(diǎn)位時(shí)，手動(dòng)運(yùn)行速度過大，會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂出現(xiàn)明顯的抖動(dòng)，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行下來，會(huì)對(duì)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)造成不可逆的損傷，同時(shí)影響機(jī)器人運(yùn)行軌跡的準(zhǔn)確性。因此，工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制意義重大。針對(duì)如何獲得更精準(zhǔn)更柔性的軌跡，相關(guān)研究學(xué)者做了大量研究，主要包括關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃2個(gè)方面。該文將從這2個(gè)方面來介紹工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的方法，并總結(jié)研究現(xiàn)狀。

2 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃通過分別規(guī)劃各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡來實(shí)現(xiàn)整個(gè)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡。一般而言，工業(yè)機(jī)器人任務(wù)中已知的是末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，各個(gè)關(guān)節(jié)的具體運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)未知，需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得到各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡點(diǎn)，然后進(jìn)行關(guān)節(jié)空間下的軌跡規(guī)劃，再根據(jù)規(guī)劃出的關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，最后形成笛卡爾空間下的末端執(zhí)行器軌跡。關(guān)節(jié)空間下機(jī)械臂控制流程圖如圖1所示。

圖1 關(guān)節(jié)空間下的控制流程圖

以常見的六關(guān)節(jié)機(jī)器人為例，具體的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程如圖2所示。其中，（X，Y，Z，A，B，C）為末端軌跡點(diǎn)坐標(biāo)，q1、q2、q3、q4、q5和q6分別為6個(gè)關(guān)節(jié)軸。第一列是末端執(zhí)行器在空間下的4個(gè)軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)，第二列是將這4個(gè)點(diǎn)通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解分別得到6個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的軌跡點(diǎn)，第三列是通過軌跡規(guī)劃算法得到的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，第四列是通過控制關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)形成最終的末端執(zhí)行器的軌跡曲線。

圖2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程圖

進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃時(shí)，需要將關(guān)節(jié)的起始點(diǎn)、所有中間點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)連成一條光滑的曲線，同時(shí)還要保證各個(gè)關(guān)節(jié)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間一致，即關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的研究主要集中在如何將離散的軌跡點(diǎn)規(guī)劃成一條連續(xù)曲線的問題上。目前，工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法主要有多項(xiàng)式插值、T形加減速曲線、S曲線和B樣條插值。

多項(xiàng)式插值分為3次、5次和7次多項(xiàng)式插值等，其中最簡(jiǎn)單的是3次多項(xiàng)式插值法，其表達(dá)式易懂且計(jì)算量少，是一種常用的方法。一般而言，只要明確位置、速度和時(shí)間，就可以規(guī)劃出連續(xù)的位置和速度曲線。但是該插值法不能對(duì)加速度進(jìn)行約束，加速度曲線不一定是連續(xù)的[1]，適合應(yīng)用于不關(guān)注運(yùn)動(dòng)過程的控制場(chǎng)景中，如點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)控制，不適合連續(xù)軌跡的運(yùn)動(dòng)控制。然而，工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用場(chǎng)景中大部分是連續(xù)的運(yùn)動(dòng)軌跡，因此3次多項(xiàng)式插值方法應(yīng)用范圍窄，普適性不強(qiáng)。

5次多項(xiàng)式插值法對(duì)加速度進(jìn)行了約束，規(guī)劃出的軌跡加速度是不突變的，減少了機(jī)械臂的抖動(dòng)[2]。在運(yùn)算方面，由于該插值算法的階次較高，計(jì)算量相對(duì)大一些，但是在可接受范圍內(nèi)。通常情況下，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)候，要得到連續(xù)平滑且噪聲低的運(yùn)動(dòng)控制，一般都需要對(duì)加速度進(jìn)行約束，因此5次多項(xiàng)式插值算法應(yīng)用較為廣泛，實(shí)用性強(qiáng)，可以覆蓋機(jī)器人的大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景。

階次在5次以上的多項(xiàng)式插值算法可以稱之為高階多項(xiàng)式插值，理論而言，多項(xiàng)式的階次越高，函數(shù)表達(dá)式越復(fù)雜，插值得到的曲線越平滑，加速度曲線也越平滑，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的軌跡也越平穩(wěn)[3]。由于高階多項(xiàng)式插值曲線越平滑，相應(yīng)的加速過程越慢，整體平均速度越低，效率也越低。不僅如此，階次越高，計(jì)算量也越大，運(yùn)算的要求也越高，因此高階多項(xiàng)式插值適用范圍小。

多項(xiàng)式插值算法一般是在2個(gè)跟蹤點(diǎn)之間進(jìn)行先加速、后減速運(yùn)動(dòng)的軌跡規(guī)劃，并沒有勻速階段。在機(jī)器人應(yīng)用中，對(duì)加工速度一般是有要求的，運(yùn)動(dòng)軌跡可能有勻速階段，僅單純的多項(xiàng)式插值并不適合有勻速段運(yùn)動(dòng)的軌跡規(guī)劃。T型加減速曲線的速度曲線是梯形，有上升期、平臺(tái)期和下降期。該算法表達(dá)式分為3段，運(yùn)算簡(jiǎn)單，還可以對(duì)最大的速度和加速度進(jìn)行約束，但機(jī)械臂由加速到勻速的切換過程中存在較大的沖擊，不利于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)。為克服T型曲線速度突變的問題，可以將S型速度曲線應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃。S型速度曲線的速度平滑，在加速到勻速的連接處不帶拐點(diǎn)，是一種沖擊可控的加速和減速。該曲線能夠減少對(duì)控制過程中的沖擊，并使插補(bǔ)過程具有柔性[4-5]。根據(jù)表達(dá)式分段數(shù)目，S型速度曲線可分為多種，然而分段越多，曲線表達(dá)式越復(fù)雜，速度曲線越平滑，但同時(shí)計(jì)算量也越大，實(shí)現(xiàn)起來越困難。

以上軌跡規(guī)劃方法通常約束機(jī)器人的速度、加速度，并沒有計(jì)算運(yùn)動(dòng)到每個(gè)路點(diǎn)的時(shí)間。而B樣條插值方法表達(dá)精確，可以對(duì)機(jī)器人路徑點(diǎn)的時(shí)間進(jìn)行約束。其中3次樣條是用的較為廣泛的一種，該算法在靈活性和計(jì)算速度之間進(jìn)行了合理的折中[6-7]。同時(shí)B樣條曲線通過微調(diào)軌跡的控制點(diǎn)可以靈活改變曲線的形狀，方便后期的軌跡優(yōu)化，因此被應(yīng)用得越來越廣泛。

關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法簡(jiǎn)單，只需要考慮關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，容易滿足關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)過程中的速度、加速度等約束條件，研究成果較多。但是由于規(guī)劃中未考慮末端執(zhí)行器的軌跡，導(dǎo)致末端軌跡不確定性增大，可能出現(xiàn)磕碰、定位不精準(zhǔn)等問題，因此在對(duì)末端軌跡有要求的應(yīng)用場(chǎng)景中并不適用。

3 工業(yè)機(jī)器人笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

笛卡爾空間即三維空間，笛卡爾空間軌跡規(guī)劃是在三維坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，是一種直接對(duì)末端軌跡進(jìn)行規(guī)劃的方法。笛卡爾空間下機(jī)械臂的控制流程圖如圖3所示。

圖3 笛卡爾空間下控制流程圖

以常見的六關(guān)節(jié)機(jī)器人為例，具體的笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃流程如圖4所示。其中，（X，Y，Z，A，B，C）為末端軌跡點(diǎn)坐標(biāo)，q1、q2、q3、q4、q5和q6分別為6個(gè)關(guān)節(jié)軸。第一列是末端執(zhí)行器在空間下的4個(gè)軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)，第二列是通過軌跡規(guī)劃算法得到的笛卡爾空間下末端軌跡曲線。第三列是將第二列曲線上所有的點(diǎn)通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解得到的6個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的軌跡曲線，第四列是將關(guān)節(jié)軌跡曲線離散化后得到的點(diǎn)，第五列是控制關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)形成的笛卡爾空間下的末端執(zhí)行器軌跡。

圖4 笛卡爾空間下軌跡規(guī)劃圖

由于三維空間中大多數(shù)的運(yùn)動(dòng)都是直線和圓弧的結(jié)合，因此笛卡爾空間軌跡規(guī)劃的研究主要集中在直線和圓弧軌跡規(guī)劃。直線插補(bǔ)法是將末端軌跡的起點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)之間的軌跡直線化處理，是基本的方法，而圓弧插補(bǔ)法是將各點(diǎn)之間的軌跡圓弧化處理，是直線插補(bǔ)的升級(jí)[8]。然而，不論是直線插補(bǔ)還是圓弧插補(bǔ)的軌跡規(guī)劃，機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡都被分解為幾段連續(xù)的軌跡，都需要對(duì)連接點(diǎn)進(jìn)行專門的平滑處理[9]。

笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃是在三維空間下進(jìn)行的，而在實(shí)施具體控制時(shí)，需要對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行控制，并且是在關(guān)節(jié)空間下進(jìn)行，因此必須將規(guī)劃出來的末端軌跡轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間下的關(guān)節(jié)軌跡。在此過程中需要對(duì)每個(gè)末端軌跡點(diǎn)進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，運(yùn)算量大且復(fù)雜。另外，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程中將不可避免地會(huì)討論到解的奇異性、存在性和唯一性問題，進(jìn)一步增加了運(yùn)算的不確定性。目前，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法有很多，針對(duì)解的三性問題也有部分研究成果[10-11]。然而，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法的相對(duì)成熟只是針對(duì)少數(shù)軌跡點(diǎn)的求解，對(duì)機(jī)器人末端大量軌跡點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解并沒有快捷算法。且由于運(yùn)算的難度較大，關(guān)于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解的三性方面的討論方法相對(duì)較少，影響了笛卡爾空間軌跡規(guī)劃的進(jìn)一步應(yīng)用。

相比于關(guān)節(jié)空間下的軌跡規(guī)劃，笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃直觀性強(qiáng)，可以準(zhǔn)確地得到末端執(zhí)行器的軌跡，有一定的理論研究意義。但在實(shí)施具體控制時(shí)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜、計(jì)算量大以及解的不確定性降低了軌跡規(guī)劃的準(zhǔn)確性、控制的時(shí)效性，實(shí)用性不強(qiáng)，應(yīng)用范圍小。

4 總結(jié)與展望

當(dāng)前，不論工業(yè)機(jī)器人被應(yīng)用于何種場(chǎng)景，工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃都是繞不開的一個(gè)過程，是各種作業(yè)得以實(shí)現(xiàn)的前提。良好的軌跡規(guī)劃可以減少機(jī)械臂的振動(dòng)和磨損，提升定位精度和生產(chǎn)效率，增大經(jīng)濟(jì)效益。隨著工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，軌跡規(guī)劃的方法已得到充分的研究，以關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃為主的規(guī)劃方法已形成。但許多研究成果主要集中在理論的研究和仿真的應(yīng)用上，在實(shí)踐性和實(shí)用性方面的還有很大的研究空間。